2025年山东省聊城市于集镇中学高一数学第二学期期末达标检测试题含解析.doc

2025年山东省聊城市于集镇中学高一数学第二学期期末达标检测试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知等比数列中，，且有，则( )
A． B． C． D．
2．已知直线过点，且在纵坐标轴上的截距为横坐标轴上的截距的两倍，则直线的方程为（ ）
A． B．
C．或 D．或
3．如图是一个几何体的三视图，它对应的几何体的名称是（ ）

A．棱台 B．圆台 C．圆柱 D．圆锥
4．在某项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下：90，89，90，95，93，94，93，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为( )
A．92，2 B．92，2.8 C．93，2 D．93，2.8
5．．若且，直线不通过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限，
6．已知平面平面，直线平面，直线平面，，在下列说法中，
①若，则；②若，则；③若，则.
正确结论的序号为（ ）
A．①②③ B．①② C．①③ D．②③
7．已知等差数列和的前项和分别为和，．若，则的取值集合为（ ）
A． B．
C． D．
8．在中，，，则的外接圆半径为（ ）
A．1 B．2 C． D．
9．设等比数列的前项和为，若，，则（ ）
A．63 B．62 C．61 D．60
10．设P是所在平面内的一点，，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．函数的定义域为__________；
12．若在等比数列中，，则__________．
13．已知角终边经过点，则__________.
14．记为等差数列的前项和，若，则___________.
15．已知，若方程的解集为，则__________．
16．设向量，，且，则______．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．在锐角中，角的对边分别是，且.
（1）求角的大小；
（2）若，求面积的最大值.
18．已知向量=,=,=,为坐标原点.
（1）若△为直角三角形，且∠为直角，求实数的值；
（2）若点、、能构成三角形，求实数应满足的条件.
19．已知为锐角，．
（1）求的值；
（2）求的值
20．数列中，，.前项和满足.
（1）求（用表示）；
（2）求证：数列是等比数列；
（3）若，现按如下方法构造项数为的有穷数列，当时，；当时，.记数列的前项和，试问：是否能取整数？若能，请求出的取值集合：若不能，请说明理由.
21．如图是某神奇“黄金数学草”的生长图．第1阶段生长为竖直向上长为1米的枝干，第2阶段在枝头生长出两根新的枝干，新枝干的长度是原来的，且与旧枝成120°，第3阶段又在每个枝头各长出两根新的枝干，新枝干的长度是原来的，且与旧枝成120°，……，依次生长，直到永远．

（1）求第3阶段“黄金数学草”的高度；
（2）求第13阶段“黄金数学草”的高度；
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】
，，所以选A
2、D
【解析】
根据题意，分直线是否经过原点2种情况讨论，分别求出直线的方程，即可得答案．
【详解】
根据题意，直线分2种情况讨论：
①当直线过原点时，又由直线经过点，所求直线方程为，整理为，
②当直线不过原点时，设直线的方程为，代入点的坐标得，解得，此时直线的方程为，整理为．
故直线的方程为或.
故选：D．
本题考查直线的截距式方程，注意分析直线的截距是否为0，属于基础题．
3、B
【解析】
直接由三视图还原原几何体得答案．
【详解】
解：由三视图还原原几何体如图，

该几何体为圆台．
故选：．
本题考查三视图，关键是由三视图还原原几何体，属于基础题．
4、B
【解析】
由平均数与方差的计算公式，计算90，90， 93，94，93五个数的平均数和方差即可.
【详解】
90，89，90，95，93，94，93，去掉一个最高分和一个最低分后是90，90， 93，94，93，
所以其平均数为，
因此方差为.
故选B
本题主要考查平均数与方差的计算，熟记公式即可，属于基础题型.
5、D
【解析】
因为且，所以，，
又直线可化为，
斜率为，在轴截距为，
因此直线过一二三象限，不过第四象限.
故选：D.
6、D
【解析】
由面面垂直的性质和线线的位置关系可判断①；由面面垂直的性质定理可判断②；由线面垂直的性质定理可判断③．
【详解】
平面平面．直线平面，直线平面，，
①若，可得，可能平行，故①错误；
②若，由面面垂直的性质定理可得，故②正确；
③若，可得，故③正确．
故选：D．
本题考查空间线线和线面、面面的位置关系，主要是平行和垂直的判断和性质，考查推理能力，属于基础题．
7、D
【解析】
首先根据即可得出，再根据前n项的公式计算出即可。
【详解】

，选D.
本题主要考查等差数列的求和公式及等差数列的性质，属于难题.等差数列的常用性质有：
（1）通项公式的推广： 
（2）若 为等差数列， ；
（3）若是等差数列，公差为， ，则是公差 的等差数列；
8、A
【解析】
由同角三角函数关系式,先求得.再结合正弦定理即可求得的外接圆半径.
【详解】
中,
由同角三角函数关系式可得
由正弦定理可得
所以,即的外接圆半径为1
故选:A
本题考查了同角三角函数关系式的应用,正弦定理求三角形外接圆半径,属于基础题.
9、A
【解析】
由等比数列的性质可得S2，S4-S2，S6-S4成等比数列，代入数据计算可得．
【详解】
因为，，成等比数列，即3，12，成等比数列，所以，解得.
本题考查等比数列的性质与前项和的计算，考查运算求解能力.
10、B
【解析】
移项得.故选B

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
根据偶次被开方数大于等于零，分母不为零，列出不等式组，解出即可．
【详解】
依题意可得，，解得即，
故函数的定义域为．
故答案为：．
本题主要考查函数定义域的求法，涉及三角不等式的解法，属于基础题．
12、
【解析】
根据等比中项的性质，将等式化成即可求得答案．
【详解】
是等比数列，若，则．
因为，所以，
．
故答案为：1．
本题考查等比中项的性质，考查基本运算求解能力，属于容易题.
13、4
【解析】
根据任意角的三角函数的定义，结合同角三角函数的基本关系求解即可．
【详解】
因为角终边经过点，所以，因此.
故答案为：4
本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，属于基础题．
14、100
【解析】
根据题意可求出首项和公差，进而求得结果.
【详解】
得

本题考点为等差数列的求和，为基础题目，利用基本量思想解题即可，充分记牢等差数列的求和公式是解题的关键．
15、
【解析】
将利用辅助角公式化简，可得出的值.
【详解】
，
其中，，因此，，故答案为.
本题考查利用辅助角公式化简计算，化简时要熟悉辅助角变形的基本步骤，考查运算求解能力，属于中等题.
16、
【解析】
根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出x．
【详解】
∵；
∴；
∴x＝﹣1；
故答案为﹣1．
考查向量垂直的充要条件，以及向量数量积的坐标运算，属于基础题．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）
【解析】
（1）利用正弦定理边转化为角，逐步化简，即可得到本题答案；
（2）由余弦定理得，，综合，得，从而可得到本题答案.
【详解】
（1）因为，
所以，
即，
所以，
又，所以，由为锐角三角形，则；
（2）因为，
所以，
所以，即（当且仅当时取等号），
所以.
本题主要考查利用正弦定理边角转化求角，以及余弦定理和基本不等式综合运用求三角形面积的最大值.
18、（1）；（2）
【解析】
（1）利用向量的运算法则求出，，再利用向量垂直的充要条件列出方程求出m；
（2）由题意得A，B，C三点不共线，则与不共线，列出关于m的不等式即可．
【详解】
（1）因为=，=，=，
所以，，
若△ABC为直角三角形，且∠A为直角，则，
∴3（2﹣m）+（1﹣m）＝0，解得．
（2）若点A，B，C能构成三角形，则这三点不共线，即与不共线，
得3（1﹣m）≠2﹣m，∴实数时，满足条件．
本题考查向量垂直、向量共线的充要条件、利用向量共线解决三点共线、三点不共线等问题，属于基础题．
19、 (1) (2)
【解析】
（1）结合为锐角利用同角三角函数的关系，结合倍角公式即可求值；
（2）结合为锐角，求出，利用两角和的正切公式即可求出的值.
【详解】
（1）因为为锐角，所以，
所以
（2）因为为锐角，，
所以，
因为，，所以
本题考查同角三角函数之间的关系以及倍角公式，同时考查了两角和的正切公式，属于中档题.
20、（1）
（2）证明见详解.
（3）能取整数,此时的取值集合为.
【解析】
（1）利用递推关系式,令,通过,求出即可.
（2）递推关系式转化为：,化简推出数列是等比数列.
（3）由,求出,求出,得到通项公式,然后求解的分母与分子,讨论要使取整数,需为整数,推出的取值集合为时,取整数
【详解】
解：（1）令,则,
将,代入,有.
解得：.
（2）由
得,
化简得,又,
是等比数列.
（3）由,,
又是等比数列,
,
,
①当时,
依次为,
.
②当时,
,
,
,
要使取整数,需为整数,
令,,
,要么都为整数,要么都不是整数,
又
所以当且仅当为奇数时,为整数,
即的取值集合为时,取整数.
本题主要考查利用递推公式结合,为判断等比数列,考查数列前项和的比的问题的转化与化归思想的综合性解题能力.
21、（1）
（2）
【解析】
（1）根据示意图，计算出第阶段、第阶段生长的高度，即可求解出第阶段“黄金数学草”的高度；
（2）考虑第偶数阶段、第奇数阶段“黄金数学草”高度的生长量之间的关系，构造数列，利用数列求和完成第阶段“黄金数学草”的高度的计算.
【详解】
（1）因为第一阶段： ，
所以第阶段生长：，第阶段的生长：，
所以第阶段“黄金数学草”的高度为：；
（2）设第个阶段生长的“黄金数学草”的高度为，则第个阶段生长的“黄金数学草”的高度为，第阶段“黄金数学草”的高度为，
所以，
所以数列按奇偶性分别成公比为等比数列，
所以
.
所以第阶段“黄金数学草”的高度为：.
本题考查等比数列以及等比数列的前项和的实际应用，难度较难.处理数列的实际背景问题，第一步要能从实际背景中分离出数列的模型，然后根据给定的条件处理对应的数列计算问题，这对分析问题的能力要求很高.