山东省安丘市第二中学2025届高一下数学期末教学质量检测试题含解析.doc

山东省安丘市第二中学2025届高一下数学期末教学质量检测试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．在△ABC中，若a=2bsinA,则B为
A． B． C．或 D．或
2．已知点，直线过点，且与线段相交，则直线的斜率满足( )
A．或 B．或 C． D．
3．函数的图象与函数的图象的交点个数为( )
A．3 B．2 C．1 D．0
4．下列函数中同时具有性质：①最小正周期是，②图象关于点对称，③在上为减函数的是（ ）
A． B．
C． D．
5．某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号1，2，……，1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取50名学生进行体质测验.若66号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是（ ）
A．16 B．226 C．616 D．856
6．设，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
7．如图为某班35名学生的投篮成绩（每人投一次）的条形统计图，其中上面部分数据破损导致数据不完全。已知该班学生投篮成绩的中位数是5，则根据统计图，则下列说法错误的是（ ）

A．3球以下（含3球）的人数为10
B．4球以下（含4球）的人数为17
C．5球以下（含5球）的人数无法确定
D．5球的人数和6球的人数一样多
8．已知，则（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）

A． B． C． D．
10．若是2与8的等比中项，则等于( )
A． B． C． D．32
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已有无穷等比数列的各项的和为1，则的取值范围为__________．
12．在直角坐标系中，直线与直线都经过点，若，则直线的一般方程是_____.
13．如图，长方体中，，，， 与相交于点，则点的坐标为______________．

14．已知向量，若，则_______
15．已知数列中，，，设，若对任意的正整数，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是______．
16．已知向量（1，x2），（﹣2，y2﹣2），若向量，共线，则xy的最大值为_____．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．在中，内角，，所对的边分别为，，.已知.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若，，求的值.
18．锐角三角形的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
（1）求A；
（2）若，，求面积.
19．如图，在三棱锥A­BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.

求证：(1)EF∥平面ABC；
(2)AD⊥AC.
20．在一个盒子中装有6支圆珠笔，其中3支一等品，2支二等品和1支三等品，从中任取3支.求
（1）恰有1支一等品的概率；
（2）恰有两支一等品的概率；
（3）没有三等品的概率.
21．已知等差数列满足．
（1） 求的通项公式；
（2） 设等比数列满足,求的前项和．
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】
， ，则或，选C.
2、A
【解析】
画出三点的图像，根据的斜率，求得直线斜率的取值范围.
【详解】
如图所示，过点作直线轴交线段于点，作由直线①直线与线段的交点在线段 (除去点)上时，直线的倾斜角为钝角，斜率的范围是.②直线与线段的交点在线段 (除去点)上时，直线的倾斜角为锐角，斜率的范围是.因为，，所以直线的斜率满足或.
故选:A.

本小题主要考查两点求斜率的公式，考查数形结合的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于基础题.
3、B
【解析】
由已知g(x)＝(x－2)2＋1，所以其顶点为(2,1)，又f(2)＝2ln 2∈(1,2)，可知点(2,1)位于函数f(x)＝2lnx图象的下方，故函数f(x)＝2lnx的图象与函数g(x)＝x2－4x＋5的图象有2个交点．
4、C
【解析】
根据周期公式排除A选项；根据正弦函数的单调性，排除B选项；将代入函数解析式，排除D选项；根据周期公式，将代入函数解析式，余弦函数的单调性判断C选项正确.
【详解】
对于A项，，故A错误；
对于B项， ，，函数在上单调递增，则函数在上单调递增，故B错误；
对于C项，；当时，，则其图象关于点对称；当 ，，函数在区间上单调递减，则函数在区间单调递减，故C正确；
对于D项，当时，，故D错误；
故选：C
本题主要考查了求正余弦函数的周期，单调性以及对称性的应用，属于中档题.
5、B
【解析】
抽样间隔为，由第三组中的第6个数被抽取到，结合226是第12组中的第6个数，从而可得结果．
【详解】
从这些新生中用系统抽样方法等距抽取50名学生进行体质测验,
抽样间隔为，
号学生被抽到，
第四组中的第6个数被抽取到，
226是第12组中的第6个数，
被抽到,
故选：B.
本题主要考查系统抽样的性质，确定抽样间隔是解题的关键，属于基础题.
6、B
【解析】
不难发现从而可得
【详解】
,故选B.
本题考查利用指数函数和对数函数的单调性比较数大小．
7、D
【解析】
据投篮成绩的条形统计图，结合中位数的定义，对选项中的命题分析、判断即可．
【详解】
根据投篮成绩的条形统计图，3球以下（含3球）的人数为，6球以下（含6球）的人数为，
结合中位数是5知4球以下（含4球）的人数为不多于17，
而由条形统计图得4球以下（含4球）的人数不少于，因此4球以下（含4球）的人数为17
所以5球的人数和6球的人数一共是17，显然5球的人数和6球的人数不一样多，故选D.
本题考查命题真假的判断，考查条形统计图、中位数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
8、C
【解析】
根据特殊值排除A,B选项，根据单调性选出C,D选项中的正确选项.
【详解】
当时，，故A,B两个选项错误.由于，故，所以C选项正确，D选项错误.故本小题选C.
本小题主要考查三角函数值，考查对数函数和指数函数的单调性，属于基础题.
9、D
【解析】

连结，∵，
∴是异面直线与所成角（或所成角的补角），
∵在直三棱柱中，，，，
∴，，，，
∴，
∴异面直线与所成角的余弦值为，故选D.
10、B
【解析】
利用等比中项性质列出等式，解出即可。
【详解】
由题意知，，∴．
故选B
本题考查等比中项，属于基础题。

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
根据无穷等比数列的各项和表达式，将用公比表示，根据的范围求解的范围.
【详解】
因为且，又，且，则.
本题考查无穷等比数列各项和的应用，难度一般.关键是将待求量与公比之间的关系找到，然后根据的取值范围解决问题.
12、
【解析】
点代入的方程求出k，再由求出直线的斜率，即可写出直线的点斜式方程.
【详解】
将点代入直线得，，解得，
又，，于是的方程为，整理得.
故答案为：
本题考查直线的方程，属于基础题.
13、
【解析】
易知是的中点，求出的坐标，根据中点坐标公式求解.
【详解】
可知，，由中点坐标
公式得的坐标公式，即

本题考查空间直角坐标系和中点坐标公式，空间直角坐标的读取是易错点.
14、
【解析】
由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，求得的值．
【详解】
因为向量 ，若 ，∴， 则.
故答案为：1．
本题主要考查两个向量垂直的坐标运算，属于基础题．
15、
【解析】
∵，（，），当时，，，…，，并项相加，得：，
∴，又∵当时，也满足上式，
∴数列的通项公式为，∴
，令（），
则，∵当时，恒成立，∴在上是增函数，
故当时，，即当时， ，对任意的正整数，
当时，不等式恒成立，则须使，即对恒成立，即的最小值，可得，∴实数的取值范围为，故答案为.
点睛：本题考查数列的通项及前项和，涉及利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于难题通过并项相加可知当时，进而可得数列的通项公式，裂项、并项相加可知，通过求导可知是增函数，进而问题转化为，由恒成立思想，即可得结论.
16、
【解析】
由题意利用两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，可得，再利用基本不等式，求得的最大值．
【详解】
向量，，若向量，共线，
则，，即，
当且仅当，时，取等号．
故的最大值为，
故答案为：．
本题主要考查两个向量共线的性质，考查两个向量坐标形式的运算和基本不等式，属于基础题．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（Ⅰ）；
（Ⅱ）.
【解析】
（Ⅰ）根据正弦定理将边角转化,结合三角函数性质即可求得角.
（Ⅱ）先根据余弦定理求得,再由正弦定理求得,利用同角三角函数关系式求得,即可求得.即可求得的值.
【详解】
（Ⅰ）在中,由正弦定理
可得
即
因为,所以,即
又因为,可得
（Ⅱ）在中,由余弦定理及,,
有,故
由正弦定理可得
因为,故
因此,
所以,
本题考查了正弦定理与余弦定理在解三角形中的应用,二倍角公式及正弦和角公式的用法,属于基础题.
18、（1），（2）
【解析】
（1）利用三角函数的和差公式化简已知等式可得，结合为锐角可得的值．
（2）由余弦定理可得，解得的值，根据三角形的面积公式即可求解．
【详解】
（1）∵，
∴
∵
∴
可得：
∵A，C为锐角，
∴，可得：
（2）∵
∴由余弦定理，可得：，
即，解得：或3，
因为为锐角三角形，所以需满足
所以
所以的面积为
本题主要考查了三角函数恒等变换及余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
19、（1）见解析（2）见解析
【解析】
试题分析：（1）先由平面几何知识证明，再由线面平行判定定理得结论；（2）先由面面垂直性质定理得平面，则，再由AB⊥AD及线面垂直判定定理得AD⊥平面ABC，即可得AD⊥AC．
试题解析：证明：（1）在平面内，因为AB⊥AD，，所以.

又因为平面ABC，平面ABC，所以EF∥平面ABC.
（2）因为平面ABD⊥平面BCD，
平面平面BCD=BD，
平面BCD，，
所以平面.
因为平面，所以 .
又AB⊥AD，，平面ABC，平面ABC，
所以AD⊥平面ABC，
又因为AC平面ABC，
所以AD⊥AC.
点睛:垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直．
20、（1）；（2）；（3）.
【解析】
（1）恰有一支一等品，从3支一等品中任取一支，从二、三等品种任取两支利用分布乘法原理计算后除以基本事件总数；
（2）恰有两枝一等品，从3支一等品中任取两支，从二、三等品种任取一支利用分布乘法原理计算后除以基本事件总数；
（3）从5支非三等品中任取三支除以基本事件总数．
【详解】
（1）恰有一枝一等品的概率；
（2）恰有两枝一等品的概率；
（3）没有三等品的概率.
本题考查古典概型及其概率计算公式，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.
21、（1）（2）
【解析】
（1）根据基本元的思想，将已知条件转化为的形式，列方程组，解方程组可求得的值.并由此求得数列的通项公式.（2）利用（1）的结论求得的值，根据基本元的思想，，将其转化为的形式，由此求得的值，根据等比数列前项和公式求得数列的前项和.
【详解】
解：（1）设的公差为，则由得,
故的通项公式，即．
（2）由（1）得．
设的公比为，则，从而，
故的前项和．
本小题主要考查利用基本元的思想解有关等差数列和等比数列的问题，属于基础题.