反比例函数学案.doc

党寨中学师生共用讲学稿 北师大版九年级数学（上册）

第五章 反比例函数（一）
一、自主学习目标：
1、从具体情境和已有知识经验出发，加深对函数概念的理解；
2、经历抽象反比例函数的过程，领会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念。
二、知识回顾：
1、函数的定义：
一般地.在某个变化中,有两个 x和y,如果给定一个x的值,相应地 ,那么我们称y是x的函数,其中x叫 ,y叫 。
2、我们已经学过一次函数，还记得相关知识吗？
⑴形如y= 的函数，叫做一次函数；
⑵它的一般形式是 ，其中k ；
⑶图像的性质是：
当k＞0时，图像经过第 象限，y随x的逐渐增大而 ，这时图像是 图像（上升或下降）。
‚当k<0时，图像经过第 象限，y随x的逐渐增大而 ；
ƒ当k=0时，它变成 函数，图像的性质与
的性质相同。
请在下面的空白处画出示例图像：

三、自主学习
1、我们知道,电流I,电阻R,电压U之间满足关系式U=IR.当U=220V时.
(1)你能用含有R的代数式表示I吗?

(2)利用写出的关系式完成下表:
R/O
20
40
60
80
100
I/A

当R越来越大时,I怎样变化?当R越来越小呢?

(3)变量I是R的函数吗?为什么?

舞台灯光可以在很短的时间内将阳光灿烂的晴日变成浓云密布的阴天,或由黑夜变成白昼,这样的效果就是通过改变 来控制电流的变化实现的.因为当电流I较小时,灯光 ;反之,当电流I较大时,灯光 .
2、过沼泽地时,人们常常用木板来垫脚.当人和木板对地面的压力一定时,随着木板面积的变化,人和木板对地面的压强将如何变化?
答： 。
3、京沪高速公路全长约为1262km,汽车沿京沪高速公路从上海驶往北京,汽车行完全程所需的时间t(h)与行驶的平均速度v(km/h)之间 有怎样的关系?变量t是v的函数吗?为什么?
答：
4、反比例函数的定义：
在上面的问题中，像,反映了两个变量之间的关系，一般的如果我们把两个变量x、y之间的关系表示成
的形式，则就把y叫做x的反比例函数，其中我们把k叫做反比例函数的系数。
老师质疑:
反比例函数的自变量x能不能是0?为什么?
答： ，y呢？为什么？答：
5、小心判定
⑴.一个矩形的面积是20cm2,相邻的两条边长为xcm和y cm,那么变量y是x的函数吗?是反比例函数吗?为什么?

⑵.某村有耕地346.2公顷,人口数量n逐年发生变化,那么该村人均占有耕地面积m(公顷/人)是全村人口数n的函数吗?是反比例函数吗?为什么?

⑶.y是x的反比例函数,下表给出了x与y的一些值:
X
-3
-2
-1
-1.5
1.5
1
2
3
Y

2

-1

写出这个反比例函数的表达式
解：∵y是x的反比例函数 ∴y= ,k≠0
将x=-1时，y=2代入上式得：k=
故反比例函数y=
‚根据上式，将上表填写完整。
四、随堂练习
1.在下列函数表达式中,x均为自变量,哪些是反比例函数?每一个反比例函数相应的k值是多少?

2、一次函数 若两个变量x,y的关系可以表示成y= (k,b是常数,k≠0)的形式,则称y是做x的一次函数(x为自变量,y为因变量).
正比例函数 特别地,当常数b＝0时,一次函数y=kx+b(k≠0)就成为:y= (k是常数,k≠0), 称y是x的正比例函数.
反比例函数 一般地,如果两个变量x,y之间的关系可以表示成： 的形式,那么称y是x的反比例函数.
3、如果函数y=是反比例函数，那么k =________，此函数的解析式是 ；
4、判断下面哪些式子表示是的反比例函数：
①②③； ④；
5、已知A（，）满足函数，则
（A） （B） 1 （C） （D） 2
课后反思：

第五章：反比例函数（二）⑴
一、自主学习目标：
1、进一步熟悉作函数图像的步骤，会作反比例函数的图像；
2、体会函数的三种表示方法的相互转化，对函数进行整体上的整合；
3、逐步提高从函数图像中获取信息的能力，探索并理解反比例函数的主要性质。
二、复习巩固：
1、什么是反比例函数？

2．反比例函数的定义中需要注意什么？
（1）常数 k 称为比例系数，k 是 ；
（2）自变量 x 次数 1; x 与 y 的积是非零常数，
即 xy = k，k 0；
（3）除 k、x 、y三字母以外，不含其他字母。
3、试用描点法画出y=x+1的图像
解：列表
x
…

0
…
y
…
0

…

三、探求新知：
例、画出函数 y =的图象。
思考：⑴这个函数中自变量的取值范围是什么？
答：
⑵画函数图像的基本步骤是什么？
答：
解：㈠列表
x
…
-8
-4
-3
-2
-1

…

1
2
3
4
8
…
y
…

…

…
㈡描点

⑶连线。（在上图中画出它的图像）
议一议:你认为作反比例函数图象时应注意哪些问题?与同伴交流.
答:1.在列表时,自变量的值可以选取 相等而 相反的一对一对的数值,这样既可简化计算,又便于描点.
2.列表、描点时,要尽量 取一些点,这样方便连线.
3、描点时一定要养成按自变量从 到 的顺序依次画线, 从中体会函数的增减性；
4.曲线的发展趋势只能靠近坐标轴,但 和坐标轴相交.（想想为什么）
四、练习画y=的图像
x
…
-8
-4
-1
1
4
8
…
y
…

…
解：列表：

描点，并连线得：

想一想：观察y=、y=－ 的图象，它们有什么相同点与不同点？
答：相同点：
1.图象分别都是由 支曲线组成.它们都不与坐标轴
2.两个函数图象自身都是 对称图形,它们各有 条对称轴.
3.两个函数图象自身都是中心对称图形,对称中心是 .
不同点：
y=两支曲线分别位于第 象限内; y=－ 两支曲线分别位于第 象限内,想一想这与k值有关吗？如果有，有怎样的对应关系？
五、归纳概括：反比例函数有什么性质？
答：

六、双胞胎之间的差异

课后反思：

第五章 反比例函数（二）（2）
一、自主学习目标：
1、进一步熟悉作函数图像的步骤，会作反比例函数的图像；
2、体会函数的三种表示方法的相互转化，对函数进行整体上的整合；
3、逐步提高从函数图像中获取信息的能力，探索并理解反比例函数的主要性质。
二、复习巩固：
1.反比例函数是一个怎样的图象？

2.反比例函数的图象的位置与k有怎样关系？

3.函数图像上的点与函数解析式之间的关系：
函数图像上的坐标 函数的解析式；
‚适合函数解析式的坐标点的位置 函数图像上。
4.观察反比例函数 的图象，回答下列问题：

（1）函数图象分别位于哪几个象限内？

（2）当x取什么值时，图象在第一象限？当x取什么值时,图象在第三象限？

（3）在每个象限内，随着x值的增大，y的值怎样变化？

5.如果k=－2, －4,－6,那么它们的图象有又什么共同特征？

（1）函数图象分别位于哪个象限内？
x>0时，图象在第 象限；x<0 时，图象在第 象限
（2）在每个象限内，随着x值的增大，y的值怎样变化？
在每一个象限内，y随x的增大而 。（填“增大”或“减小”）
三、小结
反比例函数的图象，
当k>0时，在每一象限内， ；
当k<0时，在每一象限内， 。

1.下列函数中，其图象位于第一、三象限的有____________;
在其所在的象限内，y随x的增大而增大的有___________.

2.想一想
S1、S2有什么关系？为什么？
答：

3.观察反比例函数图象的两支曲线,回答下列问题:
(1)它们会与坐标轴相交吗？

（2）反比例函数的图象是轴对称图形吗？

（3）反比例函数的图象是中心对称图形吗？
四、补充练习：
已知反比例函数,y随x的增大而减小，求a的值和表达式.
分析：由此函数是反比例函数可知：x的次数 ，由此函数的y随x的增大而减小可知： ，故而可以列出相应的式子，求出a值，再代入即可求出解析式。
解：根据题意得：
a－1 0 
‚
由得： ，由‚得： ，故而a=
∴此反比例函数解析式为：
自我检测
1.下列函数中，其图象位于第一、三象限的有__________;
在其所在的象限内，y随x的增大而增大的有___________.

2.已知点A(-2,y1),B(-1,y2),C(3,y3)都在反比例函数的图象上，比较y1、 y2 、y3的大小关系。
解：∵k=4>0
∴图象在第 象限内，每一象限内y随x的增大而
∵x1<x2<0 , x3=3>0,
∴点A(-2,y1)、点B(-1,y2)在第 象限点，C(3,y3)在第 象限。
∴y3 0, y2 y1 0 即y2 y1 0 y3 （填“>”或“>”或“=”）
3.比较反比例函数与一次函数的图像及性质：
函数
解析式
图像形状
图像性质
对称性
一次函数

反比例函数

六、课后反思：

第五章 反比例函数（三）
一、自主学习目标：
1、经历分析实际问题中两个变量之间的关系、建立反比例函数模型，进而解决问题；
2、体会数学与现实生活的联系，增强应用意识，提高运用代数方法解决问题的能力。
二、复习提问：
1.什么是反比例函数?
2.反比例函数图象是什么?答：
3.反比例函数 图象有哪些性质?
答：
三、问题情境：
某科技小组进行野外考察，途中遇到一片十几米的烂泥湿地。为了安全、迅速通过这片湿地，他们沿着前进的路线铺垫了若干块木板，构筑成一条临时通道，从而顺利完成了任务。你能解释他们这样做的道理吗？
当人和木板对湿地的压力一定时,随着木板面积S(m2)的变化,人和木板对地面的压强P(Pa)将如何变化?答：
如果人和木板对湿地地面的压力合计600N,那么
(1)用含S的代数式表示P,P是S的反比例函数吗?为什么?
解：根据题意可得：P= ，它是 函数，因为它符合 的一般式，并却k= 。
(2)当木板面积为0.2m2时,压强是多少?
解：当S=0.2㎡时，代入函数解析式 ，可得：
(3)如果要求压强不超过6000Pa,木板面积至少要多大?
解：当P≤6000Pa时,S ,即木板面积至少要 ㎡。
(4)在直角坐标系,作出相应函数的图象
想一想：为什么只能画出它
在第一象限内的图像？
答： 。
(5)请利用图象对(2)和(3)作出直观解释,并与同伴交流.
解:问题(2)是已知图象上的某点的横坐标为0.2,求该点的 ;问题(3)是已知图象上点的纵坐标不大于6000,求这些点所处 及它们横坐标的 .实际上这些点都在直线P=6000 （“上”或“下”方的图象上）.
四、做一做：(见158页第1题)
(1)蓄电池的电压是多少?你能写出这一函数的表达式吗?
解:因为电流I与电压U之间的关系为 (U为定值),把图象上的点 的坐标 代入,得U=36.
所以蓄电池的电压U=36V.故函数解析式为：
(2)完成下表,并回答问题:如果以此蓄电池为电源的用电器电流不得超过10A,那么用电器的可变电阻应控制在什么范围内?
R/Ω
3
4
5
6
7
8
9
10
I/A

还可以这样做：
解:当I≤10A时,解得R (Ω).所以可变电阻应不小于 Ω
2.(见课本159页)
(1)分别写出这两个函数的表达式;
(2)你能求出点B的坐标吗?你是怎样求的?与同伴交流?
解:(1)把A点坐标 分别代入y=k1x,和y=后，可得到方程组：
解得k1=2.k2=6
(3)B点的坐标是两个函数组成的方程组 的另一个解.
解得x= ，从图上可以看出B点在第 象限，故当
X= 时，y= ，即B点坐标为 。
3随堂练习：课本159
(一）某蓄水池的排水管每时排水8m3,6h可将满池水全部排空.
(1)蓄水池的容积是多少?
解：
(2)如果增加排水管,使每时的排水量达到Q(m3),那么将满池水排空所需的时间t(h)将如何变化?
答：
(3)写出t与Q之间的函数关系式;
解：
（4）如果准备在5h内将满池水排空，那么每h的排水量是多少？
解：根据题意，当t=5h时，Q=
五、练一练
1、与成反比，且当＝6时，，这个函数解析式为 ；
2、若反比列函数的图像经过二、四象限，则= _______
3、已知-2与成反比例，当=3时，=1，则与间的函数关系式为 ；
4、已知正比例函数与反比例函数的图象都过A（，1），则＝ ，正比例函数与反比例函数的解析式分别是 、 ；
5、已知反比例函数，当时，其图象的两个分支在第一、三象限内；当时，其图象在每个象限内随的增大而增大；
6、若点A(7，)、B(5，)在双曲线上，则和的大小关系为_________；
7、已知一次函数与反比例函数的图像相交于点（ 1 , 2 ）,求该直线与双曲线的另一个交点坐标____________；
8、已知反比例函数的图像经过点（，），则它的图像一定也经过（ ）
A、(－,－) B、(,－) C、 (－，) D、（0，0）
9、函数的图象经过点（－4，6），则下列各点中不在图象上的是（ ）
A、 （3，8）B、（3，－8） C、（－8，－3） D、（－4，－6）
六：课后反思：

第五章 反比例函数（三）一、自主学习目标：
1、经历分析实际问题中两个变量之间的关系、建立反比例函数模型，进而解决问题；
2、体会数学与现实生活的联系，增强应用意识，提高运用代数方法解决问题的能力。
二、复习提问：
1、正比例函数与反比例函数的对比
函数
正比例函数
反比例函数
解析式

图像

自变量取值范围

图像的位置

性质

三、知识运用

1、若正比例函数y=k1x(k1≠0)与反比例函数y= 的函数值都随x的增大而增大，那么它们在同一直角坐标系中的图像大致是__________

四、总结规律
1、

S∆OAP=OA·AP=| |·| |=| |

（2）若将条件改为过P作y轴的垂
线，结论又是什么？如右图
答：
（3）过P作x、y轴的垂线，垂足分别是A、B
则S矩形OAPB= 如右图
（4）设P（a,b)关于原点的对称点
是P'（-m,-n),过P作x轴的垂线与
过P作y轴的垂线交与A点，则
SΔPAP'=

五、课后反思

九年级上数学第五章《反比例函数》测试题
一、精心选一选，相信自己的判断！（每题2分共20分）
1、下列函数中，反比例函数是（　　　）
A、B、 C、 D、
2、函数的图象经过点（－4，6），则下列各点中在图象上的是（ ）
A、（3，8）B、（3，－8） C、（－8，－3） D、 （－4，－6）
3、若与－3成反比例，与成正比例，则是的（　　　）
A、正比例函数B、反比例函数 C、 一次函数D、不能确定
4、如果反比例函数的图像经过点（－3，－4），那么函数的图像应在（　　　）
A、 第一、三象限　 B、 第一、二象限 　 C、 第二、四象限　 D、 第三、四象限
5、在同一坐标系中，函数和的图像大致是 （ ）

A B C D
x
y
C
O
A
B
（第6题）
6、正方形的边长为2，反比例函数过点，则的值是（ ）
A． B． C． D．
7、已知反比例函数的图像经过点（，），则它的图像一定也经过（　　　）
A、 (－,－) B、 (,－) C、 (－，) D、 （0，0）
A
B
O
x
y
8、如上图，A为反比例函数图象上一
点，AB垂直轴于B点，若S△AOB＝3，
则的值为（ ）
A、6 B、3 C、 D、不能确定
9、若反比例函数的图像在第二、四象限，则的值是（　 　）
A、－1或1 B、小于 的任意实数 C、－1　Ｄ、 不能确定
10、在同一直角坐标平面内，如果直线与双曲线没有交点，那么和的关系一定是（ ）
A <0，>0 B >0，<0 C 、同号 D 、异号
二、耐心填一填：（30分）
1、函数，当时没有意义，则的值为
2、某物体对地面的压力为定值，物体对地面的压强p（Pa）与受力面积S（㎡）之间的函数关系如图所示.这一函数表达式为p=________
3、反比例函数的图像经过（－，5）点、（，－3）及（10，）点，则＝　 ，＝　 ，＝ ；
4、已知正比例函数与反比例函数的图象都过A（，1），则＝ ，正比例函数与反比例函数的解析式分别是 、 ；
y
x
O
P
M
5、反比例函数在第一象限内的图象如图，点M是图像上一点， MP垂直轴于点P，如果△MOP的面积为1，那么的值是 ；
6．在下列函数表达式中，表示是的反比例函数的有 。
①②③ ④ ⑤
7．设P（m，n）是双曲线（）上任意一点，有（1）过P作x轴的垂线，垂足为A，则 。
8．下列函数中，图象象位于第一、三象限的有 ，在图象所在象限内，的值随的增大而增大的有 。
① ② ③ ④
9．点（13，-3）在反比例函数的图象上，那么= ，该反比例函数的图象位于第 象限。
10．已知反比例函数的图象具有下列特征：在所在象限内，的值随的增大而增大，那么的取值范围是 。

三、细心做一做：（共 18分）
1、为预防“手足口病”，某校对教室进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量（mg）与燃烧时间（分钟）成正比例；燃烧后，与成反比例（如图所示）．现测得药物10分钟燃完，此时教室内每立方米空气含药量为8mg．据以上信息解答下列问题：
（1）求药物燃烧时与的函数关系式．（2）求药物燃烧后与的函数关系式．
（3）当每立方米空气中含药量低于1.6mg时，对人体方能无毒害作用，那么从消毒开始，经多长时间学生才可以回教室？

2．已知y=y1－y2，y1与x2成正比例，y2与x－1成反比例，当x=－1时，y=3；当x=2时，y=－3．（1）求y与x之间的函数关系；（2）当x=时，求y的值．

3、已知□ABCD中，AB = 4，AD = 2，E是AB边上的一动点，设AE=，DE延长线交CB的延长线于F，设CF =，求与之间的函数关系。

四、勇敢闯一闯：（32分）
O
y
x
B
A
C
1、如图，Rt△ABO的顶点A是双曲线与直线在第二象限的交点，AB⊥轴于B且S△ABO=
（1）求这两个函数的解析式
（2）求直线与双曲线的两个交点A，C的坐标和△AOC的面积。

2、如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于A、B两点，
（1）利用图中条件，求反比例函数和一次函数的解析式
（2）根据图像写出使一次函数的值大于反比例函数的值的的取值范围

3．如图，已知一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=－的图象相交于A、B两点，且点A的横坐标和点B的纵坐标都是－2，求：
求：（1）一次函数的解析式；
（2）△AOB的面积．