高中数学苏教版必修4三角函数知识点总结.pdf

1三角函数知识点总结三角函数知识点总结一、角的概念和弧度制：一、角的概念和弧度制：（1 1）在直角坐标系内讨论角：）在直角坐标系内讨论角：角的顶点在原点，始边在角的顶点在原点，始边在轴的正半轴上，角的终边在第几象限，就说过角是轴的正半轴上，角的终边在第几象限，就说过角是x第几象限的角。若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫象第几象限的角。若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫象限界角。限界角。(2)(2)与与角终边相同的角的集合：角终边相同的角的集合：（3 3）区间角的表示：）区间角的表示：,2|,360|0ZkkZkk或象限角：第一象限角：象限角：第一象限角：；第三象限角：第三象限角：；第一、三象限角：第一、三象限角：；写出图中所表示的区间角：写出图中所表示的区间角：（4 4）正确理解角：）正确理解角：要正确理解要正确理解“第一象限的角第一象限的角”=”=；“锐角锐角”=”=；“小于小于的角的角”=”=；o90（5 5）弧度制：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零；弧度制：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零；任一已知角任一已知角的弧度数的绝对值的弧度数的绝对值，其中，其中 为以角为以角作为圆心角时所对圆弧的作为圆心角时所对圆弧的rl|l长，长，为圆的半径。注意钟表指针所转过的角是负角。为圆的半径。注意钟表指针所转过的角是负角。r(6)(6)弧度制与角度制的换算公式：弧度制与角度制的换算公式：，2360o1180o180157.3oo（7 7）弧长公式：）弧长公式：；半径公式：；半径公式：；扇形面积公式：扇形面积公式：；【例例 1】1】（1 1）扇形的中心角为）扇形的中心角为32，弧长为，弧长为2，则其半径，则其半径r_ （2 2）一条弦的长等于半径，则这条弦所对的圆心角是）一条弦的长等于半径，则这条弦所对的圆心角是 弧度弧度xyOxyO2（3 3）点）点P从圆心在原点从圆心在原点O的单位圆上点的单位圆上点)0,1(出发，沿逆时针方向运动出发，沿逆时针方向运动65弧长，到弧长，到达点达点Q，则点，则点Q的坐标是的坐标是_._.（4 4）将）将65radrad 化为角度是化为角度是 （5 5）已知扇形的周长为）已知扇形的周长为cm324,其半径为其半径为cm2,则该扇形的圆心角的弧度数为则该扇形的圆心角的弧度数为 .（6 6）若）若 2 2 弧度的圆心角所对的弦长为弧度的圆心角所对的弦长为 2 2，则这个圆心角所夹扇形的面积为（，则这个圆心角所夹扇形的面积为（）A A、B B、C C、D D、1sin221sin 221sin 1tan1【例例 2】2】如图如图,一条弦一条弦 ABAB 的长等于它所在的圆的半径的长等于它所在的圆的半径 R,R,求弦求弦 ABAB 和劣弧和劣弧 ABAB 所组成的所组成的弓形的面积弓形的面积.A A B B R R R R 【例例 3】3】如图，圆上一点如图，圆上一点以逆时针方向作匀速圆周运动，已知点以逆时针方向作匀速圆周运动，已知点每分钟转过每分钟转过角角AA（），经过，经过 2 2 分钟到达第三象限，经过分钟到达第三象限，经过 1414 分钟回到原来位置，求分钟回到原来位置，求的大小的大小03【例例 4】4】一扇形周长为一扇形周长为 2020cmcm，当扇形的圆心角，当扇形的圆心角等于多少弧度时，这个扇形的面积等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求此扇形的最大面积？最大？并求此扇形的最大面积？针对练习针对练习1 1下列角中终边与下列角中终边与 330330相同的角是（相同的角是（）.30.30 B.-30B.-30 C.630C.630 D.-630D.-6302 2下列命题正确的是（下列命题正确的是（）.终边相同的角一定相等。终边相同的角一定相等。B.B.第一象限的角都是锐角。第一象限的角都是锐角。C.C.锐角都是第一象限的角。锐角都是第一象限的角。D.D.小于小于的角都是锐角。的角都是锐角。903 3如果一扇形的弧长为如果一扇形的弧长为，半径等于，半径等于，则扇形所对圆心角为（，则扇形所对圆心角为（）2cm2cm22324.4.若若 是第四象限角，则是第四象限角，则 180+180+一定是（一定是（）.第一象限角第一象限角 B.B.第二象限角第二象限角 C.C.第三象限角第三象限角 D.D.第四象限角第四象限角5 5若若，则它是（，则它是（）C C 3rad A A、第一象限角、第一象限角 B B、第二象限角、第二象限角 C C、第三象限角、第三象限角 D D、第四象限角、第四象限角6.6.一个半径为一个半径为的扇形，它的周长为的扇形，它的周长为，则这个扇形所含弓形的面积为（，则这个扇形所含弓形的面积为（）R4R2112sin222R21sin22R212R221sin22RR7 7某扇形的面积为某扇形的面积为 1 1，它的周长为，它的周长为 4 4，那么该扇形圆心角的度数为，那么该扇形圆心角的度数为()2cmcmA A22B B2 2C C44D D4 4二、任意角的三角函数：二、任意角的三角函数：4（1 1）任意角的三角函数定义：）任意角的三角函数定义：以角以角的顶点为坐标原点，始边为的顶点为坐标原点，始边为轴正半轴建立直角坐标系，在角轴正半轴建立直角坐标系，在角的终边的终边x上任取一个异于原点的点上任取一个异于原点的点，点，点到原点的距离记为到原点的距离记为，则，则 ),(yxPPrsin；costan (2).(2).三角函数的定义域三角函数的定义域,函数值的符号函数值的符号定义域定义域三角函数三角函数角度制角度制弧度制弧度制第一第一象限象限第二第二象限象限第三第三象限象限第四第四象限象限sincostan（3 3）特殊角的三角函数值：）特殊角的三角函数值：0 0643223sinsincoscostan例题：例题：1.1.确定下列三角函数值的符号确定下列三角函数值的符号(1)(1);(2)(2);(3)(3);(4)(4).cos250sin()4tan(672)tan3 2.2.已知角已知角的终边上一点的终边上一点，且，且，求，求的值的值.(3,)Pm2sin4mcos任意角的三角函数练习题任意角的三角函数练习题5一、选择题一、选择题（1 1）已知角）已知角的终边经过点的终边经过点 p(p(1,1,),),则则的值是（的值是（）3cossinA.A.B.B.C.C.D.D.213 213 231213(2)(2)下列命题中，正确命题的个数是（下列命题中，正确命题的个数是（）终边相同的角的同名三角函数的值相同；终边相同的角的同名三角函数的值相同；终边不同的角的同名三角函数的值不终边不同的角的同名三角函数的值不等等 若若则则是第一、二象限的角是第一、二象限的角 ；若若是第二象限的角是第二象限的角,且且 p(x,y)p(x,y)是其终是其终0sin边上一点，则边上一点，则 22cosyxxA.1A.1 B.2B.2 C.3C.3 D.4D.4(3)(3)若若，则，则在（在（）0cossin(4)(4)A.A.第一、二象限第一、二象限 B.B.第一、三象限第一、三象限 C.C.第一、四象限第一、四象限 D.D.第二、四象限第二、四象限（5 5）.若若函数函数的定义域是（的定义域是（）),2,0(xxxytansin A.0,A.0,B.0,B.0,C.C.D.(D.(22,23,2(6)(6)设角设角属于第二象限，且属于第二象限，且，则角，则角属于（属于（）,2cos2cos2 A.A.第一象限第一象限 B.B.第二象限第二象限 C.C.第三象限第三象限 D.D.第四象限第四象限(7)(7)已知已知 p(p()为角为角的终边上的一点，且的终边上的一点，且,则则 y y 等于（等于（）y,31313sin A.A.B.B.C.C.D.D.2121212（8 8）.在在00，2 2 上满足上满足的的 x x 的取值范围是（的取值范围是（）21sinx A.A.B.B.C.C.D.D.6,065,632,6,65二、填空题二、填空题（9.9.）)611tan(49cos（1010）若角）若角的终边在直线的终边在直线上，则上，则xy33_cos_sin（1111）函数）函数的定义域为的定义域为 xxxytancoslgsin6三、同角三角函数的关系与诱导公式：三、同角三角函数的关系与诱导公式：（1 1）同角三角函数的关系）同角三角函数的关系作用：已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值。作用：已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值。（2 2）诱导公式：）诱导公式：，k2；：，；：，；：，；：，2；：，；2：，；2：，；23：，；23诱导公式可用概括为：诱导公式可用概括为：2K2K,-,-,的三角函数的三角函数 奇变偶不变，符号看象限奇变偶不变，符号看象限223作用：作用：“去负去负脱周脱周化锐化锐”，是对三角函数式进行角变换的基本思路即利，是对三角函数式进行角变换的基本思路即利用三角函数的奇偶性将负角的三角函数变为正角的三角函数用三角函数的奇偶性将负角的三角函数变为正角的三角函数去负；利用三角函去负；利用三角函数的周期性将任意角的三角函数化为角度在区间数的周期性将任意角的三角函数化为角度在区间00o o,360,360o o)或或00o o,180,180o o)内的三角函数内的三角函数脱周；利用诱导公式将上述三角函数化为锐角三角函数脱周；利用诱导公式将上述三角函数化为锐角三角函数化锐化锐.1.1.下列命题正确的是（下列命题正确的是（）A.A.存在一个角存在一个角，使，使 B.B.存在一个角存在一个角，使，使 0cossin32cos,31sinC.C.存在一个锐角存在一个锐角，使，使 D.D.存在一个角存在一个角，使，使 1cossin1cos,0tan2.2.的值是（的值是（）o600tan平方关系sin2+cos2=1，商数关系=tancossin7A.A.B.B.C.C.D.D.3333333.3.的值为（的值为（）65cos34sin)34tan(A.A.B.B.C.C.D.D.43343343434.4.已知已知，则，则的值为（的值为（）)cos()2cos()sin()sin(,2tanyyA.A.B.B.C.C.D.D.2221215.5.若若则则的值等于的值等于(),223,21)cos()2sin(A.A.B.B.C.C.D.D.212323236.6.化简化简的结果是（的结果是（）oooo165cos105cos75cos15cosA.A.B.B.C.C.D.D.0 0o15sin2o15cos2)15cos15(sin2oo7.7.已知已知，为第三象限角，则为第三象限角，则的值为（的值为（）3tan)3sin()2cos(A.A.B.B.C.C.D.D.213 2312312318.8.，则，则的值是（的值是（）5cos5sin2cos3sintanA.A.B.B.C.C.D.D.1128229229 9若若，则下列等式中不成立的是（），则下列等式中不成立的是（）A.A.B.B.C.C.D.D.sinsin0coscos0tantan2cos2sin1010化简化简的结果是（）的结果是（）)2cos()2sin(21A.A.B.B.C.C.D.D.无法确定无法确定2cos2sin2sin2cos2sin2cos1111已知已知且且则则()m)cos(223)2tan(8A.A.B.B.C.C.D.D.21mm21mmmm21mm211212已知已知,那么那么的值为的值为()231cossin),0(tanA.A.B.B.C.C.D.D.33333313.13.若若,则则()232tan且msinA.A.B.B.C.C.D.D.2211mmm2211mmm2211mmm2211mm14.14.若若,那么那么的值是的值是()21tan22cos3cossin2sinA.A.B.B.C.3C.3 D.-3D.-35759二填空题：（每题二填空题：（每题 4 4 分，共分，共 1212 分）分）15.15.若若，则，则；。2cossin_cossin_cossin16.16._1)(cos2)sin()sin(217.17.。_180cos.3cos2cos1cosoooo1818已知已知（）则）则的值构成的集合是的值构成的集合是 cos)cos(sin)sin(kkyZky三三.解答题：解答题：19.19.化简下列各式：化简下列各式：(1)(1)oooo170cos1350cos100cos100sin212(2)(2)oooo45tan)30sin()240tan()210cos(9(3)(3)oooooooo89sin.3sin2sin1sin89tan.3tan2tan1tan22222020已知已知是方程是方程的两个实数根，求的两个实数根，求的值；并求的值；并求cos,sin0)13(22mxxm的值的值cos,sin2121是否存在是否存在，使等式使等式)2,2(),0()2cos(2)3sin(同时成立？若存在，求出相应的值，若不存在，说明理同时成立？若存在，求出相应的值，若不存在，说明理)cos(2)cos(3由。由。10四、两角和与差的三角函数及二倍角公式四、两角和与差的三角函数及二倍角公式基本公式基本公式 1.sin()cos();tan().2公式的变式公式的变式tantantan()(1tan tan)1tan tan)tan(tantan3常见的角的变换：常见的角的变换：2()()；()()22()()；222)4()4(xx24.二倍角公式二倍角公式sin2 ；cos2 ；tan2 .5公式的变用：公式的变用：1cos2 ；1cos2 ；2sin2cos例例 1 1求求2sin50+sin10(1+2sin50+sin10(1+tan10)tan10)的值的值.3o80sin22变式训练变式训练 1 1：(1)(1)已知已知(,)，sinsin=,则则 tan(tan()等于（等于（）253411A.A.B.7B.7 C.C.D.D.7 77171 (2)(2)sin163sin223+sin253sin313sin163sin223+sin253sin313等于等于 （）A.A.B.B.C.C.D.D.21212323例例 2.2.已知已知 (，)，(0(0，),),()，sin(sin()，求，求4434cos45343135sin(sin()的值的值变式训练变式训练 2 2：设：设 coscos（）=，sinsin（）=，且，且，0 02912322，2求求 coscos（+）.例例 3.3.若若 sinA=sinA=,sinB=,sinB=,且且 A,BA,B 均为钝角均为钝角,求求 A+BA+B 的值的值.551010例例 4 4化简化简 sinsin2 2sinsin2 2+cos+cos2 2coscos2 2-cos2cos2cos2cos2.2112变式训练变式训练 4 4：化简：（：化简：（1 1）sinsin+coscos;2 x46 x4(2(2）.4sin4tan21cos222例例 5.5.求值：求值：140cos40cos2)40cos21(40sin2变式训练变式训练 5 5：(cos(cossinsin)（）)12sin12(cos1212A A B B C C D D 23212123例例 6 6 已知已知 为锐角，且为锐角，且，求，求的值的值.21tan2cos2sinsincos2sin变式训练变式训练 6 6：化简：化简：)4(sin)4tan(21cos22213例例 7 7已知已知；xxxxfcossinsin3)(2(1)(1)求求的值；的值；(2)(2)设设，求，求 sinsin 的值的值)625(f2341)2(),0(f变式训练变式训练 7 7：已知：已知 sin(sin()，求，求 cos(cos()的值的值631232例例 8.8.化简：化简：ooooo40cos170sin)10tan31(50sin40cos 变式训练变式训练 8 8：已知：已知，若，若，则，则 可化简为可化简为 xxxf11)(),2()(cosf)cos(f例例 9.9.已知已知，求，求（22）0cos2cossinsin6222sin3的值的值14变式训练变式训练 9 9：在：在ABCABC 中，中，求，求A A 和和ABCABC 的面积的面积22cossinAA2AC3ABtan例例 10.10.已知已知 tan(tan()，-，且，且、（0 0，），求，求 22 的的21tan71值值.例例 1111已知已知310cottan,43（1 1）求）求 tantan 的值；的值；（2 2）求）求的值的值)2sin(282cos112cos2sin82sin5221516