对初中学段数学抽象能力的教学思考.pdf

书 书 书第 卷第期 年月 ，学科研究对初中学段数学抽象能力的教学思考邢成云，王尚志摘要：抽象是数学的基本特征，也是用数学眼光观察现实世界的基本方式。数学化的过程就是抽象的过程。在课堂教学中落实并加强数学抽象能力培养可以体现在以下八个方面：在概念的来龙去脉中，在命题（公式、性质、法则、定理）或原理的形成与发展中，在规律的探索与应用过程中，在几何直观的形成与发展过程中，在数学建模及其应用过程中，在数学思想方法的凝练过程中，在解题（解决问题）的过程中，在三种语言的转换过程中。关键词：课程标准；数学抽象；抽象能力；培养路径中图分类号：文献标志码：文章编号：（）作者简介：邢成云，山东省滨州市教育科学研究院教授（滨州 ）；王尚志，首都师范大学教授、博士生导师，教育部普通高中数学课程标准研制组副组长、修订组组长（北京 ）。学生若直接接受教材和教师抽象出来的数学知识，往往难以打通这些知识与原始的、具体材料之间的联系，也难以产生知识的迁移力，而这恰恰是学生最需要、最有用、可带走的东西，是核心素养之所在。作为数学三大基本思想之首的“抽象”，其重要性在学界早已成为共识，可在当下的课堂教学中，数学抽象却没有得到足够的重视。这就给一线教师提出一个现实而又严峻的问题：如何帮助学生学会数学抽象，如何通过抽象深入认识数学的本质。一、对数学抽象及其意义的认识义务教育数学课程标准（年版）共有 次提到“抽象”；普通高中数学课程标准（年版）把“数学抽象”放在个数学学科核心素养的首位；义务教育数学课程标准（年版）（以下简称课标 ）初中学段把“抽象能力”放在核心素养大主要表现的首位，“抽象”一词出现 余次。这足见课标对“抽象”的重视。柏拉图认为，抽象是人们发现数学概念和命题等数学知识的过程。史宁中教授也说：“数学在本质上研究抽象的东西，数学发展所依赖的最重要的基本思想也就是抽象。”这两句话都告诉我们，数学与抽象是紧密相连的，进而言之，没有数学抽象就没有数学，数学抽象能力是数学（思维）能力的核心，也是数学核心素养的核心。数学抽象是指用数学的眼光来观察现实世界，这种意识至关重要，它是数学核心素养形成的必由之路。“由于数学具有抽象性和概括性的特点，学习者只有具备一定程度的抽象概括能力，才能对数学对象的认知实现质的飞跃。”曹才翰教授的这句话告诉我们，在数学学习的过程中，学生只有具备了良好的数学抽象素养，才能更好地发挥数学思维的力量，透过现象看到本质。如此，学生才能更透彻地理解那些相对复杂的数学知识，明白其来龙去脉，悟透其真正含义。久而久之，就会养成从更一般的意义和方法上思考问题的习惯，增强其抽象概括能力，进而促进理性思维的不断发展。所以说，对学生而言，数学抽象 既是一个获知增智的过程，也是一个思维品质发展进阶的过程。数学教育的根本目的“在于让学生会抽象（能把握事物的本质），会推理（能理清事物的关系），会建模（能发现事物中的规律），从而提高学生的数学素养”。可见数学抽象能力是数学学习得以发生的保障，是数学推理和数学建模的前奏。二、课标 对数学抽象的定位课标 除了关于核心素养之抽象能力的主要表现及内涵与初中学段“学业质量描述”的论述，还有诸多地方从不同侧面对抽象进行了描述。下面从三大领域对相关抽象的论述做一梳理与分析。（一）“数与代数”领域在其综述部分以“数与代数领域的学习，有助于学生形成抽象能力”进行总体统领。然后“教学提示”部分，给出了以下功能定位：“初中阶段数与代数领域包括数与式方程与不等式和函数三个主题，是学生理解数学符号，以及感悟用数学符号表达事物的性质、关系和规律的关键内容，是学生初步形成抽象能力和推理能力、感悟用数学的语言表达现实世界的重要载体。”接下来又提出“通过负数、有理数和实数的认识，帮助学生进一步感悟数是对数量的抽象”，在初中学段让学生进一步感悟“数是对数量的抽象”的具体化进阶要求。（二）“图形与几何”领域先在综述部分通过“这样的学习过程，有助于学生在空间观念的基础上进一步建立几何直观，提升抽象能力和推理能力”进行整体价值定位。而后在图形的性质中提出“知道图形的特征、共性与区别，理解线段长短的度量，探究并理解角度大小的度量，理解两条直线平行或垂直的关系，形成和发展抽象能力”的学业要求。再在接下来的“图形与坐标”中提出“在具体现实情境中，学会从几何的角度发现问题和提出问题，经历用几何直观和逻辑推理分析问题和解决问题的过程，培养应用意识和创新意识，提升几何直观、空间观念、抽象能力、推理能力等”学业要求，突出几何的眼光。最后提出“初中阶段，主要侧重学生对图形概念的理解，以及对基于概念的图形性质、关系、变化规律的理解，要培养学生初步的抽象能力、更加理性的几何直观和空间想象力”的教学方向，进一步在图形的性质教学中确立“要组织学生经历图形分析与比较的过程，引导学生学会关注事物的共性、分辨事物的差异、形成合适的类，会用准确的语言描述研究对象的概念，提升抽象能力，会用数学的眼光观察现实世界”的几何课程教学目标，让数学抽象成为学生的常态思维工具。（三）“综合与实践”领域不论是内容要求还是学业要求、教学提示，“用数学的眼光观察现实世界”“经历现实情境数学化”“构建数学模型”这样的语言均体现了数学化的过程，而数学化的过程就是抽象的过程，数学抽象在此起着决定性作用。也就是说，这一领域可让数学抽象得以充分发挥，为历练和提升学生数学抽象能力提供优质素材。三、课堂教学中加强抽象能力培养的八个方面朱立明等给出了培养学生抽象素养的两个基本途径：其一是从现实具体存在中抽象获得；其二是借助相关数学符号或类比获得。林京榕等提出，教学中培养学生抽象素养的三个方面是：“经历数学概念的抽象；培养数学抽象的方法；认识数学结构与体系。”我们知道，初中是学生形象思维与抽象思维并存的学段，也是从形象思维向抽象思维发展的过渡期，但这个过渡不会自行发生，需要教师发挥其主导作用，设计好落实数学抽象的有效路径。通过统合本研究领域专家学者的观点，结合笔者长期以来的实践与思考，文本提出初中学段加强学生抽象能力培养的八个方面。（一）在概念的“来龙”“去脉”中培养抽象能力“数学根本上是玩概念的，不是玩技巧，技巧不足道也！”李邦河院士一语道的，揭示出数学教学的本质。我们知道，概念是构成教材的基本结构单位，单单在现行初中数学教材中就大约有 个数学概念。正是因为这些串起数学教材的一系列概念的存在，才有了初中数学教材的结构化知识。“概念教学是数学教学的重中之重，而得出数学概念的过程是最典型的数学抽象的过程。”而数学概念本身又是高度抽象的，所以在教学中，发展学生的抽象素养既是概念学习的需要，也是数学学习的需要。概念学习通常经历两种不同层级的抽象过程：一种是从数学外部的事物出发，经过数学化抽象出数学概念（水平性抽象）；另一种是在数学内部，对已有数学概念的进一步抽象（垂直性抽象）。数学抽象是形成、建立数学概念的重要逻辑手段，数学概念的形成是最基础的数学抽象过程。章建跃给出的数学概念教学的六个基本环节，也可认为是数学抽象的基本路径，包含创设问题情境、共性分析与概括本质属性、下定义、概念辨析、概念初步应用、概念“精致”。若学生经常性地经历上述概念形成的六个环节，慢慢就会从中学会数学抽象的基本过程：分离属性与发现模式建构模型与普适化定义与符号化系统化。为了更好地体验抽象、感知抽象、学会抽象，只从感性的具体到理性的抽象而获取概念还不够（从特殊到一般，这是知识的“来龙”），还需要从理性的抽象走向理性的具体（从一般到特殊，如举例子或演绎推理），再从形式化的抽象走向形式化具体，即知识的具体应用过程（这就是“去脉”）。在这样充分体现概念的形成、理解、运用的完整过程中磨炼学生，进行抽象概括的不断研习而慢慢把握概念，才会有更深的具身体验。从数学自身的发展来看，数学概念的获得有两种基本方式。一是概念形成（即通过直接经验获得概念的方式），它一般是直接从客观事物的数量关系和空间形式反映而得，是一个归纳概括的弱抽象过程，即横向数学化的抽象。如研究全等形时，基于笔者提出的“整体化教学”，先展示丰富的图形组（含有全等变换、相似变换、等积变换三类变换关系），在观察的基础上通过比较、分类进行弱抽象，把全等变换、相似变换、等积变换整体结构勾勒出来，然后从最特殊的全等三角形入手展开探索。后继相似三角形的研究，则可由全等三角形形状相同、大小相等的特征内涵，减缩为形状相同这一情形，即能获得相似三角形的概念。这是一次弱抽象。二是概念同化（通过间接经验，即通过定义的方式获得概念），它一般通过建基于抽象的数学理论上的多级抽象而获得，即纵向数学化抽象。与此相对应的定义性概念、二级概念和科学概念的获得方式就是概念同化（具有一般到特殊、抽象化到具体化的演绎特征），如：四边形平行四边形矩形或菱形正方形的概念同化发展线，就是不断进行强抽象；函数一次函数正比例函数发展线、三角形等腰三角形等边三角形发展线、相交垂直发展线、加权平均数算术平均数发展线等，均为增加内涵而使外延随之缩小的过程，这类抽象也是强抽象。不过，从整个初中数学学段来看，从现实生活世界获得的形成性概念并不多，大部分是逻辑建构的结果，是建基于原有数学对象（定义）之上通过逻辑定义建立或构造起来的（强抽象、弱抽象）。比如二次函数概念的教学时，创设如下问题情境：用一根长为 的铁丝首尾顺次相接围成一个矩形，当矩形的两边长分别是多少时，矩形的面积最大？若学生凭借经验和直觉给出“矩形的长宽相等时面积最大”时，可追问：为什么长与宽相等时面积最大？矩形的面积和它的长、宽具有怎样的关系？借此引出符号化（抽象）行为。若不从学生经验和直觉引出问题，也可直接引导学生将问题符号化（抽象）：设长为狓，则宽为（狓），则面积犛狓（狓）狓 狓。至此，继续引导学生对犛与狓之间的关系进行分析，设计出问题链：（）犛与狓之间是什么关系？（）如何为二次函数下定义？（）你还能举出一些不同形式的二次函数吗？经过对层层递进的系列问题的探讨交流，在具体抽象具体的迭代过程中得出并表征二次函数的定义（表达式）。杜宾斯基的结构教学法，也是完整呈现概念形成过程的数学抽象行动，我们不妨在概念教学时尝试一下。（二）在命题（公式、性质、法则、定理）或原理的形成与发展中培养抽象能力命题一般建基于原初概念之上，经历数学命题的探究过程，其中富含概括、抽象等数学活动。所以说，大多是通过二次及以上的抽象来完成的，弱抽象、强抽象在此发挥着重要的作用。初中数学领域的知识，除了基本概念，还有大量的以命题形式表达的公式、性质、法则、定理 （性质定理、判定定理）等，这些命题知识的探索、发现过程，一般是先考察一些典型例证，再概括出它们的共同特征或共同规律。这就是一个不断抽象的过程。进一步说，学习数学，几乎天天与公式、定理等打交道，若引导学生不断经历这样的研习，拉长抽象思维的历练过程，变掌握“专家结论”为学会“专家思维”，抽象能力就会在这个过程中发展起来。比如，人教版初中数学七年级“有理数”一章中有很多法则的发现及其符号化就是通过归纳概括抽象形成的，归纳一词在这一章中出现的频率特别高。这其实是在给教师传递一个信号：要引导学生充分利用这些素材尝试概括（本身就是一种抽象）、尝试抽象、学会抽象。有的数学公式等的发现与形成就来自逻辑推理，或为一般化或为特殊化，这都是进一步的抽象。如从多项式乘法法则到（狓犿）（狓狀）狓（犿狀）狓犿狀，再到乘法公式，就是一步步弱抽象，而从勾股定理到余弦定理就是强抽象。但也有一部分公式是具有原生意义的公式、法则等，要通过从具体到抽象的过程才能获得，如人教版七年级“有理数”一章第 页数轴上任意两点间的距离公式的获得，则要通过多组具体数据的考证，遵循从特殊到一般的归纳而提出。在数学原理或定理的发现、形成与论证过程中数学抽象也无处不在。一个几何定理常常源于特殊的具象化发现，然后提出猜想（需要个例群体的共同属性特征的抽取而得猜想），达到一般化的认知，而抽象为一般意义上的定理或加注条件的定理。为了更好地沉淀为定理，还要通过应用把抽象得来的定理具体化，从一般走向特殊，在应用中体验抽象带来的便利。如人教版初中数学八年级上册第 章第 页幂的运算法则的学习，就是非常典型的多次抽象获取法则的过程。笔者通常把同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方统合在一起实施整体化教学，以数的乘方的意义为出发点，从底数、指数均为具体的数到其一变为字母（部分从具体到抽象），再到全变为字母（部分抽象到整体抽象）的脉络形成归纳性结论（再次抽象成猜想）。然后在这个基础上借助结合律，通过代数推理，推广至三个及以上的同底数幂的乘法法则（弱抽象）。进一步特殊化，当指数均相同时，获得犪狀犪狀犪狀（犿个狀）（犪狀）犿犪狀犿，在逻辑证明后得出幂的乘方法则（强抽象）；当犪犿犪狀犪犿狀中的指数相同但底数不同时，会出现犪狀犫狀（犪 犫）狀，把这个式子反过来就是积的乘方（强抽象）。以上展现了数学抽象的迭代推进，是一次历练抽象的良好机会。（三）在规律的探索与应用过程中培养抽象能力规律是客观存在着的，但不会自行被我们发现。在数学学习中可以通过大量的感性材料或具象化信息，获得直观或直觉认识，其中既有几何直观，又有结构性表征的直觉。在现行人教版初中数学教材中不乏其例，七年级上册“整式的加减”一章就很丰富，如第 页的第题、第题，第 页的第题、第 题，第 页的活动，第 页的活动等。这些问题给了教师引导学生诸多尝试抽象的机会，若不失时机地用好这些题目，发挥其应有的作用，抽象意识就会得到进一步加强。诸如此类的规律探索题屡见不鲜，这些丰厚的资源都给了教师在规律的探索与应用过程中加强数学抽象教学的机会。如，观察下列各式：犪，犪，犪，犪，犪 ，犪 ，根据这个式子呈现出来的规律，写出犪 。显然，要完成这道题目不可能具体地、一个接一个地写下去，它需要观察每一个数的结构特征，对每一个数均作出考察，然后再考察这一列数的整体样态，通过抽象进行一般化处理，从而获得一般性规律表达式。最后再把 代入表达式求值。这就是由理性的抽象走向理性的具体。（四）在几何直观的形成与发展过程中培养抽象能力从认识的来源看，一切真知都来源于社会实践，而感性认识是对实践的直接反映，感性认识的不断深化、发展才能形成理性认识。而数学抽象就是这样的理性认知，它源于人们的观察与感知，即数学直观。数学自身的发展、认知主体的数学学习在很大程度上依赖于直观，并且越抽象 的知识越离不开生动的直观和能被直观感知的具体。这对于处在形象思维向抽象思维过渡期的初中学生来说尤为重要。按照课标 的要求，从图形与图形的关系中抽象出数学概念、数学定理等数学研究对象，是数学抽象素养的重要表现之一。故而除了在代数系统中要重视抽象，在几何系统中也要重视抽象，因为它同样是培育和发展学生数学抽象素养的沃土。比如，在具体可感的事物中发现几何元素（用几何的眼光看现实世界），在观察几何图形中发现数学结论（用数学思维分析几何世界），追求数学定理的符号表达（用数学语言表达数学世界），这都是培养学生数学抽象素养的有利时机，这类的抽象素材在人教版初中数学教材几何内容中比比皆是。另外，除了图形与几何领域内容素材，其他领域也有诸多体现，如初中数学八年级上册，借助图形发现公式（乘法公式），就是建立在代数推理基础上的抽象，这类几何问题的代数化即是代数抽象，体现了在几何直观的形成与发展过程中加强数学抽象的教学。（五）在数学建模及其应用过程中培养抽象能力数学核心素养的三会之一“会用数学的语言表达现实世界”这句话中“数学的语言”就是数学模型、数学结构。用史宁中教授的话来说，“在义务教育阶段的数学中，用字母、数字及其他符号建立起来的代数式、关系式、方程、函数、不等式，各种图表、图形等都是数学模型”。可见数学结构、数学模型均是数学抽象的产物，一个概念、命题、法则、公式均是一个小模型，它们可以集结成一个较大模型。进而言之，在建立数学模型的过程以及用数学模型解决问题的应用过程中，抽象起着关键作用，没有抽象就没有模型，就没有模型应用价值的体现。此处论及的数学建模不完全等同于高中学段数学六大核心素养中的“数学建模”，它起码包含两个基本部分。一是将生活现实问题抽象成数学模型的数学建模。建立数学模型本身需要在实践中完成，即需要学生调动自己储备的“活性知识”，将新问题、新情境与已学知识形成关联，进而将实际问题抽象成数学模型并加以解决。在这一过程中，学生的“三会”眼光尤其是抽象概括本领会得到充分历练。二是在众多题目解决后，从实践中总结出有一定通性的方式方法，建构起解题模型，为同类型数学问题的解决提供通用模型，体现的是多题归一。如课标 中的例“探究叠放杯子的总高度变化规律”，图是个纸杯和个叠放在一起的纸杯的示意图，请自行定义常量与变量来建立一个函数，探究叠在一起的杯子的总高度随着杯子数量的变化规律。这是一道典型的以数学建模为载体的好题目，通过引入自变量、因变量构造目标函数，指向数学核心素养，培养抽象思维。图探究叠放杯子的总高度变化规律（六）在数学思想方法的凝练过程中培养抽象能力数学思想方法在内涵与形式上都是抽象的。为了更好地解决问题，需要一定的思想指导和策略支持，孙维刚提炼的“个大规律、个中规律、个小规律”，就是对数学思想方法的抽取、归纳。这与张景中院士的“中巧”之说是一脉相承的。在教学中，应善于引导学生把蕴藏在显性知识背后的隐性知识挖掘出来，抽象概括出隐匿于其中的数学思想方法，这不论是对学生的学习还是对数学抽象能力的发展都有重要的意义。这一抽象属于数学抽象的较高层次，对教师和学生都是很大的挑战。另外，教师还应该注重学生自主总结能力的培养。在每一节课或者每一章学习结束后，要积极引导学生对所学内容及其学习路径进行梳理总结、归纳概括，以此常态行为磨砺学生，提高其数学抽象能力。可用画思维导图或结构图等纲要信号的方式对每一节课、每一章做总结，挖掘出章节知识的联系之法、结构之力与发展之径。如此的归纳概括，既对所学内容进行了有效的复习和巩固，又促使学生深度思考，对所学知识进行提炼、完善，形成结构化联系，能发展学生的抽象概括能力。（七）在解题（解决问题）的过程中培养抽象能力“对于一个特例所以要进行这样周密的描述，其目的就是为了从中提出一般的方法和模式。这种模式，在以后类似的情况下，对于读者求解问题，可以起指引作用。”波利亚的这句话告诉我们，在解题后为了发挥解题的作用，要对题目解决的方法规律进行提炼、总结，从而抽象出一般性的结论，解决一类问题，力求举一反三、触类旁通，向更高的地方迁移发力。另外，在解题教学过程中要善于进行多题一解、多解归一的训练。多解归一就是把各种方法抽象出一个模型；多题一解，这本身也是归纳概括基础上的抽象，它们均体现了“举三反一”的抽象过程，通过“举三反一”达到举一反三的目的。解决问题的过程是抽象和具体的反复迭代过程。要让学生养成由具体数学对象生成一般性结论的“抽象”习惯。有时候面对一个棘手的问题，难以直接入手，若能认清其数学命题结构，将有助于抽象出更一般的数学命题，从而整体把握其本质，形成更为简洁的解题思路。如，已知犃 、犅 ，比较犃、犅的大小，若直接入手难度较大，也比较烦琐，若通过观察其外在结构，发现它们的结构特点后，引入抽象的字符，把两个具体式子进行“一般化”处理，令 犿，则犃、犅两式就可以用犿表达出来，最后通过作差比较获得结论。如此，问题解决变得容易了许多，让我们体验到了抽象化的强大力量。（八）在三种语言的转换过程中培养抽象能力把文字语言转化为图形语言，把图形语言转化为符号语言，是教学过程中无可回避的问题，而这个转化过程就是不断抽象的过程。利用三种语言的转换是落实抽象、训练抽象思维的有效途径。因为数学教学一定程度上就是数学语言的教学，所以说，语言的不断切换是贯通于常态教学的常态行为，在这种常态中形成并增强学生的抽象意识，进而提高学生的抽象能力。教材中用文字语言表达的证明题，就是典型的利用语言转换培养抽象能力的好题型，人教版教材“三角形中位线定理”的证明即是最有力的注脚。人教版八年级上册第 页的例，也是一道文字证明题，教学时可让学生尝试自己完成这道题目。这需要学生先根据文字表达画出对应的示意图，转化为图形（语言），然后利用图形的直观和文字表达用符号语言写出已知、求证，接下来才是证明。整个过程就是在尝试抽象。人教版八年级上册第 页的拓广探索 题，同样是一道文字证明题，也是通过语言转换加强抽象练习的大好机会。恰如“在游泳中学会游泳”，抽象经验需要在抽象活动中积累，抽象能力需要在抽象活动中发展，抽象素养需要在抽象经验的积淀升华中以及抽象能力的发展提升中养成。所以说，在数学教学过程中多给学生搭建平台、提供机会，让他们不断经历层次清晰的抽象过程，参与抽象、尝试抽象，慢慢地就会在抽象中把握抽象，学会抽象。最后需要说明的是，以上八条路径并非彼此相斥的逻辑分类，而是或融或离、或分或合的行动举措，在教学中除了不断地实践，还需要“整体化教学”的支持。要一以贯之地落实好抽象能力的提升，就需要统筹布局，整体规划，在结构化知识、系统化课程中，种下抽象的种子并不断历练，而不是靠率性而为，因为碎片化的设计难以发力。罗马不是一天建成的，数学的眼光也不是几天炼就的，相对于数学抽象素养的形成和发展更不是一蹴而就的，它需要一以贯之，需要长期的实践、探索以及熏陶、内悟。根据皮亚杰的认知发展阶段学说，初中学生已经处于“形式运算”的认知发展阶段，是培养抽象能力的黄金期，但由于数学抽象的高度概括性以及复杂性、层进性，还需要甄选适切的知识载体来落实好培养抽象能力的教学。所以，初中学段既要衔接好小学借助直观已经形成的抽象意识，又要对接好高中学段的抽象素养，把数学抽象思维能力的培养贯穿于日常教学之中，帮助学生经历数学抽象的核心过程，进一步激发学生数学抽象的好奇心，深刻体会数学抽象的特点，积累数学抽象活动经验，为高中学段形成更加系统、严谨的数学抽象素养添一把力。参考文献：史宁中数学的抽象东北师大学报（哲学社会科学版），（）：史宁中数学思想概论：图形与图形关系的抽象长春：东北师范大学出版社，：曹才翰中学数学教学概论北京：北京师范大学出版社，：顾祥芳，杜育林培养抽象能力必须经历两个过程教育研究与评论（中学教育教学），（）：中华人民共和国教育部义务教育数学课程标准（年版）北京：北京师范大学出版社，朱立明，胡洪强，马云鹏数学核心素养的理解与生成路径：以高中数学课程为例数学教育学报，（）：林京榕，陈清华，董涛数学抽象素养培养策略数学通报，（）：章建跃树立课程意识落实核心素养数学通报，（）：章建跃发挥数学的内在力量为学生谋取长期利益数学通报，（）：邢成云“整体统摄快慢相谐”的整体化教学中国教师，（）：史宁中义务教育数学课程标准（年版）解读北京：北京师范大学出版社，马刚再说孙维刚：原北京二十二中校长马刚访谈录中外企业文化：餐饮文化，（）：波利亚数学的发现：第卷呼和浩特：内蒙古人民出版社，：（责任编辑：郭晨跃）犚 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