2025届安徽省界首市界首中学数学高一第二学期期末复习检测试题含解析.doc

2025届安徽省界首市界首中学数学高一第二学期期末复习检测试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
2．从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是（ ）
A．至少有一个红球与都是红球
B．至少有一个红球与都是白球
C．恰有一个红球与恰有二个红球
D．至少有一个红球与至少有一个白球
3．如图，在正方体中，，分别是中点，则异面直线与所成角大小为（ ）．

A． B． C． D．
4．已知平面向量的夹角为，且，则( )
A． B． C． D．
5．在中，，，，则的面积为
A． B． C． D．
6．设满足约束条件，则的最大值为（ ）
A．3 B．9 C．12 D．15
7．在平行四边形ABCD中， ，，E是CD的中点，则（ ）
A．2 B．-3 C．4 D．6
8．如图，在圆内随机撒一把豆子，统计落在其内接正方形中的豆子数目，若豆子总数为，落在正方形内的豆子数为，则圆周率的估算值是（ ）

A． B． C． D．
9．高一某班男生36人，女生24人，现用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，若抽出的女生为12人，则的值为（ ）
A．18 B．20 C．30 D．36
10．在中，角、、所对的边分别为、、，如果，则的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．等腰直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．直角三角形
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．下列说法中：
①若，满足，则的最大值为；
②若，则函数的最小值为
③若，满足，则的最小值为
④函数的最小值为
正确的有__________．（把你认为正确的序号全部写上）
12．把函数的图象向左平移个单位长度，所得图象正好关于原点对称，则的最小值为________.
13．已知数列满足且，则____________．
14．正六棱柱各棱长均为，则一动点从出发沿表面移动到时的最短路程为__________．
15．若函数的图象与直线恰有两个不同交点，则的取值范围是________.
16．数列满足，则等于______.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．如图，在三棱锥中，，分别为，的中点，且.

（1）证明：平面；
（2）若平面平面，证明：.
18．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（）．
（Ⅰ）求sin（α+π）的值；
（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值．
19．设是一个公比为q的等比数列，且，，成等差数列.
（1）求q；
（2）若数列前4项的和，令，求数列的前n项和.
20．已知，.
(1)求的值；
(2)若，均为锐角，求的值.
21．已知数列的前n项和为，满足：.
（1）证明：数列是等比数列；
（2）令，，求数列的前n项和.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】
根据各选项的条件及结论，可画出图形或想象图形，再结合平行、垂直的判定定理即可找出正确选项．
【详解】
选项A错误，同时和一个平面平行的两直线不一定平行，可能相交，可能异面；
选项B错误，两平面平行，两平面内的直线不一定平行，可能异面；
选项C错误，一个平面内垂直于两平面交线的直线，不一定和另一平面垂直，可能斜交；
选项D正确，由，便得，又，，即.
故选：D.
本题考查空间直线位置关系的判定，这种位置关系的判断题，可以举反例或者用定理简单证明，
属于基础题.
2、C
【解析】
从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，不同的取球情况共有以下几种：
3个球全是红球；2个红球和1个白球；1个红球2个白球；3个全是白球.
选项A中，事件“都是红球”是事件“至少有一个红球”的子事件；
选项B中，事件“至少有一个红球”与事件“都是白球”是对立事件；
选项D中，事件“至少有一个红球”与事件“至少有一个白球”的事件为“2个红球1个白球”与“1个红球2个白球”；
选项C中，事件“恰有一个红球”与事件“恰有2个红球”互斥不对立，故选C.
3、C
【解析】
通过中位线定理可以得到在正方体中，可以得到所以这样找到异面直线与所成角，通过计算求解．
【详解】
分别是中点，所以有而，因此
异面直线与所成角为在正方体中，,
所以，故本题选C．
本题考查了异面直线所成的角．
4、B
【解析】
将模平方后利用数量积的定义计算其结果，然后开根号得出的值．
【详解】

，因此，，故选B．
本题考查利用平面向量的数量积来求平面向量的模，通常利用平方法结合平面向量数量积的定义来进行求解，考查计算能力，属于中等题．
5、C
【解析】
利用三角形中的正弦定理求出角B，利用三角形内角和求出角C，再利用三角形的面积公式求出三角形的面积，求得结果.
【详解】
因为中，，，，
由正弦定理得：，
所以，所以，
所以，
所以，故选C.
该题所考查的是有关三角形面积的求解问题，在解题的过程中，需要注意根据题中所给的条件，应用正弦定理求得，从而求得，之后应用三角形面积公式求得结果.
6、C
【解析】

所以，过时，的最小值为12。故选C。
7、A
【解析】
由平面向量的线性运算可得，再结合向量的数量积运算即可得解.
【详解】
解：由，，
所以, ,，
则,
故选：A.
本题考查了平面向量的线性运算，重点考查了向量的数量积运算，属中档题.
8、B
【解析】
试题分析：设正方形的边长为.则圆的半径为，根据几何概型的概率公式可以得到，即，故选B.
考点：几何概型.
【方法点睛】本题題主要考查“体积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与体积有关的几何概型问题关鍵是计算问题题的总体积（总空间) 以及事件的体积(事件空间)；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.
9、C
【解析】
根据分层抽样等比例抽样的特点，进行计算即可.
【详解】
根据题意，可得，解得.
故选：C.
本题考查分层抽样的等比例抽取的性质，属基础题.
10、C
【解析】
结合正弦定理和三角恒等变换及三角函数的诱导公式化简即可求得结果
【详解】
利用正弦定理得，化简得，
即，则或，解得或
故的形状是等腰三角形或直角三角形
故选：C
本题考查根据正弦定理和三角恒等变化，三角函数的诱导公式化简求值，属于中档题

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、③④
【解析】
①令，得出，再利用双勾函数的单调性判断该命题的正误；
②将函数解析式变形为，利用基本不等式判断该命题的正误；
③由得出，得出，利用基本不等式可判断该命题的正误；
④将代数式与代数式相乘，展开后利用基本不等式可求出
的最小值，进而判断出该命题的正误。
【详解】
①由得，则，则，
设，则，则，则上减函数，则上为增函数，
则时，取得最小值，当时，，故的最大值为，错误；
②若，则函数，
则，
即函数的最大值为，无最小值，故错误；
③若，满足，则，则，
由，得，
则
，
当且仅当，即得，即时取等号，
即的最小值为，故③正确；
④
，
当且仅当，即，即时，取等号，
即函数的最小值为，故④正确，故答案为：③④。
本题考查利用基本不等式来判断命题的正误，利用基本不等式需注意满足“一正、二定、三相等”这三个条件，同时注意结合双勾函数单调性来考查，属于中等题。
12、
【解析】
根据条件先求出平移后的函数表达式为，令即可得解.
【详解】
由题意可得平移后的函数表达式为，
图象正好关于原点对称，
即，
又 ，的最小值为.
故答案为：.
本题考查了函数图像的平移以及三角函数的图像与性质，属于基础题.
13、
【解析】
由题得为等差数列，得，则可求
【详解】
由题：为等差数列且首项为2，则，所以．
故答案为：2550
本题考查等差数列的定义，准确计算是关键，是基础题
14、
【解析】
根据可能走的路径，将所给的正六棱柱展开，利用平面几何知识求解比较.
【详解】
将所给的正六棱柱下图(2)表面按图(1)展开.

，，
，
故从A沿正侧面和上表面到D 1 的路程最短为
故答案为：.
本题主要考查了空间几何体展形图的应用，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.
15、
【解析】
作出函数的图像，根据图像可得答案.
【详解】
因为，所以，
所以，所以，
作出函数的图像，由图可知

故答案为：
本题考查了正弦型函数的图像，考查了数形结合思想，属于基础题.
16、15
【解析】
先由，可求出，然后由，代入已知递推公式即可求解。
【详解】

故答案为15.
本题考查是递推公式的应用，是一道基础题。

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）见解析（2）见解析
【解析】
（1）先证明，再证明平面；（2）先证明平面，再证明.
【详解】
证明：（1）因为，分别为，的中点，
所以.
又平面，平面，
所以平面.
（2）因为，为中点，所以.
又平面平面.
平面平面，所以平面.
又平面，所以.

本题主要考查空间几何元素位置关系的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
18、（Ⅰ）；（Ⅱ） 或 .
【解析】
分析：（Ⅰ）先根据三角函数定义得，再根据诱导公式得结果，（Ⅱ）先根据三角函数定义得，再根据同角三角函数关系得，最后根据，利用两角差的余弦公式求结果.
【详解】
详解：（Ⅰ）由角的终边过点得，
所以.
（Ⅱ）由角的终边过点得，
由得.
由得，
所以或.
点睛：三角函数求值的两种类型
(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.
(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.
①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；
②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.
19、（1）；（2）答案不唯一，详见解析.
【解析】
（1）运用等差中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得公比；（2）讨论公比，结合等差数列和等比数列的求和公式，以及错位相减法求和，即可得到所求和．
【详解】
（1）因为是一个公比为的等比数列，所以．
因为成等差数列，
所以即．
解得.
（2）①若q=2，又它的前4和，得，解得 所以 .
因为，
∴，2，
∴，
∴
②若q=1，又它的前4和，即4
因为，
所以．
“错位相减法”求数列的和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；②相减时注意最后一项 的符号；③求和时注意项数别出错；④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以.
20、（1） （2）
【解析】
（1）利用诱导公式可得的值，再利用两角和的正且公式可求得的值.
(2)先判断角的范围，再求的值，可求得的值.
【详解】
（1）.
,可得：

（2）由，均为锐角，由（1）
所以，所以

所以
本题考查三角函数的诱导公式和角变换的应用，考查知值求值和角，属于中档题.
21、（1）证明见解析
（2）
【解析】
（1）利用当时，求证即可；
（2）先结合（1）求得，再由，然后累加求和即可.
【详解】
解：（1）因为，①
，②
①-②得：
，
即，
又，即，则，
即数列是以6为首项，3为公比的等比数列；
（2）由（1）得，
则，
即，
则，
即，
故.
本题考查了利用定义法证明等比数列，重点考查了公式法求和及裂项求和法求和，属中档题.