2025届北京东城55中数学高一第二学期期末检测模拟试题含解析.doc

2025届北京东城55中数学高一第二学期期末检测模拟试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．在中，角，，所对的边分别为，，，则下列命题中正确命题的个数为( )
①若,则；
②若，则为钝角三角形；
③若，则．
A．1 B．2 C．3 D．0
2．下列四个函数中，与函数完全相同的是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知点，直线方程为，且直线与线段相交，求直线的斜率k的取值范围为（ ）
A．或 B．或
C． D．
4．函数的图象（ ）
A．关于点（－，0）对称 B．关于原点对称 C．关于y轴对称 D．关于直线x=对称
5．某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入，若该公司年全年投入研发奖金万元，在此基础上，每年投入的研发奖金比上一年增长，则该公司全年投入的研发奖金开始超过万元的年份是（ ）（参考数据：，，）
A．年 B．年 C．年 D．年
6．若平面向量，满足，，且，则等于（ ）
A． B． C．2 D．8
7．已知变量，之间的线性回归方程为，且变量，之间的一组相关数据如下表所示，则下列说法中错误的是（ ）

6
8
10
12

6

3
2
A．变量，之间呈现负相关关系
B．的值等于5
C．变量，之间的相关系数
D．由表格数据知，该回归直线必过点
8．在正方体中，分别是线段的中点，则下列判断错误的是（ ）
A．与垂直 B．与垂直
C．与平行 D．与平行
9．若，是夹角为的两个单位向量，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
10．在投资生产产品时，每生产需要资金200万，需场地，可获得300万；投资生产产品时，每生产需要资金300万，需场地，可获得200万，现某单位可使用资金1400万，场地，则投资这两种产品，最大可获利( )
A．1350万 B．1475万 C．1800万 D．2100万
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知当时，函数（且）取得最大值，则时，的值为__________．
12．某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为3:5:7，现用分层抽样的方法抽出容量为的样本，其中甲种产品有18件，则样本容量= ．
13．程的解为______.
14．已知函数在一个周期内的图象如图所示，则的解析式是______.

15．等差数列满足，则其公差为__________．
16．已知向量（1，2），（x，4），且∥，则_____．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．在中，角，，所对的边为，，，向量与向量共线.
（1）若，求的值；
（2）若为边上的一点，且，若为的角平分线，求的取值范围.
18．已知向量，满足：，，．
（Ⅰ）求与的夹角；
（Ⅱ）求．
19．如图是函数的部分图象.

（1）求函数的表达式；
（2）若函数满足方程，求在内的所有实数根之和；
（3）把函数的图象的周期扩大为原来的两倍，然后向右平移个单位，再把纵坐标伸长为原来的两倍，最后向上平移一个单位得到函数的图象．若对任意的，方程在区间上至多有一个解，求正数的取值范围．
20．某科研小组研究发现：一棵水蜜桃树的产量（单位：百千克）与肥料费用（单位：百元）满足如下关系：，且投入的肥料费用不超过5百元.此外，还需要投入其他成本（如施肥的人工费等）百元.已知这种水蜜桃的市场售价为16元/千克（即16百元/百千克），且市场需求始终供不应求.记该棵水蜜桃树获得的利润为（单位：百元）.
（1）求利润函数的函数关系式，并写出定义域；
（2）当投入的肥料费用为多少时，该水蜜桃树获得的利润最大？最大利润是多少？
21．已知,函数.
(1)当时,解不等式;
(2)若对,不等式恒成立,求a的取值范围.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】
根据正弦定理和大角对大边判断①正确；利用余弦定理得到为钝角②正确；化简利用余弦定理得到③正确.
【详解】
①若,则；
根据，则 即，即，正确
②若，则为钝角三角形；
，为钝角，正确
③若，则

即，正确
故选C
本题考查了正弦定理和余弦定理，意在考查学生对于正弦定理和余弦定理的灵活运用.
2、C
【解析】
先判断函数的定义域是否相同，再通过化简判断对应关系是否相同，从而判断出与相同的函数.
【详解】
的定义域为，
A. ，因为，所以，
定义域为或，与定义域不相同；
B. ，因为，所以，
所以定义域为，与定义域不相同；
C. ，因为，所以定义域为，
又因为，所以与相同；
D. ，因为，所以，定义域为，
与定义域不相同.
故选：C.
本题考查与三角函数有关的相同函数的判断，难度一般.判断相同函数时，首先判断定义域是否相同，定义域相同时再去判断对应关系是否相同（函数化简），结合定义域与对应关系即可判断出是否是相同函数.
3、A
【解析】
先求出线段的方程，得出，在直线的方程中得到，将代入的表达式，利用不等式的性质求出的取值范围．
【详解】
易求得线段的方程为，得，
由直线的方程得
，
当时，，此时，；
当时，，此时，．
因此，实数的取值范围是或，故选A．
本题考查斜率取值范围的计算，可以利用数形结合思想，观察倾斜角的变化得出斜率的取值范围，也可以利用参变量分离，得出斜率的表达式，利用不等式的性质得出斜率的取值范围，考查计算能力，属于中等题．
4、A
【解析】
关于点（－，0）对称，选A.
5、B
【解析】
试题分析：设从2015年开始第年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，由已知得，
两边取常用对数得，故从2019年开始，该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，故选B.
【考点】增长率问题，常用对数的应用
【名师点睛】本题考查等比数列的实际应用．在实际问题中平均增长率问题可以看作等比数列的应用，解题时要注意把哪个数作为数列的首项，然后根据等比数列的通项公式写出通项，列出不等式或方程就可求解．
6、B
【解析】
由，可得，再结合，展开可求出答案.
【详解】
由，可知，展开可得，
所以，
又，，所以.
故选：B.
本题考查向量数量积的应用，考查学生的计算求解能力，注意向量的平方等于模的平方，属于基础题.
7、C
【解析】
分析：根据平均数的计算公式，求得样本中心为，代入回归直线的方程，即可求解，得到样本中心，再根据之间的变化趋势，可得其负相关关系，即可得到答案.
详解：由题意，根据上表可知，
即数据的样本中心为，
把样本中心代入回归直线的方程，可得，解得，
则，即数据的样本中心为，
由上表中的数据可判定，变量之间随着的增大，值变小，所以呈现负相关关系，
由于回归方程可知，回归系数，而不是，所以C是错误的，故选C.
点睛：本题主要考查了数据的平均数的计算公式，回归直线方程的特点，以及相关关系的判定等基础知识的应用，其中熟记回归分析的基本知识点是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.
8、D
【解析】
利用数形结合，逐一判断，可得结果.
【详解】
如图

由分别是线段的中点
所以//
A选项正确，
因为，所以
B选项正确，
由，所以
C选项正确
D选项错误，
由//，而与相交，
所以可知，异面
故选：D
本题主要考查空间中直线与直线的位置关系，属基础题.
9、A
【解析】
根据条件可求出，，从而可求出，这样即可求出，根据向量夹角的范围即可求出夹角．
【详解】
由题得；
，
，
所以；
；
又；
的夹角为．
故选．
考查向量数量积的运算及计算公式，向量长度的求法，向量夹角的余弦公式，向量夹角的范围．
10、B
【解析】
设生产产品x百吨，生产产品百吨，利润为百万元，先分析题意，找出相关量之间的不等关系，即满足的约束条件，由约束条件画出可行域；要求应作怎样的组合投资，可使获利最大，即求可行域中的最优解，在线性规划的解答题中建议使用直线平移法求出最优解，即将目标函数看成是一条直线，分析目标函数与直线截距的关系，进而求出最优解．
【详解】
设生产产品百吨，生产产品百吨，利润为百万元
则约束条件为：，作出不等式组所表示的平面区域：

目标函数为.
由解得.
使目标函数为化为
要使得最大，即需要直线在轴的截距最大即可.
由图可知当直线过点时截距最大.
此时
应作生产产品3.25百吨，生产产品2.5百吨的组合投资，可使获利最大．
故选：B．
在解决线性规划的应用题时，其步骤为：①分析题目中相关量的关系，列出不等式组，即约束条件⇒②由约束条件画出可行域⇒③分析目标函数Z与直线截距之间的关系⇒④使用平移直线法求出最优解⇒⑤还原到现实问题中．属于中档题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、3
【解析】
先将函数的解析式利用降幂公式化为
，再利用辅助角公式化为，其中
，由题意可知与的关系，结合诱导公式以及求出的值．
【详解】

，其中，
当时，函数取得最大值，则，，
所以，，
解得，故答案为．
本题考查三角函数最值，解题时首先应该利用降幂公式、和差角公式进行化简，再利用辅助角公式化简为的形式，本题中用到了与之间的关系，结合诱导公式进行求解，考查计算能力，属于中等题．
12、
【解析】
试题分析：由题意得，解得，故答案为．
考点：分层抽样．
13、
【解析】
设，即求二次方程的正实数根，即可解决问题.
【详解】
设,即转化为求方程的正实数根
由得或(舍)
所以，则
故答案为：
本题考查指数型二次方程，考查换元法，属于基础题.
14、
【解析】
由图象得出，得出该函数图象的最小正周期，可得出，再将点的坐标代入函数的解析式，结合该函数在附近的单调性求得的表达式，即可得出函数的解析式.
【详解】
由图象可得，函数的最小正周期为，
，则，
由于函数的图象过点，且在附近单调递增，
所以，，，
因此，.
故答案为：.
本题考查利用三角函数的图象求解析式，一般要结合图象依次求出、、的值，在利用对称中心求时，要结合函数在对称中心附近的单调性来求解，考查计算能力，属于中等题.
15、
【解析】
首先根据等差数列的性质得到，再根据即可得到公差的值.
【详解】
，解得.
，所以.
故答案为：
本题主要考查等差数列的性质，熟记公式为解题的关键，属于简单题.
16、．
【解析】
根据求得，从而可得，再求得的坐标，利用向量模的公式，即可求解.
【详解】
由题意，向量，则，解得，所以，
则，所以.
本题主要考查了向量平行关系的应用，以及向量的减法和向量的模的计算，其中解答中熟记向量的平行关系，以及向量的坐标运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (1)32；(2)
【解析】
由两向量坐标以及向量共线，结合正弦定理，化简可得
（1）由，，代入原式化简，即可得到答案；
（2）在和在中，利用正弦定理，化简可得，，代入原式，化简即可得到，利用三角形的内角范围结合三角函数的值域，即可求出的取值范围．
【详解】
向量与向量共线
所以，由正弦定理得：.即，
由于在中，，则，
所以，由于 ，则.
（1），
.
（2）因为，为的角平分线，所以，
在中，，因为，所以，
所以
在中，，因为，所以，所以，
则，
因为，所以，所以，
即的取值范围为.
本题主要考查向量共线、正弦定理、二倍角公式、三角函数的值域等知识，考查学生转化与求解能力，考查学生基本的计算能力，有一定综合性．
18、（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】
（I）利用向量数量积的运算，化简，得到，由此求得的大小.（II）先利用向量的数量积运算，求得的值，由此求得的值.
【详解】
解：（Ⅰ）因为，
所以．
所以．
因为，所以．
（Ⅱ）因为，
由已知，，
所以．
所以．
本小题主要考查向量数量积运算，考查向量夹角的计算，考查向量模的求法，属于基础题.
19、（1）（2）答案不唯一，具体见解析（3）
【解析】
（1）根据图像先确定A,再确定，代入一个特殊点再确定．
（2）根据（1）的结果结合图像即可解决．
（3）根据（1）的结果以及三角函数的变换求出即可解决．
【详解】
解：（Ⅰ）由图可知：，即，
又由图可知：是五点作图法中的第三点，
，即．
（Ⅱ）因为的周期为，在内恰有个周期.
⑴当时，方程在内有个实根，
设为，结合图像知 ，
故所有实数根之和为 ；
⑵当时，方程在内有个实根为，
故所有实数根之和为 ；
⑶当时，方程在内有个实根，
设为，结合图像知 ，
故所有实数根之和为 ；
综上：当时，方程所有实数根之和为 ；
当时，方程所有实数根之和为 ；
（Ⅲ），
函数的图象如图所示：

则当图象伸长为原来的倍以上时符合题意，
所以．
本题主要考查了正弦函数的变换，根据图像确定函数，方程与函数．在解决方程问题时往往转化成两个函数图像交点的问题解决．本题属于中等题．
20、（1）见解析（2）当投入的肥料费用为300元时，种植该果树获得的最大利润是4300元.
【解析】
试题分析：（1）根据利润等于收入减成本列式： ，由投入的肥料费用不超过5百元及实际意义得定义域，（2）利用基本不等式求最值：先配凑： ，再根据一正二定三相等求最值.
试题解析：解：（1） （）.
（2）
.
当且仅当时，即时取等号.
故.
答：当投入的肥料费用为300元时，种植该果树获得的最大利润是4300元.
21、 (1)或;(2)或.
【解析】
（1）代入，把项都移到左边，合并同类项再因式分解，即可得到本题答案；（2）等价于，考虑的图象不在图象的上方，利用数形结合的方法，即可得到本题答案.
【详解】
(1)当时,由得，
即,解得,或，
所以,所求不等式的解集为或；
(2)等价于,所以当时，
的图象在图象的下方，

所以或
所以,,或.
本题主要考查一元二次不等式以及利用数形结合的方法解决不等式的恒成立问题.