资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，在正方形中，点为边的中点，点在上，，过点作交于点．下列结论：①；②；③；④．正确的是（ ）．
A．①② B．①③ C．①③④ D．③④
2．已知⊙O的半径为6cm，OP＝8cm，则点P和⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在圆内 B．点P在圆上 C．点P在圆外 D．无法判断
3．在一个不透明的盒子中装有a个除颜色外完全相同的球，这a个球中只有4个红球.若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子.通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，则a的值大约为( )
A．16 B．20 C．24 D．28
4．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC=160°，则∠ADC的度数是（ ）
A．80° B．160° C．100° D．40°
5．用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣10＝0时，下列变形正确的为( )
A．(x+3)2＝1 B．(x﹣3)2＝1
C．(x+3)2＝19 D．(x﹣3)2＝19
6．下图中几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
7．四张背面完全相同的卡片，正面分别画有平行四边形、菱形、等腰梯形、圆，现从中任意抽取一张，卡片上所画图形恰好是轴对称图形的概率为( )
A．1 B． C． D．
8．如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的一个交点为A(1，0)，对称轴是直线x＝－1，则ax2＋bx＋c＝0的解是( )
A．x1＝－3，x2＝1 B．x1＝3，x2＝1 C．x＝－3 D．x＝－2
9．下面四个图是同一天四个不同时刻树的影子，其时间由早到晚的顺序为( )
A．1234 B．4312 C．3421 D．4231
10．如图所示的几何体为圆台，其俯视图正确的是
A． B． C． D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．请写出一个符合以下两个条件的反比例函数的表达式：___________________．
①图象位于第二、四象限；
②如果过图象上任意一点A作AB⊥x轴于点B，作AC⊥y轴于点C，那么得到的矩形ABOC的面积小于1．
12．工厂质检人员为了检测其产品的质量，从同一批次共1000件产品中随机抽取50件进行检检测出次品1件，由此估计这一批产品中的次品件数是_____．
13．一元二次方程x2﹣4x+4=0的解是________．
14．抛物线y＝x2﹣4x+3与x轴交于A、B，与y轴交于C，则△ABC的面积＝__．
15．当a≤x≤a+1时，函数y=x2﹣2x+1的最小值为1，则a的值为_____．
16．一个多边形的内角和为900°，这个多边形的边数是____．
17．如图，小颖周末晚上陪父母在斜江绿道上散步，她由路灯下A处前进3米到达B处时，测得影子BC长的1米，已知小颖的身高1.5米，她若继续往前走3米到达D处，此时影子DE长为____米．
18．已知是，则的值等于____________．
三、解答题(共66分)
19．（10分）为了解某校九年级学生立定跳远水平，随机抽取该年级50名学生进行测试，并把测试成绩（单位：m）绘制成不完整的频数分布表和频数分布直方图．
学生立定跳远测试成绩的频数分布表
分组
频数
1.2≤x＜1.6
a
1.6≤x＜2.0
12
2.0≤x＜2.4
b
2.4≤x＜2.8
10
请根据图表中所提供的信息，完成下列问题：
（1）表中a= ，b= ，样本成绩的中位数落在 范围内；
（2）请把频数分布直方图补充完整；
（3）该校九年级共有1000名学生，估计该年级学生立定跳远成绩在2.4≤x＜2.8范围内的学生有多少人？
20．（6分）如图，正三角形ABC内接于⊙O，若AB＝4cm，求⊙O的直径及正三角形ABC的面积．
21．（6分）如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，弦DF与半径OB相交于点P，连接EF、EO，若DE＝2，∠DPA＝45°．
（1）求⊙O的半径；
（2）求图中阴影部分的面积．
22．（8分）如图，在10×10的网格中，有一格点△ABC(说明：顶点都在网格线交点处的三角形叫做格点三角形).
(1)将△ABC先向右平移5个单位，再向上平移2个单位，得到△A'B'C'，请直接画出平移后的△A'B'C'；
(2)将△A'B'C'绕点C'顺时针旋转90°，得到△A''B''C'，请直接画出旋转后的△A''B''C'；
(3)在(2)的旋转过程中，求点A'所经过的路线长(结果保留π).
23．（8分）如图，，平分，过点作交于，连接交于，若，，求，的长．
24．（8分）如图，点A、B、C、D是⊙O上的四个点，AD是⊙O的直径，过点C的切线与AB的延长线垂直于点E，连接AC、BD相交于点F．
（1）求证：AC平分∠BAD；
（2）若⊙O的半径为，AC＝6，求DF的长．
25．（10分）佩佩宾馆重新装修后,有间房可供游客居住，经市场调查发现，每间房每天的定价为元，房间会全部住满，当每间房每天的定价每增加元时,就会有一间房空闲，如果游客居住房间，宾馆需对每间房每天支出元的各项费用．设每间房每天的定价增加元，宾馆获利为元．
(1)求与的函数关系式(不用写出自变量的取值范围) ;
(2)物价部门规定，春节期间客房定价不能高于平时定价的倍,此时每间房价为多少元时宾馆可获利元?
26．（10分）如图1，在矩形中，为边上一点，．将沿翻折得到，的延长线交边于点，过点作交于点．
（1）求证：；
（2）如图2，连接分别交、于点、．若，探究与之间的数量关系．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、C
【分析】连接．根据“HL”可证≌，利用全等三角形的对应边相等，可得，据此判断①；根据“ ”可证≌，可得，从而可得，据此判断②；由（2）知，可证，据此判断③；根据两角分别相等的两个三角形相似，可证∽∽，可得， 从而可得，据此判断④.
【详解】解：（1）连接． 如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC=90°，
∵FG⊥FC，
∴∠GFC=90°，
在Rt△CFG与Rt△CDG中，
∴≌．
∴．．．①正确．
（2）由（1），垂直平分．∴∠EDC+∠2=90°，
∵∠1+∠EDC=90°，
∴．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC=AB，∠DAE=∠CDG=90°，
∴≌ ．
∴．
∵为边的中点，
∴为边的中点．
∴．∴②错误．
（3）由（2），得． ∴．③正确．
（4）由（3），可得∽∽． ∴
∴． ∴④正确．
故答案为：C.
本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
2、C
【分析】根据点与圆的位置关系即可求解．
【详解】∵⊙O的半径为6cm，OP＝8cm，
∴点P到圆心的距离OP＝8cm，大于半径6cm，
∴点P在圆外，
故选：C．
本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：①点P在圆外⇔d＞r；②点P在圆上⇔d=r；③点P在圆内⇔d＜r．
3、B
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．
【详解】根据题意知=20%，
解得a=20，
经检验：a=20是原分式方程的解，
故选B．
本题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．
4、C
【分析】根据圆周角定理以及圆内接四边形的性质即可解决问题；
【详解】解：∵∠AOC=2∠B，∠AOC=160°，
∴∠B=80°，
∵∠ADC+∠B=180°，
∴∠ADC=100°，
故选：C．
本题考查圆周角定理、圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
5、D
【分析】方程移项变形后，利用完全平方公式化简得到结果，即可做出判断．
【详解】方程移项得：，
配方得：，
即，
故选D．
6、D
【分析】根据左视图是从左面看到的图形，即可．
【详解】从左面看从左往右的正方形个数分别为1，2，
故选D．
本题主要考查几何体的三视图，理解左视图是从左面看到的图形，是解题的关键．
7、B
【解析】以上图形中轴对称图形有菱形、等腰梯形、圆，所以概率为3÷4=．故选B
8、A
【解析】已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的一个交点为A(1，0)，对称轴是直线x＝－1，由此可得抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-3,0），所以方程ax2＋bx＋c＝0的解是x1＝－3，x2＝1，故选A.
9、B
【解析】由于太阳早上从东方升起，则早上树的影子向西；傍晚太阳在西边落下，此时树的影子向东，于是可判断四个时刻的时间顺序．
【详解】解：时间由早到晚的顺序为1．
故选B．
本题考查了平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．
10、C
【解析】试题分析：俯视图是从物体上面看，所得到的图形．从几何体的上面看所得到的图形是两个同心圆.
故选C．
考点：简单几何体的三视图
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、，答案不唯一
【解析】设反比例函数解析式为y=，
根据题意得k<0，|k|<1，
当k取−5时,反比例函数解析式为y=−.
故答案为y=−.答案不唯一.
12、1
【分析】求出次品所占的百分比，即可求出1000件中次品的件数．
【详解】解：1000×＝1（件），
故答案为：1．
考查样本估计总体，求出样本中次品所占的百分比是解题的关键．
13、x1=x2=2
【分析】根据配方法即可解方程.
【详解】解：x2﹣4x+4=0
（x-2）2=0
∴x1=x2=2
本题考查了用配方法解一元二次方程,属于简单题,选择配方法是解题关键.
14、1
【分析】先根据题意求出AB的长。再得到C点坐标，故可求解．
【详解】解：y＝0时，0＝x2﹣4x+1，
解得x1＝1，x2＝1
∴线段AB的长为2，
∵与y轴交点C（0，1），
∴以AB为底的△ABC的高为1，
∴S△ABC＝×2×1＝1，
故答案为：1．
此题主要考查二次函数与几何综合，解题的关键是熟知函数与坐标轴交点的求解方法．
15、2或﹣2
【解析】利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y=2时x的值，结合当a≤x≤a+2时函数有最小值2，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】当y=2时，有x2﹣2x+2=2，
解得：x2=0，x2=2．
∵当a≤x≤a+2时，函数有最小值2，
∴a=2或a+2=0，
∴a=2或a=﹣2，
故答案为：2或﹣2．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的最值，利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y=2时x的值是解题的关键．
16、1
【分析】根据多边形内角和定理：（n﹣2）×180°，列方程解答出即可．
【详解】设这个多边形的边数为n，
根据多边形内角和定理得：（n﹣2）×180°＝900°，
解得n＝1．
故答案为：1
本题主要考查了多边形内角和定理的应用，熟记多边形内角和公式并准确计算是解题的关键．
17、2
【分析】根据题意可知，本题考查相似三角形性质，根据中心投影的特点和规律以及相似三角形性质，运用相似三角形对应边成比例进行求解．
【详解】解：根据题意可知
当小颖在BG处时，
∴，即
∴AP=6
当小颖在DH处时,
∴，即
∴
∴DE=2
故答案为：2
本题考查了中心投影的特点和规律以及相似三角形性质的运用，解题关键是运用相似三角形对应边相等．
18、
【分析】已知等式左边通分并利用同分母分式的减法法则计算，整理得到a-b与ab的关系，代入原式计算即可求出值．
【详解】解：∵，
∴
则，
故对答案为：．
此题考查了分式的加减法，以及分式的值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
三、解答题(共66分)
19、（1）8，20，2.0≤x＜2.4；（2）补图见解析；（3）该年级学生立定跳远成绩在2.4≤x＜2.8范围内的学生有200人．
【解析】（1）根据题意和统计图可以求得a、b的值，并得到样本成绩的中位数所在的取值范围；
（2）根据b的值可以将频数分布直方图补充完整；
（3）用1000乘以样本中该年级学生立定跳远成绩在2.4≤x＜2.8范围内的学生比例即可得.
【详解】（1）由统计图可得，
a=8，b=50﹣8﹣12﹣10=20，
样本成绩的中位数落在：2.0≤x＜2.4范围内，
故答案为：8，20，2.0≤x＜2.4；
（2）由（1）知，b=20，
补全的频数分布直方图如图所示；
（3）1000×=200（人），
答：该年级学生立定跳远成绩在2.4≤x＜2.8范围内的学生有200人．
【点睛】本题考查了频数分布表、频数分布直方图、中位数等，读懂统计图与统计表，从中找到必要的信息是解题的关键.
20、⊙O的直径为8cm，正三角形ABC的面积为12cm2
【分析】根据圆内接正三角形的性质即可求解．
【详解】解：如图所示：
连接CO并延长与AB交于点D，连接AO，
∵点O是正三角形ABC的外心，
∴CD⊥AB，∠OAD＝30°，
设OD＝x，则，
根据勾股定理，得
，解得x＝4，
则x＝2，
∴半径OA＝4cm，直径为8cm．
∴CD＝3x＝6，
∴.
答：⊙O的直径为8cm；正三角形ABC的面积为12cm2
本题考查了三角形的外接圆与外心、等边三角形的性质，解决本题的关键是掌握圆内接正三角形的性质．
21、（1）；（2）π﹣．
【分析】（1）根据垂径定理得CE的长，再根据已知DE平分AO得CO＝AO＝OE，根据勾股定理列方程求解．
（2）先求出扇形的圆心角，再根据扇形面积和三角形的面积公式计算即可．
【详解】解：（1）连接OF，
∵直径AB⊥DE，
∴CE＝DE＝1．
∵DE平分AO，
∴CO＝AO＝OE．
设CO＝x，则OE＝2x．
由勾股定理得：12+x2＝（2x）2．
x＝．
∴OE＝2x＝．
即⊙O的半径为．
（2）在Rt△DCP中，
∵∠DPC＝45°，
∴∠D＝90°﹣45°＝45°．
∴∠EOF＝2∠D＝90°．
∴S扇形OEF＝＝π．
∵∠EOF＝2∠D＝90°，OE＝OF＝
SRt△OEF＝＝．
∴S阴影＝S扇形OEF﹣SRt△OEF＝π﹣．
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了扇形的面积公式、圆周角定理和含30度的直角三角形三边的关系．
22、（1）见解析，（2）见解析，（3）π
【解析】（1）将三个顶点分别向右平移5个单位，再向上平移2个单位得到对应点，再首尾顺次连接即可得；
（2）作出点A′，B′绕点C顺时针旋转90°得到的对应点，再首尾顺次连接可得；
（3）根据弧长公式计算可得．
【详解】解：（1）如图所示，△A′B′C′即为所求．
（2）如图所示，△A″B″C′即为所求．
（3）∵A′C′＝＝，∠A′C′A″＝90°，
∴点A′所经过的路线长为＝π，
故答案为π．
本题主要考查作图﹣旋转变换和平移变换，解题的关键是熟练掌握旋转和平移变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点，也考查了弧长公式．
23、BD=，DN=
【分析】由平行线的性质可证∠MBD=∠BDC，即可证AM=MD=MB=4，由BD2=AD•CD可得BD长，再由勾股定理可求MC的长，通过证明△MNB∽△CND，可得，即可求DN的长．
【详解】解：∵BM∥CD
∴∠MBD=∠BDC
∴∠ADB=∠MBD，且∠ABD=90°
∴BM=MD，∠MAB=∠MBA
∴BM=MD=AM=4
∵平分，
∴∠ADB=∠CDB，
∵，
∴△ABD∽△BCD，
∴BD2=AD•CD，
∵ CD=6，AD=8，
∴BD2=48，
即BD=，
∴BC2=BD2-CD2=12
∴MC2=MB2+BC2=28
∴MC=，
∵BM∥CD
∴△MNB∽△CND，
∴，且BD=，
∴设DN=x，
则有，
解得x=，
即DN=.
本题考查了相似三角形的判定及其性质，掌握相关判定方法并灵活运用，是解题的关键．
24、（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）连接OC，先证明OC∥AE，从而得∠OCA＝∠EAC，再利用OA＝OC得∠OAC＝∠OCA，等量代换即可证得答案；
（2）设OC交BD于点G，连接DC，先证明△ACD∽△AEC，从而利用相似三角形的性质解得，再利用＝cos∠FDC，代入相关线段的长可求得DF．
【详解】（1）证明：如图，连接OC
∵过点C的切线与AB的延长线垂直于点E，
∴OC⊥CE，CE⊥AE
∴OC∥AE
∴∠OCA＝∠EAC
∵OA＝OC
∴∠OAC＝∠OCA
∴∠OAC＝∠EAC，即AC平分∠BAD；
（2）如图，设OC交BD于点G，连接DC
∵AD为直径
∴∠ACD＝90°，∠ABD＝90°
∵CE⊥AE
∴DB∥CE
∵OC⊥CE
∴OC⊥BD
∴DG＝BG
∵∠OAC＝∠EAC，∠ACD＝90°＝∠E
∴△ACD∽△AEC
∴
∵⊙O的半径为，AC＝6
∴AD＝7，
∴
∴
易得四边形BECG为矩形
∴DG＝BG＝
∵＝cos∠FDC
∴
解得：
∴DF的长为.
本题考查相似三角形的性质，借助辅助线，判定△ACD∽△AEC，再根据相似三角形的性质求解.
25、（1）；（2）每间房价为元时，宾馆可获利元
【分析】(1)根据题意表示出每间房间的利润和房间数，进而求得答案；
(2)代入(1)求出的函数式，解方程即可，注意要符合条件的.
【详解】解：由题意得
答: 与的函数关系式为：
由可得：
令，即
解得
解得
此时每间房价为: (元)
答:每间房价为元时，宾馆可获利元。
本题考查的是盈利问题的二次函数式及二次函数的最值问题，通常做法是先列出二次函数式，然后利用y最值或化成顶点式进行求解.用代数表示每间房间的利润和房间数是关键.
26、（1）详见解析；（2）．
【分析】（1）过点作于点，根据矩形的判定可得四边形和四边形是矩形，从而得出，，，然后证出，列出比例式，再利用等量代换即可得出结论；
（2）设，则，先证出，可得，然后证出，可得，即可求出EF和AC的关系，从而求出与之间的数量关系．
【详解】（1）证明：过点作于点，如图1所示：
则四边形和四边形是矩形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
即；
（2）解：∵，
∴设，则，
由（1）可知：，，
∵，
∴，
∴，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
根据翻折的性质可得
∵DC∥AB，∠APB=90°
∴＋∠BPM=90°，∠PAM＋∠PBM=90°
∴∠BPM=∠PBM
∴MP=MA，MP=MB
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
此题考查的是矩形的性质、相似三角形的判定及性质和折叠的性质，掌握矩形的性质、相似三角形的判定及性质和折叠的性质是解决此题的关键．
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