2025届湖北省大冶市一中高一下数学期末达标测试试题含解析.doc

2025届湖北省大冶市一中高一下数学期末达标测试试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．下列各数中最小的数是（　　）
A． B． C． D．
2．从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数图象的一条对称轴是，则的值为（）
A．5 B． C．3 D．
4．已知，，且，则 （　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．设集合，则
A． B． C． D．
6．圆关于直线对称，则的值是（ ）
A． B． C． D．
7．已知定义在 上的偶函数 满足：当时，，若，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
8．某市举行“精英杯”数学挑战赛，分初赛和复赛两个阶段进行，规定：初赛成绩大于90分的具有复赛资格，某校所有学生的成绩均在区间内，其频率分布直方图如图所示，该校有130名学生获得了复赛资格，则该校参加初赛的人数约为（ ）

A．200 B．400 C．2000 D．4000
9．的内角的对边分别为，若的面积为，则（ ）
A． B． C． D．
10．某型号汽车使用年限与年维修费（单位：万元）的统计数据如下表，由最小二乘法求得回归方程．现发现表中有一个数据看不清，推测该数据的值为（ ）
使用年限

维修费

A． B．
C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．函数的零点的个数是______.
12．实数x、y满足，则的最大值为________.
13．和2的等差中项的值是______.
14．已知两点A（2，1）、B（1，1+）满足＝（sinα，cosβ），α，β∈（﹣，），则α+β＝_______________
15．数列中，其前n项和,则的通项公式为______________..
16．等差数列中，，则其前12项之和的值为______
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知，为第二象限角.
（1）求的值；
（2）求的值.
18．已知，且，求的值.
19．已知数列的前项和，且；
（1）求它的通项.
（2）若，求数列的前项和.
20．某消费者协会在3月15号举行了以“携手共治，畅享消费”为主题的大型宣传咨询服务活动，着力提升消费者维权意识.组织方从参加活动的1000名群众中随机抽取n名群众，按他们的年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，其中第1组有6人，得到的频率分布直方图如图所示.

（1）求m，n的值，并估计抽取的n名群众中年龄在的人数；
（2）已知第1组群众中男性有2人，组织方要从第1组中随机抽取3名群众组成维权志愿者服务队，求至少有两名女生的概率.
21．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M点为圆心的圆及其上一点.

（1）设圆N与y轴相切，与圆M外切，且圆心在直线上，求圆N的标准方程；
（2）设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点且，求直线l的方程.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】
将选项中的数转化为十进制的数，由此求得最小值的数.
【详解】
依题意，，，，故最小的为D.所以本小题选D.
本小题主要考查不同进制的数比较大小，属于基础题.
2、B
【解析】
利用古典概型概率公式求解即可.
【详解】
设三件正品分别记为，一件次品记为
则从三件正品、一件次品中随机取出两件，取出的产品可能为，共6种情况，其中取出的产品全是正品的有3种
所以产品全是正品的概率
故选：B
本题主要考查了利用古典概型概率公式计算概率，属于基础题.
3、D
【解析】
化简函数f（x）＝acosx+sinx为一个角的一个三角函数的形式，利用图象关于直线对
称，就是时，函数取得最值，求出a即可．
【详解】
函数f（x）＝acosx+sinxsin（x+θ），其中tanθ＝a，，
其图象关于直线对称，所以θ，θ，所以tanθ＝a，
故答案为D
本题考查正弦函数的对称性，考查计算能力，逻辑思维能力，是基础题．
4、D
【解析】
根据向量的平行可得4m＝3m+4，解得即可．
【详解】
，，且，
则，
解得，
故选D．
本题考查了向量平行的充要条件，考查了运算求解能力以及化归与转化思想，属于基础题．
5、B
【解析】
,选B.
【考点】 集合的运算
【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理.
6、B
【解析】
圆关于直线对称，
所以圆心(1,1)在直线上，得.
故选B.
7、C
【解析】
根据函数的奇偶性将等价变形为，再根据函数在上单调性判断函数值的大小关系，从而得出正确选项.
【详解】
解因为函数为偶函数，
故，
因为，
，
所以，
因为函数在上单调增，
故，
故选C.
本题考查了函数单调性与奇偶性的运用，解题的关键是要能根据奇偶性将函数值进行转化.
8、A
【解析】
由频率和为1，可算得成绩大于90分对应的频率，然后由频数÷总数=频率，即可得到本题答案.
【详解】
由图，得成绩大于90分对应的频率=，
设该校参加初赛的人数为x，则，得，
所以该校参加初赛的人数约为200.
故选：A
本题主要考查频率直方图的相关计算，涉及到频率和为1以及频数÷总数=频率的应用.
9、C
【解析】
由题意可得，化简后利用正弦定理将“边化为角“即可．
【详解】
解：的面积为，
，
，
故选：C．
本题主要考查正弦定理的应用和三角形的面积公式，属于基础题．
10、C
【解析】
设所求数据为，计算出和，然后将点代入回归直线方程可求出的值.
【详解】
设所求数据为，则，，
由于回归直线过样本的中心点，则有，
解得，故选：C.
本题考查利用回归直线计算原始数据，解题时要充分利用“回归直线过样本中心点”这一结论的应用，考查运算求解能力，属于基础题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
在同一直角坐标系内画出函数与函数的图象，利用数形结合思想可得出结论.
【详解】
在同一直角坐标系内画出函数与函数的图象如下图所示：

由图象可知，函数与函数的图象的交点个数为，
因此，函数的零点个数为.
故答案为：.
本题考查函数零点个数的判断，在判断函数的零点个数时，一般转化为对应方程的根，或转化为两个函数图象的交点个数，考查数形结合思想的应用，属于中等题.
12、
【解析】
根据约束条件，画出可行域，将目标函数化为斜截式，找到其在轴截距的最大值，得到答案.
【详解】
由约束条件，
画出可行域，如图所示，
化目标函数为，
由图可知，当直线过点时，直线在轴上的截距最大，
联立，解得，即，
所以.
故答案为：.

本题考查线性规划求最大值，属于简单题.
13、
【解析】
根据等差中项性质求解即可
【详解】
设等差中项为，则，解得
故答案为：
本题考查等差中项的求解，属于基础题
14、或0
【解析】
运用向量的加减运算和特殊角的三角函数值，可得所求和．
【详解】
两点A（2，1）、B（1，1）满足（sinα，cosβ），
可得（﹣1，）＝（，）＝（sinα，cosβ），
即为sinα，cosβ，
α，β∈（），可得α，β＝±，
则α+β＝0或．
故答案为0或．
本题考查向量的加减运算和三角方程的解法，考查运能力，属于基础题．
15、
【解析】
利用递推关系，当时，，当时，，即可求出.
【详解】
由题知：当时，.
当时，.
检验当时，，
所以.
故答案为：
本题主要考查根据数列的前项和求数列的通项公式，体现了分类讨论的思想，属于简单题.
16、
【解析】
利用等差数列的通项公式、前n项和公式直接求解．
【详解】
∵等差数列{an}中，a3+a10＝25，
∴其前12项之和S126（a3+a10）＝6×25＝1．
故答案为：1．
本题考查等差数列的前n项和的公式，考查等差数列的性质的应用，考查运算求解能力，是基础题．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）
【解析】
（1）根据同角三角函数平方关系即可求得结果；
（2）利用同角三角函数商数关系可求得，代入两角和差正切公式可求得结果.
【详解】
（1）为第二象限角
（2）由（1）知：

本题考查同角三角函数值的求解、两角和差正切公式的应用；易错点是忽略角所处的范围，造成三角函数值符号求解错误.
18、
【解析】
利用向量垂直和同角三角函数关系可求得；利用二倍角公式和同角三角函数平方关系将化为关于正余弦的齐次式的问题，分子分母同时除以可化为的形式，代入的值可求得结果.
【详解】
，即

本题考查正余弦齐次式的求解问题，涉及到向量垂直的坐标表示、同角三角函数关系和二倍角公式的应用；关键是能够灵活利用同角三角函数的平方关系构造出关于正余弦的齐次式，进而构造出正切的形式来进行求解.
19、（1）（2）
【解析】
（1）由，利用与的关系式，即可求得数列的通项公式；
（2）由（1）可得，利用乘公比错位相减法，即可求得数列的前项和.
【详解】
（1）由，
当时，；
当时，，
当也成立，
所以则通项；
（2）由（1）可得，-
，
，
两式相减得

所以数列的前项和为.
本题主要考查了数列和的关系、以及“错位相减法”求和的应用，此类题目是数列问题中的常见题型，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数，着重考查了的逻辑思维能力及基本计算能力等.
20、（1），，年龄在的人数为（2）
【解析】
（1）根据第一组的频数和频率可得，由所有频率和为1可得，再求得间的频率后可得人数；
（2）把第一组人数编号，如男性为，女性为，然后用列举法写出任取3人的所有基本事件及至少有两名女生的基本事件，计数后可得所求概率．
【详解】
（1），
设第2组的频率为f，
，
所以，
第3组和第4组的频率为，
年龄在的人数为；
（2）记第1组中的男性为，女性为，
随机抽取3名群众的基本事件是：，
，
共20种；
其中至少有两名女性的基本事件是：共16种.
所以至少有两名女性的概率为.
本题考查频率分布直方图，考查古典概型．解题关键是掌握性质：频率分布直方图中所有频率（小矩形面积）之和为1．
21、（1）（2）或.
【解析】
（1）根据由圆心在直线y=6上，可设，再由圆N与y轴相切，与圆M外切得到圆N的半径为和得解.
（2）由直线l平行于OA，求得直线l的斜率，设出直线l的方程，求得圆心M到直线l的距离，再根据垂径定理确定等量关系，求直线方程.
【详解】
（1）圆M的标准方程为，所以圆心M（7，6），半径为5,.
由圆N圆心在直线y=6上，可设
因为圆N与y轴相切，与圆M外切
所以，圆N的半径为
从而
解得.
所以圆N的标准方程为.
（2）因为直线l平行于OA，所以直线l的斜率为.
设直线l的方程为，即
则圆心M到直线l的距离

因为
而
所以
解得 或.
故直线l的方程为或.
本题主要考查了直线方程，圆的方程，直线与直线，直线与圆，圆与圆的位置关系，还考查了运算求解的能力和数形结合的思想，属于中档题.