高中数学必修1全册知识点.pdf

第第 1 1 讲讲 集合集合一、集合的相关概念一、集合的相关概念1、集合（朴素集合论中的定义）：集合就是“一堆东西”，记为 A、B、C集合里的“东西”，叫作元素，记为 a、b、c2、元素的 3 个特性：(1)确定性：对于任意一个元素,要么它属于某个指定集合,要么它不属于该集合,二者必居其一；(2)互异性：同一个集合中的元素是互不相同的；(3)无序性：任意改变集合中元素的排列次序,它们仍然表示同一个集合。3、集合与元素的关系（属于，不属于）符号：aA,a A二者必居其一4、集合的分类：有限集：含有有限个元素的集合无限集：含有无限个元素的集合空集：不含任何元素的集合.记作注意：（1）a与(a,b)都是单元素集 （2）0,之区别 （3）“”符号具有全体之意 （4）常用集合的专用字母：R:实数集Q:有理数集Z:整数集N:自然数集N*或 N+：正整数集 二、集合的表示方法二、集合的表示方法1、列举法 ,.a b c d形如2、描述法 ,x p xp x形如其中是代表元素，是属性.3、Venn（文氏图）：用一条封闭曲线围成的图形表示集合的方法。三、集合间的基本关系三、集合间的基本关系1、子集定义：A B x A 有 x B注意：A BxA 但 xB显然：（1）A A （2）A （3）若 A B,B C 则 A C2、集相等：A=B AB 且 BA3、真子集：456AAAAABCAC显然：若非空，则的子集中除外，都是的真子集或 22122nnnn结论：一个集合有个元素，则它有个子集，有个真子集，个非空真子集。第第 2 2 讲讲 集合的运算集合的运算一、交集：一、交集：1ABx xAxBI、定义：且 123xABxAxBxABxAxBABABIII说明：且或实质上是、的公共部分图示：2、性质 =AA AABAAAU AAB AAB IIIII，二、并集：二、并集：1ABx xAxBU、定义：或 123xABxAxBxABxAxBABABUUI说明：或且实质上是、凑在一起图示：2、性质 =AA AABAAAAU UAB BABUUUUU，三、补集：三、补集：全集：由（所考虑的）所有元素构成的集合。通常用 U 表示。,UAx xUxA补集：C且;,UUUUUUxAxAxAxAAAUU 显然：CCCCCC当心：考虑补集时，一定要注意全集；但全集因题而异。图示：,UUUUUUAAUUAAUAAUI性质：CCCCCC第第 3 讲讲 映射与函数概念映射与函数概念1、映射映射fABxAfByAB 设有两个集合、，通过在中都有唯一确定的元素与之对应,称映射.说明：映射是一种对应关系，对应关系一般有一下 4 种类型，但只有“一对一”、“一对多”才构成映射关系.一对一 多对一 一对多 多对多 2、函数函数1、定义：非空数集 A 到非空数集 B 的映射，叫函数。31yfxx例：;xxR：叫自变量，的范围叫定义域，这里定义域为 :y yxyR是的函数，的范围叫值域，这里值域为；f：对应法则，这里是先自身3倍与1之和.:31fxx将倍与之和.-1:-1 31fxx将倍与之和.2、函数 3 个要素：.xfy定义域的取值范围；对应关系；值域的取值范围3、如何判断两个函数是否为同一函数？要满足以下 2 个条件：定义域相同，对应法则相同，即经化简两函数为同一形式(即式子或数相同)简便算法：任取一个数 x将 x 分别带入两式子中看两式是否同时得一个数,得一个数：同一函数,否,则不为同一函数3、复合函数复合函数 ,yf uug xyf g x1、定义：叫复合函数.551+1yyuxxu例：可看成与复合而成.4、求复合函数的定义域求复合函数的定义域 1fxf g x、已知的定义域，求的定义域.2fg xfx、已知的定义域，求的定义域.3f g xf h x、已知函数的定义域，求的定义域。f xfxg xf g x同一个里面的东西范围一致，也就是这里与范围相同.01f xx xf x例1、已知的定义域为，求的定义域.10111xxf xx x 解：令，得的定义域为 2312,4fxfx例、已知的定义域为，求的定义域.24,83210.8,10 xxf x 解：由的定义域为抓住两点：（1）同一个 f 里的东西范围相同；（2）定义域指的是 x 的范围.第第 4 讲讲 函数的表示法函数的表示法1、函数的表示方法函数的表示方法1、解析法 2、列表法 3、图像法2、分段函数分段函数 2,01,0 x xf xx例如：3、求函数解析式的求函数解析式的 3 种题型种题型1、知函数型 用待定系数法 2fxf g x、知解析式，求得解析式3()()f g xf x、知解析式，求的解析式用换元法或配方法1例、如下图，函数图像是由两条射线及抛物线的一部分组成，求解析式.222111,2221,3,23.22 13,0.21,1.42 13.2,142,132,3kbkykxb xbbyxxxyxxya xxaaayxxxxxyxxxxx 解：设左侧射线为，则同理时设抛物线为 则(21)54,()fxxf x例2、已知求的解析式 121(),21513()54222513()22txt tRxtf ttf xx 解：则 则 换元法 令所以。513(21)542122513()22fxxxf xxQ（）+，配方法。第第 5 讲讲 函数的基本性质函数的基本性质1、函数的单调性函数的单调性 121212121,.,.yf xxAx xDAxxf xf xf xDf xf xf xDZ、定义：设对于且时，如果那么在上增函数如果那么在上减函数 123说明：函数单调性，特指某区间.初等函数均分段单调.单独点没有增减性变化，所以考虑区间的单调性时，可以不包括端点.2、函数单调性的判定方法直接法：如一次函数、二次函数、反比例函数.图像法：1123+f xf xf xf xg xf xg xf xf xf xf xa性质法：当恒正或恒负时，与单调性相反.若、单调性相同，则单调性与它们相同.与单调性相反，与单调性相同.定义法：步骤：取值 作差变形 定号 判断/(0)0.)(fxfx导数法 如果，那么函数在这个区间单调递增；如果，那么函数在这个区间单调递减 10,f xxx例：判断在上的单调性，并加以证明.（定义法）12120,x xxx证：任意,且 1211221212211212111111f xf xxxxxxxxxxxx xx x 12120,x xxxQ且12210,0,x xxx121212,0,1,1,10,x xx xx x当时 12120,fxfxfxfx即 0,1fx在上是减函数；,1,1,10 x xxxxx当时，12120,fxfxfxfx，即 1,fx在上是增函数.第第 6 讲讲 函数的最值函数的最值1、最值的定义：最值的定义：,.yfxxI设 001,;2,.xIf xMxIf xMMf x 最大值：都有使则称是的最大值.001,;2,.xIf xMxIf xMMf x 最小值：都有使则称是的最小值.2、求函数最值得方法求函数最值得方法1、已知函数图像，则根据图像求函数的最值.2、函数为所学过的函数（一次函数，反比例函数，二次函数，指数函数，对数函数，幂函数，三角函数），则利用函数单调性、图像求函数的最值.3、初等函数，则利用导函数求最值.第第 7 讲讲 函数值域的求法函数值域的求法1、常用方法常用方法 221234425yxxyxyxxaxbycxd 1、单调性法比如、图像法已知图像、直接法比如、换元法比如、分离常数法形如2、举例举例1、单调性法：min211+2121+211,221,.2yxxyxyxf xf xff x 解：定义域，和在，上单调递增,值域为 minmax12,612,612,6335,6,263 35,.26yxxxyxyxyxxf xf xff x 求,的值域.解：和在上单调递增,在单调递增,值域为2、图像法：220,3.fxxx求=在上的值域 fx的图像如图所示，求值域.fx解：画图像：minmax33,11.0,33,1.f xff xff x 由图可知在上的值域为3、直接法：2220404,0,2.0,2.xxx解：由及，可知函数值域为4、换元法：2yxx求的值域.22,0,2,0.xt tyttt 解：令5、分离常数法：323xyx求的值域.331132113333xxyxxx解：,33,.fxU由反比例函数的性质可知：的值域为 4,3.fx解：由上图可知值域为第第 8 讲讲 函数的奇偶性函数的奇偶性一、奇偶性的定义一、奇偶性的定义 ,yf xxAxAxAfxf xf xfxf xf x 设,如果都有-使得,那么叫偶函数.使得,那么叫奇函数.3,=3=yf xxf xRfxxf xf x Q例如：解：的定义域为且，为奇函数.22.,f xxf xRfxxf xf x Q解：的定义域为且为奇函数.=00=0.22=+0=0 xfyf xfxf xfxf xCf xCC说明：整体性质，定义域必须关于原点对称奇函数图像关于原点对称，若在处有定义，则；偶函数图像关于轴对称函数未定有奇偶性，但如果定义域关于原点对称，那么任意定义域关于原点对称的函数偶函数奇函数偶函数特别地，奇函数且偶函数拓展：拓展：1+=+=、奇奇奇，偶偶偶奇奇偶，偶偶偶2、偶函数在关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性.奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性.第第 9 讲讲 指数函数指数函数1、关于根式关于根式,1,nnnnxaxaxannxa 为奇数、叫做的次方根为偶数2、名称：3,nnnnaaa naa n、性质：为奇数为偶数2、指数与指数函数的运算指数与指数函数的运算指数：*,nnNaa a aa aR 1 4 2 4 3个00,10naa*1,0nnnNaaa*,0,mnmnm nNaaanm为根指数为幂指数*1,0mnnmm nNaaa mnm nnmm nnnnaaaaaaba b运算性质：3、指数函数指数函数101xyaaa、定义：形如且,叫指数函数.2、图像：3、总结：0+113223xxxx图像分布：在，底大幂大注意“加塞儿”1,0,2.30,1.40,1,0,01xR yRxyxy Z性质：两域：单调性：在上过定点 1,0,2.30,1.40,01,0,1xR yRxyxy 性质：两域：单调性：在上过定点拓展：111=2=323xxxxyyyyy、对称关系：例如与,与关于轴对称.0,112f xf xy aaaf xa2、函数=定义域是的定义域；先求值域再求值域.21xf x例：求=3的值域.2211,1,30,3,0,3.xxRxyf x 解：定义域为由二次函数性质,可知再由图像可知3值域为3、比较幂的大小的方法(1)底数不同，指数相同时，利用图像比较大小；2或者转化为同底底数不同且指数不同再利用图像或者借助中间量4、指数方程与指数不等式 方法：“转化为同底的幂”0.70.90.80.8,0.8,1.2abc例1、比较 cab由图可知311224xx例、解不等式 2214224xxxx解：23122,22311,51,.5xxxyRxxx Q是上的增函数，原不等式的解集为38 2160.xx 例、解方程4 228 21602,0,8160,4,24,2.xxxxt ttttx 解：令得解得第第 10 讲讲 对数函数对数函数2+3=553=22 36623 引言：.baNbaN一、对数：若=，则叫以为底的对数 log01,0abN aaN记为：且2、常见对数常见对数 101 loglg2 loglnexxxx常用对数自然对数3、常用公式常用公式 log1aNaN对数恒等式 2 loglognmaambbn log3log=logcacbba换底公式4、法则法则 1 logloglogaaMNMN 2 logloglogaaMMNNlog,log,=logloglogloglogloglogaaxyx yx yaaaaaaMxNyMaNaM NaMNaxyMNMNMN证明：右边左边5、对数函数对数函数1log01.ayx aa、定义：形如且的函数叫对数函数2、图像：310,.20+.31,0.41,001,0.xyRxyxyZ、性质两域单调性：在，过定点 10,.20+.31,0.41,001,0.xyRxyxy性质两域单调性：在，过定点4、图像分布：1+规律：在，上，底大对数小.11+011+aa时，底数越大，图像在，上越低；时，底数越大，图像在，上越低.拓展：logxayayxyx1、指数函数与对数函数互为反函数,它们的图像关于直线对称.第第 11 讲讲 幂函数幂函数.yx一、定义：形如为常数的函数叫幂函数2、图像图像 0 0 01 1 1I 象限其他象限图像由定义域及对称性（奇偶性）补齐.3、性质性质 11,1、过定点；200,00,f xf xZ、当时,在上当时,在上1311112393231+.xxxxxxx、在，上，指数大幂大 注意：“加塞儿”第第 12 讲讲 函数与方程函数与方程1、连续函数连续函数连续函数：非连续函数：2、方程的根与函数的零点方程的根与函数的零点 0001fxxfxxfx、零点：对于函数，若使=0，则称为函数的零点.=0y fxfxy fxx2、函数=的零点方程的实根函数=图像与交点的横坐标.3、零点存在性定理：,:,.0.y fxa bpqy fxa bf af b=在上连续不断；函数=在内有零点 pq说明：是充分不必要条件.4,y fxa b、如何证明函数=在区间内存在唯一一个零点？,:,:,.0.y f xa bpy f xa bqy f xa bf af b=在区间内单调；=在上连续不断；函数=在内有唯一一个零点 f x三、用二分法求=0的近似解步骤：12121233131323231,0;2,;230,20,2.iix xf xf xxxxf xf xf xx xf xf xx xxxd1、寻找使、令求、，用重复，用重复；4、直到 1122334455665600103,3,0.5=3,2;3,4;0,1;1.5,0.5;0.75,0.25;1.125,0.125;0.3250.5,1.125,0.75,=1.125xxf xxf xxf xxf xxf xxf xxxxx 例：用二分法求方程在区间上的实根精确到则方程的根取 0f xg xx四、方程=的跟 5、含参的二次方程含参的二次方程方法：主要使用图像法，决不能用韦达定理.21100,11,2xaxa 例、已知方程2的两实根分别在区间，上，求的取值范围.121,326,2.axxaa 错误解：由韦达定理说明：此法会把的范围扩大正确解：由函数图像：0010103092020ffaaf即93.2a 解题方法：(1)画图像；(2)判断端点，根的判别式，对称轴等；(3)解不等式.第第 13 讲讲 函数模型及其应用函数模型及其应用一、3 类函数的增长差异2212log.xyyxyx、在同一直角坐标系中，画出函数;的图像 log,xnaxyayxyx随着的增大，增长速度 00log.xnaxxxaxx因此，总会存在一个，当时，就有2、常见的 5 种函数模型 21;23;4log;5.nxaayaxbyaxbxcymabymnxbymxb一次函数模型二次函数模型指数型模型对数型模型幂函数模型根据散点图选择恰当模型：3、应用题 1、理解模型；2、列函数表达式，写出自变量取值范围；3、求解.例某地新建一个服装厂，从今年 7 月份开始投产，并且前 4 个月的产量分别为 1 万件、1.2 万件、1.3 万件、1.37 万件由于产品质量好、服装款式新颖，因此前几个月的产品销售情况良好为了推销员在推销产品时，接收定单不至于过多或过少，需要估测以后几个月的产量，假如你是厂长，就月份 x，产量 y 给出四种函数模型：yaxb，yax2bxc，yax b，yabxc，你将利用哪一种模型去估算以后几个月的产量？12分析由题目可获取以下主要信息：已知函数模型；选择最优模型解答本题可先确定解析式，再通过数据拟合，选择最优模型本题是通过数据验证，确定系数，然后分析确定函数变化情况，最终找出与实际最接近的函数模型解由题知A(1,1)，B(2,1.2)，C(3,1.3)，D(4,1.37)设模拟函数为yaxb，将B、C两点的坐标代入函数式，有Error!，解得Error!.所以得y0.1x1.此法的结论是：在不增加工人和设备的条件下，产量会每月上升 1 000 双，这是不太可能的设yax2bxc，将A，B，C三点代入，有Error!，解得Error!.所以y0.05x20.35x0.7.由此法计算 4 月份产量为 1.3 万双，比实际产量少 700 双，而且，由二次函数性质可知，产量自 4 月份开始将每月下降(图象开口向下，对称轴x3.5)，不合实际设yab，将A，B两点的坐标代入，有xError!，解得Error!，所以y0.480.52.x把x3 和 4 代入，分别得到y1.35 和 1.48，与实际产量差距较大设yabxc，将A，B，C三点的坐标代入，得Error!，解得Error!，所以y0.8(0.5)x1.4，把x4 代入得y0.80.541.41.35.比较上述四个模拟函数的优劣，既要考虑到误差最小，又要考虑生产的实际，比如增产的趋势和可能性经过筛选，以指数函数模拟为最佳一是误差小，二是由于新建厂，开始随工人技术、管理效益逐渐提高，一段时间内产量会明显上升，但过一段时间之后，如果不更新设备，产量必然趋于稳定，而指数函数模型恰好反映了这样的趋势因此，选用y0.80.5x1.4 模拟比较接近客观实际点评对于数据拟合型函数应用问题，要先确定函数解析式，再利用数据对比，确定最优模型，多数情况下要采用数形结合法