内蒙古海拉尔区2024-2025学年数学九上期末预测试题含解析.doc

2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题(每小题3分,共30分)
1．抛物线的对称轴是（ ）
A．直线 B．直线
C．直线 D．直线
2．一个不透明的袋中，装有2个黄球、3个红球和5个白球，它们除颜色外都相同．从袋中任意摸出一个球，是白球的概率是（　　）
A． B． C． D．
3．已知关于x的方程（m+4）x2+2x﹣3m＝0是一元二次方程，则m的取值范围是（　　）
A．m＜﹣4 B．m≠0 C．m≠﹣4 D．m＞﹣4
4．已知⊙O的半径是6，点O到直线l的距离为5，则直线l与⊙O的位置关系是
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法判断
5．将抛物线y=2x2向左平移1个单位,再向上平移3个单位得到的抛物线,其解析式是( )
A．y=2(x+1)2+3 B．y=2(x－1)2－3
C．y=2(x+1)2－3 D．y=2(x－1)2+3
6．已知反比例函数的表达式为，它的图象在各自象限内具有 y随x的增大而增大的特点，则k的取值范围是（ ）．
A．k>-2 B． C． D．
7．如图，△ABC中，∠A＝65°，AB＝6，AC＝3，将△ABC沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不构成相似的是（ ）

A． B．
C． D．
8．下列关系式中，属于二次函数的是（x是自变量）
A．y=x2 B．y= C．y= D．y=ax2+bx+c
9．下列约分正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在平面直角坐标系中，点P在函数y＝（x＞0）的图象上从左向右运动，PA∥y轴，交函数y＝﹣（x＞0）的图象于点A，AB∥x轴交PO的延长线于点B，则△PAB的面积（　　）

A．逐渐变大 B．逐渐变小 C．等于定值16 D．等于定值24
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图，若△ADE∽△ACB，且=，DE=10，则BC=________

12．已知m，n是一元二次方程的两根，则________.
13．如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A(﹣2，4)，B(1，1)，则不等式ax2＜bx+c的解集是______.

14．从﹣2，﹣1，1，2四个数中任取两数，分别记为a、b，则关于x的不等式组有解的概率是_____．
15．如图，在中，A，B，C是上三点，如果，那么的度数为________.

16．请写出一个符合以下两个条件的反比例函数的表达式：___________________．
①图象位于第二、四象限；
②如果过图象上任意一点A作AB⊥x轴于点B，作AC⊥y轴于点C，那么得到的矩形ABOC的面积小于1．
17．直角三角形的直角边和斜边分别是和，则此三角形的外接圆半径长为__________．
18．已知两个相似三角形的相似比为2︰5，其中较小的三角形面积是，那么另一个三角形的面积为 ．
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，是的直径，是上半圆的弦，过点作的切线交的延长线于点，过点作切线的垂线，垂足为，且与交于点，设，的度数分别是.

用含的代数式表示，并直接写出的取值范围；
连接与交于点，当点是的中点时，求的值.
20．（6分）先化简，再求值：，其中x是方程的根．
21．（6分）如图，已知反比例函数（k1＞0）与一次函数相交于A、B两点，AC⊥x轴于点C. 若△OAC的面积为1，且tan∠AOC＝2 .
（1）求出反比例函数与一次函数的解析式；
（2）请直接写出B点的坐标，并指出当x为何值时，反比例函数y1的值大于一次函数y2的值.

22．（8分）某商场今年2月份的营业额为万元，3月份的营业额比2月份增加，月份的营业额达到万元．求3月份到5月份营业额的平均月增长率．
23．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=10cm，P为BC的中点，动点Q从点P出发，沿射线PC方向以cm/s的速度运动，以P为圆心，PQ长为半径作圆．设点Q运动的时间为t秒．

（1）当t=2.5s时，判断直线AB与⊙P的位置关系，并说明理由．
（2）已知⊙O为Rt△ABC的外接圆，若⊙P与⊙O相切，求t的值．
24．（8分）为进一步深化基教育课程改革，构建符合素质教育要求的学校课程体系，某学校自主开发了A书法、B阅读，C足球，D器乐四门校本选修课程供学生选择，每门课程被选到的机会均等．
（1）学生小红计划选修两门课程，请写出所有可能的选法；
（2）若学生小明和小刚各计划送修一门课程，则他们两人恰好选修同一门课程的概率为多少？
25．（10分）如图，在中，点、、分别在边、、上，，，.

（1）当时，求的长；
（2）设，，那么__________，__________（用向量，表示）
26．（10分）甲口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有数字1和2；乙口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有数字3，4和1．利用画树状图或列表求下列事件的概率．
（1）从两个口袋中各随机取出1个小球，恰好两个都是奇数；
（2）若丙口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有数字6和7，从三个口袋中各随机取出一个小球，恰好三个都是奇数．
参考答案

一、选择题(每小题3分,共30分)
1、C
【解析】用对称轴公式即可得出答案．
【详解】抛物线的对称轴，
故选：C．
本题考查了抛物线的对称轴，熟记对称轴公式是解题的关键.
2、A
【分析】由题意可得，共有10种等可能的结果，其中从口袋中任意摸出一个球是白球的有5种情况，利用概率公式即可求得答案．
【详解】解：∵从装有2个黄球、3个红球和5个白球的袋中任意摸出一个球有10种等可能结果，
其中摸出的球是白球的结果有5种，
∴从袋中任意摸出一个球，是白球的概率是＝，
故选A．
此题考查了概率公式，明确概率的意义是解答问题的关键，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
3、C
【分析】根据一元二次方程的定义即可求出答案．
【详解】由题意可知：m+4≠0，
∴m≠﹣4，
故选：C．
本题考查一元二次方程，解题的关键是正确理解一元二次方程的定义，本题属于基础题型．
4、C
【解析】试题分析：根据直线与圆的位置关系来判定：①直线l和⊙O相交，则d＜r；②直线l和⊙O相切，则d=r；③直线l和⊙O相离，则d＞r（d为直线与圆的距离，r为圆的半径）．因此，
∵⊙O的半径为6，圆心O到直线l的距离为5，
∴6＞5，即：d＜r．
∴直线l与⊙O的位置关系是相交．故选C．
5、A
【分析】抛物线平移不改变a的值．
【详解】原抛物线的顶点为（0，0），向左平移1个单位，再向上平移1个单位，那么新抛物线的顶点为（-1，1）．可设新抛物线的解析式为y=2（x-h）2+k，代入得：y=2（x+1）2+1．
故选：A．
6、C
【分析】先根据反比例数的图象在每一象限内y随x的增大而增大得出关于k的不等式，求出k的取值范围即可．
【详解】解：∵反比例数的图象在每一象限内y随x的增大而增大，
∴＜0，解得k＜-1．
故选：C．
本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数（k≠0）中，当k＜0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大是解答此题的关键
7、C
【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．
【详解】A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意；
B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意；
C、两三角形的对应角不一定相等，故两三角形不相似，故本选项符合题意；
D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意．
故选：C．
本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
8、A
【详解】A. y=x2，是二次函数，正确；
B. y=，被开方数含自变量，不是二次函数，错误；
C. y=，分母中含自变量，不是二次函数，错误；
D. y=ax2+bx+c，a=0时，，不是二次函数，错误．
故选A．
考点：二次函数的定义.
9、D
【分析】根据约分的运算法则，以及分式的基本性质，分别进行判断，即可得到答案．
【详解】解：A、，故A错误；
B、，故B错误；
C、，故C错误；
D、，正确；
故选：D．
本题考查了分式的基本性质，以及约分的运算法则，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质进行解题．
10、C
【分析】根据反比例函数k的几何意义得出S△POC＝×2＝1，S矩形ACOD＝6，即可得出，从而得出，通过证得△POC∽△PBA，得出，即可得出S△PAB＝1S△POC＝1．
【详解】如图，

由题意可知S△POC＝×2＝1，S矩形ACOD＝6，
∵S△POC＝OC•PC，S矩形ACOD＝OC•AC，
∴，
∴，
∴，
∵AB∥轴，
∴△POC∽△PBA，
∴，
∴S△PAB＝1S△POC＝1，
∴△PAB的面积等于定值1．
故选：C．
本题考查了反比例函数的性质以及矩形的面积的计算，利用相似三角形面积比等于相似比的平方是解决本题的关键．

二、填空题(每小题3分,共24分)
11、15
【分析】根据相似三角形的性质，列出比例式即可解决问题.
【详解】解：∵△ADE∽△ACB，
∴，DE=10，
∴，
∴.
本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质．
12、-1
【分析】根据根与系数的关系求出m+n与mn的值，然后代入计算即可.
【详解】∵m，n是一元二次方程的两根，
∴m+n=2，mn=-3，
∴2-3=-1.
故答案为：-1.
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根与系数的关系，若x1，x2为方程的两个根，则x1，x2与系数的关系式：， .
13、﹣2＜x＜1
【分析】直接利用函数图象结合其交点坐标得出不等式ax2＜bx+c的解集即可；
【详解】解：如图所示：

∵抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A(﹣2，4)，B(1，1)，
∴不等式ax2＜bx+c的解集，即一次函数在二次函数图象上方时，得出x的取值范围为：﹣2＜x＜1.
故答案为：﹣2＜x＜1.
本题主要考查了二次函数与不等式（组），掌握二次函数的性质和不等式的解是解题的关键.
14、．
【分析】根据关于x的不等式组有解，得出b≤x≤a+1，根据题意列出树状图得出所有等情况数和关于x的不等式组有解的情况数，再根据概率公式即可得出答案．
【详解】解：∵关于x的不等式组有解，
∴b≤x≤a+1，
根据题意画图如下：

共有12种等情况数，其中关于x的不等式组有解的情况分别是，，，，，，，，共8种，
则有解的概率是；
故答案为：．
本题考查了不等式组的解和用列举法求概率，熟练掌握并灵活运用是解题的关键．
15、37°
【分析】根据圆周角定理直接得到∠ACB=35°．
【详解】解：根据圆周角定理有∠ACB= ∠AOB= ×74°=37°；
故答案为37°．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
16、，答案不唯一
【解析】设反比例函数解析式为y=，
根据题意得k<0，|k|<1，
当k取−5时,反比例函数解析式为y=−.
故答案为y=−.答案不唯一.
17、1
【分析】根据直角三角形外接圆的半径等于斜边的一半解答即可．
【详解】解：根据直角三角形的外接圆的半径是斜边的一半，
∵其斜边为16
∴其外接圆的半径是1；
故答案为：1．
此题要熟记直角三角形外接圆的半径公式：外接圆的半径等于斜边的一半．
18、25
【解析】试题解析：∵两个相似三角形的相似比为2:5，
∴面积的比是4:25，
∵小三角形的面积为4，
∴大三角形的面积为25.
故答案为25.
点睛：相似三角形的面积比等于相似比的平方.

三、解答题(共66分)
19、（1）β=90°－2α（0°＜α＜45°）；（2）α=β=30°
【分析】（1）首先证明 ，在 中，根据两锐角互余，可知 ；
（2）连接OF交AC于O′，连接CF，只要证明四边形AFCO是菱形，推出 是等边三角形即可解决问题．
【详解】解：（1）连接OC．
∵DE是⊙O的切线，
∴OC⊥DE，
∵AD⊥DE，
∴AD∥OC，
∴∠DAC=∠ACO，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
∴∠DAE=2α，
∵∠D=90°，
∴∠DAE+∠E=90°，
∴2α+β=90°
∴β=90°－2α（0°＜α＜45°）．
（2）连接OF交AC于O′，连接CF．
∵AO′=CO′，
∴AC⊥OF，
∴FA=FC，
∴∠FAC=∠FCA=∠CAO，
∴CF∥OA，
∵AF∥OC，
∴四边形AFCO是平行四边形，
∵OA=OC，
∴四边形AFCO是菱形，
∴AF=AO=OF，
∴△AOF是等边三角形，
∴∠FAO=2α=60°，
∴α=30°，
∵2α+β=90°，
∴β=30°，
∴α=β=30°．

本题考查了圆和三角形的问题，掌握圆的切线的性质以及等边三角形的性质和证明是解题的关键．
20、见解析
【解析】试题分析：
先将原式按分式的相关运算法则化简，再解方程求得x的值，最后将使原分式有意义的x的值代入化简后的式子计算即可.
试题解析：
原式．
解方程得．
当时，原式；
当时，原式无意义．
点睛：求分式的值时，字母的取值需确保原分式有意义，本题中，当时，原分式无意义，此时不能将代入化简所得的分式中进行计算.
21、（1）；；（2）B点的坐标为（－2，－1）；当0＜x＜1和x＜－2时，y1＞y2.
【分析】（1）根据tan∠AOC＝＝2，△OAC的面积为1，确定点A的坐标，把点A的坐标分别代入两个解析式即可求解；
（2）根据两个解析式求得交点B的坐标，观察图象，得到当x为何值时，反比例函数y1的值大于一次函数y2的值．
【详解】解：（1）在Rt△OAC中，设OC＝m．
∵tan∠AOC＝＝2，∴AC＝2×OC＝2m．
∵S△OAC＝×OC×AC＝×m×2m＝1，∴m2＝1．∴m＝1（负值舍去）．
∴A点的坐标为（1，2）．
把A点的坐标代入中，得k1＝2．
∴反比例函数的表达式为．
把A点的坐标代入中，得k2＋1＝2，∴k2＝1．
∴一次函数的表达式．
（2）B点的坐标为（－2，－1）．
当0＜x＜1和x＜－2时，y1＞y2．
本题考查反比例及一次函数的的应用；待定系数法求解析式；图象的交点等，掌握反比例及一次函数的性质是本题的解题关键．
22、
【解析】主要考查增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），设3月份到5月份营业额的平均增长率是x，则四月份的营业额是400（1+10%）（1+x），5月份的营业额是400（1+10%）（1+x）2，据此即可列方程求解．要注意根据实际意义进行值的取舍．
【详解】设月份至月份的营业额的平均月增长率为．
依题意，得: ．
整理得: ．
解得: （不合题意，舍去）．
答：月份至月份的营业额的平均月增长率为．
可根据题意列出方程，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．
23、（1）相切，证明见解析；（2）t为s或s
【分析】（1）直线AB与⊙P关系，要考虑圆心到直线AB的距离与⊙P的半径的大小关系，作PH⊥AB于H点，PH为圆心P到AB的距离，在Rt△PHB中，由勾股定理PH，当t=2.5s时，求出PQ的长，比较PH、PQ 大小即可，
（2）OP为两圆的连心线，圆P与圆O内切rO-rP=OP, 圆O与圆P内切，rP-rO=OP即可．
【详解】（1）直线AB与⊙P相切．理由：作PH⊥AB于H点，
∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=10，
∴AB=2AC=20，BC=，
∵P为BC的中点
∴BP=
∴PH=BP=，
当t=2.5s时，PQ= ，
∴PH=PQ= ∴直线AB与⊙P相切 ，
（2）连结OP，
∵O为AB的中点，P为BC的中点，
∴OP=AC=5，
∵⊙O为Rt△ABC的外接圆，
∴AB为⊙O的直径，
∴⊙O的半径OB=10 ，
∵⊙P与⊙O相切 ，
∴ PQ-OB=OP或OB-PQ=OP 即t-10=5或10-t =5，
∴ t=或t= ，
故当t为s或s时，⊙P与⊙O相切．

本题考查直线与圆的位置关系，圆与圆相切时求运动时间t问题，关键点到直线的距离与半径是否相等，会求点到直线的距离，会用t表示半径与点到直线的距离，抓住两圆相切分清情况，由圆心在圆O内，没有外切，只有内切，要会分类讨论，掌握圆P与圆O内切rO-rP=OP, 圆O与圆P内切，rP-rO=OP．
24、（1）答案见解析；（2）
【解析】分析：（1）直接列举出所有可能的结果即可.
（2）画树状图展示所有16种等可能的结果数，再找出他们两人恰好选修同一门课程的结果数，然后根据概率公式求解．
详解：（1）学生小红计划选修两门课程，她所有可能的选法有：A书法、B阅读；A书法、C足球；A书法、D器乐；B阅读，C足球；B阅读，D器乐；C足球，D器乐.
共有6种等可能的结果数；
（2）画树状图为：

共有16种等可能的结果数，其中他们两人恰好选修同一门课程的结果数为4，
所以他们两人恰好选修同一门课程的概率
点睛：本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
25、（1）；（2），
【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理求解即可．
（2）利用三角形法则求解即可．
【详解】（1）∵DE∥BC，EF∥AB，
∴四边形DEFB是平行四边形，
∴DE=BF=5，
∵AD：AB=DE：BC=1：3，
∴BC=15，
∴CF=BC-BF=15-5=1．
（2）∵AD：AB=1：3，
∴ ，
∵EF=BD，EF∥BD，
∴ ，
∵CF=2DE，
∴ ，
∴ .
此题考查平面向量，平行向量等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
26、（1）图表见解析，；（2）图表见解析，
【分析】（1）通过列表可得出所有等可能的结果数与取出的两个都是奇数的结果数，再利用概率公式求解即可；
（2）通过画树状图可得出所有等可能的结果数与取出的三个都是奇数的结果数，再利用概率公式求解即可．
【详解】解：（1）根据题意列表如下：
乙
甲
1
2
3
（1，3）
（2，3）
4
（1，4）
（2，4）
1
（1，1）
（2，1）
由表格可得所有等可能的结果有6种，其中两个都是奇数的可能有两种，
∴P（两个奇数）=；
（2）根据题意画树状图如下：

由树状图可得所有等可能的结果有12种，其中三个都是奇数的可能有两种，
∴P（两个奇数）=．
本题考查的知识点是利用画树状图或列表求事件的概率，比较简单，易于掌握．