2024-2025学年池州市重点中学数学高一下期末教学质量检测试题含解析.doc

2024-2025学年池州市重点中学数学高一下期末教学质量检测试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知是第三象限的角，若，则
A． B． C． D．
2．甲、乙、丙、丁4名田径选手参加集训，将挑选一人参加400米比赛，他们最近10次测试成绩的平均数和方差如下表；根据表中数据，应选哪位选手参加比赛更有机会取得好成绩？（ ）

甲
乙
丙
丁
平均数
59
57
59
57
方差
12
12
10
10
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
3．设为等比数列的前n项和，若，则（ ）
A．-11 B．-8 C．5 D．11
4．在△ABC中，已知，P为线段AB上的点，且的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．圆心为的圆与圆相外切，则圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知向量=(3，4)，=(2，1)，则向量与夹角的余弦值为( )
A． B． C． D．
7．已知表示两条不同的直线，表示三个不同的平面，给出下列四个命题：
①，，，则；
②，，，则；
③，，，则；
④，，，则
其中正确的命题个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．不等式组所表示的平面区域的面积为（ ）
A．1 B． C． D．
9．已知函数，则
A．的最小正周期为，最大值为
B．的最小正周期为，最大值为
C．的最小正周期为，最大值为
D．的最小正周期为，最大值为
10．设全集，集合，则（　　）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．某班委会由4名男生与3名女生组成，现从中选出2人担任正副班长，
其中至少有1名女生当选的概率是______
12．过点作直线与圆相交，则在弦长为整数的所有直线中，等可能的任取一条直线，则弦长长度不超过14的概率为______________.
13．某公司当月购进、、三种产品，数量分别为、、，现用分层抽样的方法从、、三种产品中抽出样本容量为的样本，若样本中型产品有件，则的值为_______．
14．若直线与直线互相平行，那么a的值等于_____．
15．已知函数f(n)＝n2cos(nπ)，且an＝f(n)＋f(n＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100＝_______
16．已知数列中，，当时，，数列的前项和为_____．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知夹角为，且，，求：
（1）； （2）与的夹角．
18．已知的三个内角、、的对边分别是、、，的面积，
（Ⅰ）求角；
（Ⅱ）若中，边上的高，求的值.
19．已知圆.
（1）求圆的半径和圆心坐标；
（2）斜率为的直线与圆相交于、两点，求面积最大时直线的方程.
20．已知圆，为坐标原点，动点在圆外，过点作圆的切线，设切点为.
（1）若点运动到处，求此时切线的方程；
（2）求满足的点的轨迹方程.
21．已知函数.
(1)求的值及f(x)的对称轴；
(2)将的图象向左平移个单位得到函数的图象，求的单调递增区间.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】
根据是第三象限的角得，利用同角三角函数的基本关系，求得的值.
【详解】
因为是第三象限的角，所以，
因为，所以解得：，故选D.
本题考查余弦函数在第三象限的符号及同角三角函数的基本关系，即已知值，求的值.
2、D
【解析】
由平均数及方差综合考虑得结论．
【详解】
解：由四位选手的平均数可知，乙与丁的平均速度快；
再由方差越小发挥水平越稳定，可知丙与丁稳定，
故应选丁选手参加比赛更有机会取得好成绩．
故选：．
本题考查平均数与方差，熟记结论是关键，属于基础题．
3、A
【解析】
设数列{an}的公比为q.由8a2+a5=0,
得a1q(8+q3)=0.
又∵a1q≠0,∴q=-2.
∴===-11.故选A.
4、A
【解析】
试题分析：在中，设，∵， ，即，∴，∵，∴，即．∵，，∴，，∴．根据直角三角形可得，，，∴，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴建立直角坐标系可得，为线段上的一点，则存在实数使得．设， ，则，且，∴，可得则，即，解得，故所求的最大值为：，故选A．
考点：三角形的内角和定理，两角和的正弦公式，基本不等式求解最值．
5、A
【解析】
求出圆的圆心坐标和半径，利用两圆相外切关系，可以求出圆的半径，求出圆的标准方程，最后化为一般式方程.
【详解】
设的圆心为A，半径为r，圆C的半径为R,
，所以圆心A坐标为，半径r为3，圆心距为，因为两圆相外切，所以有
,故圆的标准方程为: ,故本题选A.
本题考查了圆与圆的相外切的性质，考查了已知圆的方程求圆心坐标和半径，考查了数学运算能力.
6、A
【解析】
由向量的夹角公式计算．
【详解】
由已知，，．
∴．
故选A．
本题考查平面向量的数量积，掌握数量积公式是解题基础．
7、B
【解析】
根据线面和线线平行与垂直的性质逐个判定即可.
【详解】
对①, ,,不一定有,故不一定成立.故①错误.
对②,令为底面为直角三角形的直三棱柱的三个侧面,且,,,但此时,故不一定成立.故②错误.
对③, ,,,则成立.故③正确.
对④,若,,则,或,又,则.故④正确.
综上,③④正确.
故选：B
本题主要考查了根据线面、线线平行与垂直的性质判断命题真假的问题,需要根据题意举出反例或者根据判定定理判定,属于中档题.
8、D
【解析】
画出可行域，根据边界点的坐标计算出平面区域的面积.
【详解】
画出可行域如下图所示，其中，故平面区域为三角形，且三角形面积为，故选D.

本小题主要考查线性规划可行域面积的求法，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.
9、B
【解析】
首先利用余弦的倍角公式，对函数解析式进行化简，将解析式化简为，之后应用余弦型函数的性质得到相关的量，从而得到正确选项.
【详解】
根据题意有，
所以函数的最小正周期为，
且最大值为，故选B.
该题考查的是有关化简三角函数解析式，并且通过余弦型函数的相关性质得到函数的性质，在解题的过程中，要注意应用余弦倍角公式将式子降次升角，得到最简结果.
10、B
【解析】
先求出，由此能求出．
【详解】
∵全集，集合，
∴，∴．
故选B．
本题主要考查集合、并集、补集的运算等基本知识，体现运算能力、逻辑推理等数学核心素养．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
试题分析：∵从7人中选2人共有C72=21种选法，
从4个男生中选2人共有C42=6种选法
∴没有女生的概率是=，∴至少有1名女生当选的概率1-=．
考点：本题主要考查古典概型及其概率计算公式．
点评：在使用古典概型的概率公式时，应该注意：（1）要判断该概率模型是不是古典概型；（2）要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．
12、
【解析】
根据圆的性质可求得最长弦和最短弦的长度，从而得到所有弦长为整数的直线条数，从中找到长度不超过的直线条数，根据古典概型求得结果.
【详解】
由题意可知，最长弦为圆的直径：
在圆内部且圆心到的距离为
最短弦长为：
弦长为整数的直线的条数有：条
其中长度不超过的条数有：条
所求概率：
本题正确结果：
本题考查古典概型概率问题的求解，涉及到过圆内一点的最长弦和最短弦的长度的求解；易错点是忽略圆的对称性，造成在求解弦长为整数的直线的条数时出现丢根的情况.
13、.
【解析】
利用分层抽样每层抽样比和总体的抽样比相等，列等式求出的值.
【详解】
在分层抽样中，每层抽样比和总体的抽样比相等，则有，
解得，故答案为：.
本题考查分层抽样中的相关计算，解题时要充分利用各层抽样比与总体抽样比相等这一条件列等式求解，考查运算求解能力，属于基础题.
14、；
【解析】
由题意得，验证满足条件，所以
15、－1
【解析】
分n为偶数和奇数求得数列的奇数项和偶数项均为等差数列，然后利用分组求和得答案．
【详解】
若n为偶数，则an＝f（n）+f（n+1）＝n2﹣（n+1）2＝﹣（2n+1），
偶数项为首项为a2＝﹣5，公差为﹣4的等差数列；
若n为奇数，则an＝f（n）+f（n+1）＝﹣n2+（n+1）2＝2n+1，
奇数项为首项为a1＝3，公差为4的等差数列．
∴a1+a2+a3+…+a1 ＝（a1+a3+…+a99）+（a2+a4+…+a1）
1．
故答案为：1．
本题考查数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了等差数列前n项和的求法，是中档题．
16、．
【解析】
首先利用数列的关系式的变换求出数列为等差数列，进一步求出数列的通项公式，最后求出数列的和．
【详解】
解：数列中，，当时，，
整理得，
即，
∴数列是以为首项，6为公差的等差数列，
故，
所以，
故答案为：．
本题主要考查定义法判断等差数列，考查等差数列的前项和，考查运算能力和推理能力，属于中档题．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）（2）
【解析】
试题分析：（1）先求模的平方将问题转化为向量的数量积问题．（2）根据数量积公式即可求得两向量的夹角．
（1），
，
所以．
（2）设与的夹角为．
则，因为，所以．
考点：1向量的数量积；2向量的模长．
18、（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）由面积公式推出，代入所给等式可得，求出角C的余弦值从而求得角C；（Ⅱ）首先由求出边c，再由面积公式代入相应值求出边b，利用余弦定理即可求出边a.
【详解】
（Ⅰ）由得 ①
于是，
即
∴
又，所以
（Ⅱ），
由得，
将代入中得，
解得.
本题考查余弦定理解三角形，三角形面积公式，属于基础题.
19、（1）圆的圆心坐标为，半径为；（2）或．
【解析】
（1）将圆的方程化为标准方程，可得出圆的圆心坐标和半径；
（2）设直线的方程为，即，设圆心到直线的距离，计算出直线截圆的弦长，利用基本不等式可得出的最大值以及等号成立时对应的的值，利用点的到直线的距离可解出实数的值.
【详解】
（1）将圆的方程化为标准方程得，
因此，圆的圆心坐标为，半径为；
（2）设直线的方程为，即，
设圆心到直线的距离，则，且，
的面积为，
当且仅当时等号成立，由点到直线的距离公式得，
解得或.
因此，直线的方程为或．
本题考查圆的一般方程与标准方程之间的互化，以及直线截圆所形成的三角形的面积，解题时要充分利用几何法将直线截圆所得弦长表示出来，在求最值时，可利用基本不等式、函数的单调性来求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
20、（1）或； （2）.
【解析】

解: 把圆C的方程化为标准方程为（x＋1）2＋（y－2）2＝4，
∴圆心为C（－1,2），半径r＝2.
（1）当l的斜率不存在时，此时l的方程为x＝1，C到l的距离d＝2＝r，满足条件．
当l的斜率存在时，设斜率为k，得l的方程为y－3＝k（x－1），即kx－y＋3－k＝0，
则＝2，解得k＝.
∴l的方程为y－3＝（x－1），
即3x＋4y－15＝0.
综上，满足条件的切线l的方程为或.
（2）设P（x，y），则|PM|2＝|PC|2－|MC|2＝（x＋1）2＋（y－2）2－4，
|PO|2＝x2＋y2，
∵|PM|＝|PO|.
∴（x＋1）2＋（y－2）2－4＝x2＋y2，
整理，得2x－4y＋1＝0，
∴点P的轨迹方程为.
考点：直线与圆的位置关系；圆的切线方程；点的轨迹方程.
21、（1），； （2）。
【解析】
（1）求得函数，代入即可求解的值，令，即可求得函数的对称轴的方程；
（2）由（1），结合三角函数的图象变换，求得，再根据三角函数的性质，即可求解.
【详解】
（1）由函数，
则，
令，解得，
即函数的对称轴的方程为
（2）由（1）可知函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，
可得的图象，
令，解得，
所以函数的单调递增区间为.
本题主要考查了三函数的图象与性质，以及三角函数的图象变换的应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，以及三角函数的图象变换求得函数的解析式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.