2020中考数学九年级下册锐角三角函数在实际问题中的应用(含答案).doc

2020中考数学 锐角三角函数在实际问题中的应用（含答案）

1.如图，小军和小兵要去测量一座古塔的高度，他们在离古塔60米的A处用测角仪测得塔顶的仰角为30°，已知测角仪AD=1.5米，则塔CB的高为多少米？

参考答案:解：过A作AE∥DC交BC于点E
则AE=CD=60米，则∠AEB=90°，EC=AD=1.5
在Rt△ABE中，
即
∴
所以，古塔高度为：米
2.如图，小强在家里的楼顶上的点A处，测量建在与小明家楼房同水平线上相邻的电梯楼的高，在点A处看电梯楼顶点B处的仰角为60°，看楼底点C的俯角为45°，两栋楼之间的距离为30米，则电梯楼的高BC为多少米？

参考答案:解：过A作AD∥地面，交BC于D
则在Rt△ABD中，，即，∴
在Rt△ACD中，，即，∴
∴楼高BC为：

3.小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC，并测得B，C两点的俯角分别为45°，35°。已知大桥BC与地面在同一水平面上，其长度为100米，请求出热气球离地面的高度。（结果保留整数，参考数据：，，）

参考答案:解：过A作AD⊥BC于点D
则AD即为热气球的高度，且∠1=∠2=45°
∴可设AD=BD=x
则CD=x+100
在Rt△ADC中
，即
得：
即热气球的高度为米
4.如图，某建筑物BC顶部有一旗杆AB，且点A，B，C在同一直线上．小红在D处观测旗杆顶部A的仰角为47°，观测旗杆底部B的仰角为42°．已知点D到地面的距离DE为1.56m，EC=21m，求旗杆AB的高度和建筑物BC的高度（结果保留小数点后一位，参考数据：tan47°≈1.07，tan42°≈0.90）．

参考答案:解：根据题意，DE=1.56,EC=21,∠ACE=90°,∠DEC=90°．
过点D作DF⊥AC,垂足为F．
则∠DFC=90°,∠ADF=47°,∠BFD=42°．
可得四边形DECF为矩形．
∴DF=EC=21,FC=DE=1．56．
在Rt△DFA中，
∴AF=DF·tan47°≈21×107=22.47．
在Rt△DFB中，
∴BF=DF·tan42°≈21×0.90=18.90．
于是，AB=AF-BF=22.47-18.90=3.57≈3.6,
BC=BF+FC=18.90+1.56=20.46≈20.5．
5.如图所示，探测出某建筑物废墟下方点C处有生命迹象．在废墟一侧面上选两探测点A、B，AB相距2米，探测线与该面的夹角分别是30°和45°（如图）．试确定生命所在点C与探测面的距离．（参考数据,）

参考答案:解：过C作CD⊥AB于点D，
则∠DBC=45°=∠BCD
∴可设BD=CD=x
在Rt△ACD中可得：
即：
得
即，点C与探测面的 距离大约为2.73米。
6.如图所示，如图所示，我市某中学课外活动小组的同学利用所学知识去测量釜溪河沙湾段的宽度。小宇同学在A处观测对岸C点，测得∠CAD＝45°，小英同学在距A处50米远的B处测得∠CBD＝30°，请你根据这些数据算出河宽。（精确到0.01米，参考数据， ，） 

参考答案:解：在Rt△ACE中，∠CAE=45°
∴可设CE=EA=x
在Rt△BCE中，，即，得
即，河宽约为68.3米
7.如图，甲、乙为两座建筑物，它们之间的水平距离BC为30m，在A点测得D点的仰角∠EAD为45°，在B点测得D点的仰角∠CBD为60°，求这两座建筑物的高度（结果保留根号）

参考答案:解：如图，过A作AF⊥CD于点F，
在Rt△BCD中，∠DBC=60°，BC=30m，
∵
∴CD=BC•tan60°=m，
∴乙建筑物的高度为m；
在Rt△AFD中，∠DAF=45°，
∴DF=AF=BC=30m，
∴AB=CF=CD﹣DF=m，
∴甲建筑物的高度为m．
8.如图所示，在某海域，一艘指挥船在C处收到渔船在B处发出的求救信号，经确定，遇险抛锚的渔船所在的B处位于C处的南偏西45°方向上，且BC＝60海里；指挥船搜索发现，在C处的南偏西60°方向上有一艘海监船A，恰好位于B处的正西方向．于是命令海监船A前往搜救，已知海监船A的航行速度为30海里/小时，问渔船在B处需要等待多长时间才能得到海监船A的救援？(参考数据：，，，结果精确到0.1小时)

参考答案:解：因为A在B的正西方，延长AB交南北轴于点D，则AB⊥CD于点D
∵∠BCD＝45°，BD⊥CD
∴BD＝CD
在Rt△BDC中，∵cos∠BCD＝，BC＝60海里
即cos45°＝，解得CD＝海里
∴BD＝CD＝海里
在Rt△ADC中，∵tan∠ACD＝
即 tan60°＝，解得AD＝海里
∵AB＝AD－BD
∴AB＝－＝30()海里
∵海监船A的航行速度为30海里/小时
则渔船在B处需要等待的时间为 ＝＝≈2.45－1.41＝1.04≈1.0小时
∴渔船在B处需要等待1.0小时

9.随着人们生活水平的不断提高，旅游已成为人们的一种生活时尚．为开发新的旅游项目，我市对某山区进行调查，发现一瀑布．为测量它的高度，测量人员在瀑布的对面山上D点处测得瀑布顶端A点的仰角是30°，测得瀑布底端B点的俯角是10°，AB与水平面垂直．又在瀑布下的水平面测得CG＝27m，GF＝17.6m(注：C、G、F三点在同一直线上，CF⊥AB于点F)．斜坡CD＝20m，坡角∠ECD＝40°．求瀑布AB的高度．
(参考数据：≈1.73，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18)

参考答案:解：过点D作DM⊥CE，交CE于点M，作DN⊥AB，交AB于点N，如图所示．
在Rt△CMD中，CD＝20m，∠DCM＝40°，∠CMD＝90°，
∴CM＝CD•cos40°≈15.4m，DM＝CD•sin40°≈12.8m，
∴DN＝MF＝CM＋CG＋GF＝60m．
在Rt△BDN中，∠BDN＝10°，∠BND＝90°，DN＝60m，
∴BN＝DN•tan10°≈10.8m．
在Rt△ADN中，∠ADN＝30°，∠AND＝90°，DN＝60m，
∴AN＝DN•tan30°≈34.6m．
∴AB＝AN＋BN＝45.4m．
答：瀑布AB的高度约为45.4米．

10.如图，斜坡BE，坡顶B到水平地面的距离AB为3米，坡底AE为18米，在B处，E处分别测得CD顶部点D的仰角为30°，60°，求CD的高度．(结果保留根号)

参考答案:解：作BF⊥CD于点F，设DF＝x米，
在Rt△DBF中，，
则，
在直角△DCE中，DC＝x＋CF＝3＋x(米)，
在直角△ABF中，，则米．
∵BF－CE＝AE，即．
解得：，
则CD＝(米)．
答：CD的高度是米．
11.如图，站在高出海平面100m的悬崖C处，俯视海平面上一搜捕鱼船A，并测得其俯角为30°，则船与观察者之间的水平距离是多少？船向观察者方向行进了一段距离到达B处，此时测得船的俯角为60°，求船航行了多少米？

参考答案:解：由题可知∠CAD=30°，∠CBD=60°，CD=100
∴在Rt△ADC中，，即，∴
∴在Rt△BDC中，，即，∴
∴船与观察者之间的水平距离为：，船航行了

12.有一艘渔轮在海上C处作业时，发生故障，立即向搜救中心发出救援信号，此时搜救中心的两艘救助轮救助一号和救助二号分别位于海上A处和B处，B在A的正东方向，且相距100里，测得地点C在A的南偏东60°，在B的南偏东30°方向上，如图所示，若救助一号和救助二号的速度分别为40里/小时和30里/小时，问搜救中心应派那艘救助轮才能尽早赶到C处救援？（≈1.7）

参考答案:解：作CD⊥AB交AB延长线于D，
由已知得：∠EAC=60°，∠FBC=30°，
∴∠1=30°，∠2=90°-30°=60°，
∵∠1+∠3=∠2，
∴∠3=30°，
∴∠1=∠3，
∴AB=BC=100，
在Rt△BDC中，，
∴，
∵AD=AB+BD=150，
∴在Rt△ACD中，，
∴，，
∵，
∴搜救中心应派2号艘救助轮才能尽早赶到C处救援．
13.一艘渔船位于港口A的北偏东60°方向，距离港口20海里B处，它沿北偏西37°方向航行至C处突然出现故障，在C处等待救援，B，C之间的距离为10海里，救援船从港口A出发20分钟到达C处，求救援的艇的航行速度.（sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，≈1.732，结果取整数）

参考答案:解：辅助线如图所示：
BD⊥AD，BE⊥CE，CF⊥AF，
有题意知，∠FAB=60°，∠CBE=37°，
∴∠BAD=30°，
∵AB=20海里，
∴BD=10海里，
在Rt△ABD中，
在Rt△BCE中，
∴CE=BC•sin37°≈0.6×10=6海里，
∵
∴EB=BC•cos37°≈0.8×10=8海里，
EF=AD=17.32海里，
∴FC=EF﹣CE=11.32海里，
AF=ED=EB+BD=18海里，
在Rt△AFC中，

21.26×3≈64海里/小时.
答：救援的艇的航行速度大约是64海里/小时.

14.今年，我国海关总署严厉打击“洋垃圾”违法行动，坚决把“洋垃圾”拒于国门之外．如图，某天我国一艘海监船巡航到港口正西方的处时，发现在的北偏东方向，相距150海里处的点有一可疑船只正沿方向行驶，点在港口的北偏东方向上，海监船向港口发出指令，执法船立即从港口沿方向驶出，在处成功拦截可疑船只，此时D点与点的距离为海里．
（1）求点到直线的距离；
（2）执法船从到航行了多少海里?（结果保留根号）

参考答案:解：（1）过点B作交CA的延长线于点H，

答：点到直线的距离为75海里。
（2） BH=75

在中，

(海里)
答：执法船从到航行了海里。
15.为了测量竖直旗杆AB的高度，某综合实践小组在地面D处竖直放置标杆CD，并在地面上水平放置一个平面镜E，使得B，E，D在同一水平线上，如图所示.该小组在标杆的F处通过平面镜E恰好观测到旗杆顶A（此时∠AEB=∠FED），在F处测得旗杆顶A的仰角为39.3°，平面镜E的俯角为45°，FD=1.8米，问旗杆AB的高度约为多少米？（结果保留整数）（参考数据：tan39.3°≈0.82，tan84.3°≈10.02）

参考答案:解：由题意，可得∠FED=45°.
在直角△DEF中，∵∠FDE=90°，∠FED=45°，
∴DE=DF=1.8米，米.
∵∠AEB=∠FED=45°，
∴∠AEF=180°﹣∠AEB﹣∠FED=90°.
在直角△AEF中，∵∠AEF=90°，∠AFE=39.3°+45°=84.3°，
∴AE=EF•tan∠AFE≈×10.02=18.036（米）.
在直角△ABE中，∵∠ABE=90°，∠AEB=45°，
∴
故旗杆AB的高度约为18米.
16.如图，某数学兴趣小组在活动课上测量学校旗杆的高度。已知小亮站着测量，眼睛与地面的距离（AB）是1.7米，看旗杆顶部E的仰角为30°；小敏蹲着测量，眼睛与地面的距离（CD）是0.7米，看旗杆顶部E的演讲为45°；两人相距5米且位于旗杆同侧（点B、D、F在同一直线上）。
（1）求小敏到旗杆的距离DF；（结果保留根号）
（2）求旗杆EF的高度。

参考答案: 解：过C作CP⊥EF于点P，过A作AQ⊥EF于点Q，则QP=1.7-0.7=1
则在Rt△ECD中可设CD=ED=x
∴EQ=x-1
在Rt△AEQ中，AQ=BD+CD=5+x
∴，即
得
∴，小敏到旗杆的距离为
17.如图，马路的两边CF、DE互相平行，线段CD为人行横道，马路两侧的A、B两点分别表示车站和超市，CD与AB所在直线互相平行，且都与马路的两边垂直．马路宽20米，A，B相距62米，∠A＝67°，∠B＝37°．
（1）求CD与AB之间的距离；
（2）某人从车站A出发，沿折线A→D→C→B去超市B．求他沿折线A→D→C→B到达超市比直线横穿马路多走多少米．
（参考数据：，，，，，）

参考答案:【解】（1）如图（第20题图）设CD与AB的距离为x米．
∵CD∥AB，CF∥DE，CD⊥DE，∴四边形CDEF是矩形，
∴CF＝DE＝x（米），EF＝CD＝20（米），
又∵AB⊥CF，AB⊥DE，
∴AE＝≈，BF＝≈，
∴AB＝AE＋EF＋BF＝＋20＋≈62，
解得，x≈24（米）
即CD与AB的距离约为24米．
（2）在Rt△ADE中，AD＝ ，同理，BC≈，
∴（AD＋DC＋CB）－AB≈26＋20＋40－62＝24（米）
即沿折线A→D→C→B去超市B比直线横穿马路多走约24米．
18.如图，一艘游轮在A处测得北偏东45°的方向上有一灯塔B．游轮以海里/时的速度向正东方向航行2小时到达C处，此时测得灯塔B在C处北偏东15°的方向上，求A处与灯塔B相距多少海里？(结果精确到1海里，参考数据：，)

参考答案:解：过点C作CM⊥AB，垂足为M，
在Rt△ACM中，∠MAC＝90°－45°＝45°，则∠MCA＝45°，
∴AM＝MC，
由勾股定理得：AM2＋MC2＝AC2＝(20×2)2，
解得：AM＝CM＝40，
∵∠ECB＝15°，
∴∠BCF＝90°－15°＝75°，
∴∠B＝∠BCF－∠MAC＝75°－45°＝30°，
在Rt△BCM中，tanB＝tan30°＝，即，
∴BM＝40，
∴AB＝AM＋BM＝40＋40≈40＋40×1.73≈109(海里)，
答：A处与灯塔B相距109海里．

19.如图，轮船从点A处出发，先航行至位于点A的南偏西15°且与点A相距100km的点B处，再航行至位于点B的北偏东75°且与点B相距200km的点C处。
（1）求点C与点A的距离。（保留根号）
（2）确定点C相对于点A的方向。

参考答案:解：过A作AD⊥BC于点D，
由图可知：∠ABD=60°
在Rt△ABD中，，∴BD=50
，∴
在Rt△ADC中，由勾股定理可得：

∴
∴锐角∠DAC=60°
∴点C在点A的南偏西75°
20.如图1，水坝的横截面是梯形ABCD，∠ABC＝37°，坝顶DC＝3m，背水坡AD的坡度i(即tan∠DAB)为1:0.5，坝底AB＝14m．
(1)求坝高；
(2)如图2，为了提高堤坝的防洪抗洪能力，防汛指挥部决定在背水坡将坝顶和坝底同时拓宽加固，使得AE＝2DF，EF⊥BF，求DF的长．(参考数据：，，)

参考答案:解：(1)作DM⊥AB于M，CN⊥AN于N．
由题意：tan∠DAB＝＝2，设AM＝x，则DM＝2x，
∵四边形DMNC是矩形，
∴DM＝CN＝2x，
在Rt△NBC中，tan37°＝，
∴BN＝x，
∵x＋3＋x＝14，
∴x＝3，
∴DM＝6，
答：坝高为6m．
(2)作FH⊥AB于H．设DF＝y，则AE＝2y，EH＝3＋2y－y＝3＋y，BH＝14＋2y－(3＋y)＝11＋y，
由△EFH∽△FBH，可得，
即，
解得y＝－7＋2或－7－2(舍弃)，
∴DF＝2－7，
答：DF的长为(2－7)m．
21.如图，线段AB，CD分别表示甲、乙两座建筑物的高。某九年级课外兴趣活动小组未来测量者两座建筑物的高，用自制测角仪在A处测得D点的仰角为α，在B处测得D点的仰角为β。已知甲乙两座建筑物之间的距离BC=m，请你通过计算，用含有α、β，m的式子分别表示甲乙两座建筑物的高度

参考答案:解：假设过A的水平线交CD于点E，则由题可知：AE⊥DC，AE=BC=m
在Rt△ADE中，，即
∴
在Rt△BDC中，，即
∴
所以，乙建筑物高
甲建筑物高：