2025年山西西安博爱国际学校数学高一第二学期期末学业质量监测试题含解析.doc

2025年山西西安博爱国际学校数学高一第二学期期末学业质量监测试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知变量和满足相关关系，变量和满足相关关系.下列结论中正确的是（ ）
A．与正相关，与正相关 B．与正相关，与负相关
C．与负相关，与y正相关 D．与负相关，与负相关
2．若一元二次不等式对一切实数都成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．等差数列的公差，且，则数列的前项和取得最大值时的项数是（ ）
A．9 B．10 C．10和11 D．11和12
4．中,在上, ,是上的点, ,则m的值（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数是奇函数，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为
A． B． C． D．
7．下列函数中，最小值为2的函数是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知向量，，，则（ ）
A． B． C． D．
9．函数的部分图像如图所示，则当时，的值域是（ ）

A． B．
C． D．
10．己知某三棱锥的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都是边长为2的等边三角形，则该三棱锥的体积为（ ）

A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦的长为___．
12．已知数列是正项数列，是数列的前项和，且满足.若，是数列的前项和，则_______.
13．某中学从甲乙丙3人中选1人参加全市中学男子1500米比赛，现将他们最近集训中的10次成绩（单位：秒）的平均数与方差制成如下的表格：

甲
乙
丙
平均数
250
240
240
方差
15
15
20
根据表中数据，该中学应选__________参加比赛．
14．若等比数列满足，且公比，则_____.
15．在四面体ABCD中，平面ABC，，，若四面体ABCD的外接球的表面积为，则四面体ABCD的体积为_______．
16．若 则的最小值是__________．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．在一个盒子中装有6支圆珠笔，其中3支一等品，2支二等品和1支三等品，从中任取3支.求
（1）恰有1支一等品的概率；
（2）恰有两支一等品的概率；
（3）没有三等品的概率.
18．已知函数是指数函数．
(1)求的表达式；
(2)判断的奇偶性，并加以证明
(3)解不等式：．
19．记为等差数列的前项和，已知.
（1）求的通项公式
（2）求，并求的最小值
20．设是等差数列，且.
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）求.
21．设数列满足，，，.s
（1）证明：数列是等差数列，并求数列的通项；
（2）求数列的通项，并求数列的前项和；
（3）若，且是单调递增数列，求实数的取值范围.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】
根据相关关系式,由一次项系数的符号即可判断是正相关还是负相关.
【详解】
变量和满足相关关系,由可知变量和为正相关
变量和满足相关关系,由,可知变量和为负相关
所以B为正确选项
故选:B
本题考查了通过相关关系式子判断正负相关性,属于基础题.
2、A
【解析】
该不等式为一元二次不等式，根据一元二次函数的图象与性质可得，的图象是开口向下且与x轴没有交点，从而可得关于参数的不等式组，解之可得结果.
【详解】
不等式为一元二次不等式，故，
根据一元二次函数的图象与性质可得，
的图象是开口向下且与x轴没有交点，
则，解不等式组，得.
故本题正确答案为A.
本题考查一元二次不等式恒成立问题，考查一元二次函数的图象与性质，注意数形结合的运用，属基础题.
3、C
【解析】
利用等差数列性质得到，再判断或是最大值.
【详解】
等差数列的公差，且，
根据正负关系：或是最大值
故答案选C
本题考查了等差数列的性质，的最大值，将的最大值转化为中项的正负是解题的关键.
4、A
【解析】

由题意得：

则
故选
5、C
【解析】
由题意首先求得m的值，然后结合函数的性质求解不等式即可.
【详解】
函数为奇函数，则恒成立，
即恒成立，整理可得：，
据此可得：，即恒成立，
据此可得：.函数的解析式为：，
，
当且仅当时等号成立，故奇函数是定义域内的单调递增函数，
不等式即，
据此有：，由函数的单调性可得：，
求解不等式可得的取值范围是.
本题选择C选项.
对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题，若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．
6、B
【解析】
分析：作图，D为MO 与球的交点，点M为三角形ABC的中心，判断出当平面时，三棱锥体积最大，然后进行计算可得．
详解：如图所示，

点M为三角形ABC的中心，E为AC中点，
当平面时，三棱锥体积最大
此时，

,
点M为三角形ABC的中心

中，有

故选B.
点睛：本题主要考查三棱锥的外接球，考查了勾股定理，三角形的面积公式和三棱锥的体积公式，判断出当平面时，三棱锥体积最大很关键，由M为三角形ABC的重心，计算得到，再由勾股定理得到OM，进而得到结果，属于较难题型．
7、C
【解析】
利用基本不等式及函数的单调性即可判断.
【详解】
解：对于．时，，故错误．
对于．，可得，，当且仅当，即时取等号，故最小值不可能为1，故错误．
对于，可得，，当且仅当时取等号，最小值为1．
对于.，函数在上单调递增，在上单调递减，，故不对；
故选：．
本题考查基本不等式，难点在于应用基本不等式时对“一正二定三等”条件的理解与灵活应用，属于中档题．
8、D
【解析】
利用平面向量垂直的坐标等价条件列等式求出实数的值.
【详解】
，，，，解得，故选D.
本题考查向量垂直的坐标表示，解题时将向量垂直转化为两向量的数量积为零来处理，考查计算能力，属于基础题.
9、D
【解析】
如图，，得，则，
又当时，，得，
又，得，
所以，当时，，
所以值域为，故选D．
点睛：本题考查由三角函数的图象求解析式．本题中，先利用周期求的值，然后利用特殊点（一般从五点内取）求的值，最后根据题中的特殊点求的值．值域的求解利用整体思想．
10、B
【解析】
先找到三视图对应的几何体原图，再求几何体的体积.
【详解】
由题得三视图对应的几何体原图是如图所示的三棱锥A-BCD，

所以几何体的体积为.
故选B
本题主要考查三视图找到几何体原图，考查三棱锥体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
两圆方程相减求出公共弦所在直线的解析式，求出第一个圆心到直线的距离，再由第一个圆的半径，利用勾股定理及垂径定理即可求出公共弦长．
【详解】
圆与圆的方程相减得：，
由圆的圆心，半径r为2，
且圆心到直线的距离，
则公共弦长为．
故答案为．
此题考查了直线与圆相交的性质，求出公共弦所在的直线方程是解本题的关键．
12、
【解析】
利用将变为，整理发现数列{}为等差数列，求出，进一步可以求出，再将，代入，发现可以裂项求的前99项和。
【详解】

当时，符合，

当时，符合，

一般公式的使用是将变为，而本题是将变为，给后面的整理带来方便。先求，再求，再求，一切都顺其自然。
13、乙 ；
【解析】
一个看均值，要均值小，成绩好；一个看方差，要方差小，成绩稳定．
【详解】
乙的均值比甲小，与丙相同，乙的方差与甲相同，但比丙小，即乙成绩好，又稳定，应选乙、
故答案为乙．
本题考查用样本的数据特征来解决实际问题．一般可看均值（找均值好的）和方差（方差小的稳定），这样比较易得结论．
14、.
【解析】
利用等比数列的通项公式及其性质即可得出．
【详解】
，
故答案为：1．
本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于容易题．
15、
【解析】
易得四面体为长方体的一角,再根据长方体体对角线等于外接球直径,再利用对角线公式求解即可.
【详解】
因为四面体中,平面,且,.故四面体是以为一个顶点的长方体一角.设则因为四面体的外接球的表面积为,设其半径为,故.解得.
故四面体的体积.
故答案为：
本题主要考查了长方体一角的四面体的外接球有关问题,需要注意长方体体对角线等于外接球直径.属于中档题.
16、
【解析】
根据对数相等得到，利用基本不等式求解的最小值得到所求结果.
【详解】

则，即

由题意知，则，
则
当且仅当，即时取等号
本题正确结果：
本题考查基本不等式求解和的最小值问题，关键是能够利用对数相等得到的关系，从而构造出符合基本不等式的形式.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）；（3）.
【解析】
（1）恰有一支一等品，从3支一等品中任取一支，从二、三等品种任取两支利用分布乘法原理计算后除以基本事件总数；
（2）恰有两枝一等品，从3支一等品中任取两支，从二、三等品种任取一支利用分布乘法原理计算后除以基本事件总数；
（3）从5支非三等品中任取三支除以基本事件总数．
【详解】
（1）恰有一枝一等品的概率；
（2）恰有两枝一等品的概率；
（3）没有三等品的概率.
本题考查古典概型及其概率计算公式，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.
18、（1）（2）见证明；（3）
【解析】
(1)根据指数函数定义得到，检验得到答案.
(2) ，判断关系得到答案.
(3)利用函数的单调性得到答案.
【详解】
解：（1）∵函数是指数函数，且，
∴，可得或（舍去），∴；
（2）由（1）得，
∴，∴，∴是奇函数；
（3）不等式：，以2为底单调递增，
即，
∴，解集为．
本题考查了函数的定义，函数的奇偶性，解不等式，意在考查学生的计算能力.
19、 (1) ；(2) ，最小值.
【解析】
（1）设等差数列的公差为，根据题意求出，进而可得出通项公式；
（2）根据等差数列的前项和公式先求出，再由得到范围，进而可得出结果.
【详解】
（1）因为数列为等差数列，设公差为，
由可得，即，
所以；
（2）因为为等差数列的前项和，
所以，
由得，
所以当时，取最小值，且最小值为.
本题主要考查等差数列，熟记通项公式以及前项和公式即可，属于常考题型.
20、（I）；（II）.
【解析】
（I）设公差为，根据题意可列关于的方程组,求解，代入通项公式可得；（II）由（I）可得，进而可利用等比数列求和公式进行求解.
【详解】
（I）设等差数列的公差为，
∵，
∴，
又，∴.
∴.
（II）由（I）知，
∵，
∴是以2为首项，2为公比的等比数列.
∴

.
∴
点睛：等差数列的通项公式及前项和共涉及五个基本量，知道其中三个可求另外两个，体现了用方程组解决问题的思想.
21、（1）证明见解析，；（2），；
（3）.
【解析】
（1）利用等差数列的定义可证明出数列是等差数列，并确定该数列的首项和公差，即可得出数列的通项；
（2）利用累加法求出数列的通项，然后利用裂项法求出数列的前项和；
（3）求出，然后分为正奇数和正偶数两种情况分类讨论，结合可得出实数的取值范围.
【详解】
（1），等式两边同时减去得，
，且，
所以，数列是以为首项，以为公差的等差数列，
因此，；
（2），
，，
；
（3）.
当为正奇数时，，，
由，得，可得，
由于数列为单调递减数列，；
当为正偶数时，，，
由，得，可得，
由于数列为单调递增数列，.
因此，实数的取值范围是.
本题考查利用等差数列的定义证明等差数列，同时也考查了累加法求通项、裂项求和法以及利用数列的单调性求参数，充分利用单调性的定义来求解，考查运算求解能力，属于中等题.