资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．已知关于x的分式方程=1的解是非负数，则m的取值范围是（ ）
A．m1 B．m1
C．m-1且m≠0 D．m-1
2．已知点P的坐标为（3，-5），则点P关于原点的对称点的坐标可表示为（ ）
A．（3, 5） B．（-3，5） C．（3, -5） D．（-3，-5）
3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=5，AC=4，则cosB的值( )
A． B． C． D．
4．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
5．下列语句中，正确的是（ ）
①相等的圆周角所对的弧相等；②同弧或等弧所对的圆周角相等；③平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；④圆内接平行四边形一定是矩形．
A．①② B．②③ C．②④ D．④
6．如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A'B'C'，以下说法中错误的是( )
A．△ABC∽△A'B'C' B．点C、点O、点C'三点在同一直线上 C．AO：AA'=1∶2 D．AB∥A'B'
7．如图，平面直角坐标系中，⊙P经过三点A（8，0），O（0，0），B（0，6），点D是⊙P上的一动点．当点D到弦OB的距离最大时，tan∠BOD的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠AOB＝110°，则∠ACB的度数为（ ）
A．35° B．55° C．60° D．70°
9．如图，A、B、C、D四个点均在O上，∠AOD=40°，弦DC的长等于半径，则∠B的度数为（ ）
A．40° B．45° C．50° D．55°
10．在平面直角坐标系中，把点绕原点顺时针旋转，所得到的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，在平直角坐标系中，过轴正半轴上任意一点作轴的平行线，分别交函数、的图象于点、点.若是轴上任意一点，则的面积为( )
A．9 B．6 C． D．3
12．如图，四边形内接于，若，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．一个小球在如图所示的方格地板上自由滚动，并随机停留在某块地板上，每块地板大小、质地完全相同，那么该小球停留在黑色区域的概率是______．
14．一个长方体木箱沿坡度坡面下滑，当木箱滑至如图位置时，AB=3m，已知木箱高BE=m，则木箱端点E距地面AC的高度EF为_____m.
15．如图，AB是⊙O的直径，点C在AB 的延长线上， CD与⊙O相切于点D，若∠CDA=122°，则∠C=_______．
16．近日，某市推出名师公益大课堂.据统计，第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2.42万人次.如果第二批，第三批公益课受益学生人次的增长率相同，则这个增长率是______.
17．一只小狗自由自在地在如图所示的某个正方形场地跑动，然后随意停在图中阴影部分的概率是__．
18．在一个不透明的袋中装有黑色和红色两种颜色的球共个，每个球触颜色外都相同，每次摇匀后随即摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球实验后，发现摸到黑球的频率稳定于，则可估计这个袋中红球的个数约为__________．
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC顶点的坐标分别为A（﹣3，3），B（﹣5，2），C（﹣1，1）．
（1）以点C为位似中心，作出△ABC的位似图形△A1B1C，使其位似比为1：2，且A₁B₁C位于点C的异侧，并表示出点A1的坐标．
（2）作出△ABC绕点C顺时针旋转90°后的图形△A2B2C．
（3）在（2）的条件下求出点B经过的路径长（结果保留π）．
20．（8分）如图，正方形ABCD 中，E，F分别是AB，BC边上的点，AF与DE相交于点G，且AF＝DE.
求证：(1)BF＝AE；
(2)AF⊥DE.
21．（8分）已知AB∥CD，AD、BC交于点O．AO＝2，DO＝3，CD＝5，求AB的长．
22．（10分）在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点．以点为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点的对应点分别为，记旋转角为．
(1)如图①，当时，求点的坐标；
(2)如图②，当点落在的延长线上时，求点的坐标；
(3)当点落在线段上时，求点的坐标（直接写出结果即可）．
23．（10分）某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每每次下降的百分率相同．
(1)求每次下降的百分率；
(2)若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？
24．（10分）已知二次函数y＝2x2+4x+3，当﹣2≤x≤﹣1时，求函数y的最小值和最大值，如图是小明同学的解答过程．你认为他做得正确吗？如果正确，请说明解答依据，如果不正确，请写出你得解答过程．
25．（12分）已知抛物线的顶点在第一象限，过点作轴于点，是线段上一点（不与点、重合），过点作轴于点，并交抛物线于点．
（1）求抛物线顶点的纵坐标随横坐标变化的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围；
（2）若直线交轴的正半轴于点，且，求的面积的取值范围．
26．某市计划建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为米3，某运输公司承办了这项工程运送土石方的任务．
（1）完成运送任务所需的时间（单位：天）与运输公司平均每天的工作量（单位：米3/天）之间具有怎样的函数关系？
（2）已知这个运输公司现有50辆卡车，每天最多可运送土石方米3，则该公司完成全部运输任务最快需要多长时间？
（3）运输公司连续工作30天后，天气预报说两周后会有大暴雨，公司决定10日内把剩余的土石方运完，平均每天至少增加多少辆卡车？
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、C
【解析】分式方程去分母得：m=x-1，解得x=m+1，由方程的解为非负数，得到m+1≥0，且m+1≠1，解得：m-1且m≠0，故选C．
2、B
【分析】由题意根据关于原点对称点的坐标特征即点的横纵坐标都互为相反数即可得出答案．
【详解】解：点P的坐标为（3，-5）关于原点中心对称的点的坐标是（-3，5），
故选：B．
本题考查点关于原点对称的点，掌握关于原点对称点的坐标特征即横纵坐标都互为相反数是解题的关键．
3、B
【分析】先由勾股定理求得BC的长，再由锐角三角函数的定义求出cosB即可；
【详解】由题意得BC=
则cosB=；
故答案为：B.
本题主要考查了勾股定理，锐角三角函数的定义，掌握勾股定理，锐角三角函数的定义是解题的关键.
4、B
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（-x，-y），可以直接写出答案．
【详解】点P(-3，4)关于原点对称的点的坐标是(3，-4) ．
故选：B．
本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握两个点关于原点对称时坐标变化特点：横纵坐标均互为相反数．
5、C
【分析】根据圆周角定理、垂径定理、圆内接四边形的性质定理判断．
【详解】①在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，本说法错误；
②同弧或等弧所对的圆周角相等，本说法正确；
③平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，本说法错误；
④圆内接平行四边形一定是矩形，本说法正确；
故选：C．
本题考查的是命题的真假判断，掌握圆周角定理、垂径定理、圆内接四边形的性质定理是解题的关键．
6、C
【分析】直接利用位似图形的性质进而分别分析得出答案．
【详解】解：∵以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A'B'C'，
∴ △ABC∽△A'B'C' ，点O、C、C'共线，AO：OA'=BO：OB '=1:2，
∴AB∥A'B'，AO：OA'=1:1．
∴A、B、D正确，C错误．
故答案为：C．
本题主要考查了位似变换，正确把握位似图形的性质是解题的关键．
7、B
【解析】如图，连接AB，过点P作PE⊥BO，并延长EP交⊙P于点D，求出⊙P的半径，进而结合勾股定理得出答案．
【详解】解：如图，连接AB，过点P作PE⊥BO，并延长EP交⊙P于点D，
此时点D到弦OB的距离最大，
∵A（8，0），B（0，6），
∴AO=8，BO=6，
∵∠BOA=90°，
∴AB==10，则⊙P的半径为5，
∵PE⊥BO，
∴BE=EO=3，
∴PE==4，
∴ED=9，
∴tan∠BOD==3，
故选B．
本题考查了圆周角定理以及勾股定理、解直角三角形等知识，正确作出辅助线是解题关键．
8、B
【分析】直接根据圆周角定理进行解答即可．
【详解】解：∵∠AOB与∠ACB是同弧所对的圆心角与圆周角，∠AOB=110°，
∴∠ACB=∠AOB=55°．
故选：B．
本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
9、C
【分析】如图（见解析），先根据等边三角形的判定与性质可得，从而可得，再根据圆周角定理即可得．
【详解】如图，连接OC，
由圆的半径得：，
弦DC的长等于半径，
，
是等边三角形，
，
，
，
由圆周角定理得：，
故选：C．
本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握圆周角定理是解题关键．
10、C
【分析】根据题意得点P点P′关于原点的对称，然后根据关于原点对称的点的坐标特点即可得解.
【详解】∵P点坐标为（3，-2），
∴P点的原点对称点P′的坐标为（-3，2）．
故选C．
本题主要考查坐标与图形变化-旋转，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.
11、C
【分析】连接OA、OB，利用k的几何意义即得答案.
【详解】解：连接OA、OB，如图，因为AB⊥x轴，则AB∥y轴，，， ，所以.
故选C.
本题考查了反比例函数系数k的几何意义，属于常考题型，熟知k的几何意义是关键.
12、C
【分析】根据圆内接四边形对角互补可得∠C＝180°×＝105°．
【详解】∵∠A＋∠C＝180°，∠A：∠C＝5：7，
∴∠C＝180°×＝105°．
故选：C．
此题主要考查了圆内接四边形，关键是掌握圆内接四边形对角互补．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、
【分析】先求出黑色方砖在整个地板中所占的比值，再根据其比值即可得出结论．
【详解】由图可知，黑色方砖6块，共有16块方砖，
∴黑色方砖在整个地板中所占的比值，
∴小球最终停留在黑色区域的概率是，
故答案为：．
本题考查了几何概率，用到的知识点为：几何概率=相应的面积与总面积之比．
14、1
【分析】连接AE，在Rt△ABE中求出AE，根据∠EAB的正切值求出∠EAB的度数，继而得到∠EAF的度数，在Rt△EAF中，解出EF即可得出答案．
【详解】解：连接AE，
在Rt△ABE中，AB=1m，BE=m，
则AE==2m，
又∵tan∠EAB==，
∴∠EAB=10°，
在Rt△AEF中，∠EAF=∠EAB+∠BAC=60°，
∴EF=AE×sin∠EAF=2×=1m，
答：木箱端点E距地面AC的高度为1m．
故答案为：1．
本题考查了坡度、坡角的知识，解答本题的关键是构造直角三角形，熟练运用三角函数求线段的长度．
15、26°
【分析】连接OD，如图，根据切线的性质得∠ODC=90°，即可求得∠ODA=32°，再利用等腰三角形的性质得∠A=32°，然后根据三角形内角和定理计算即可．
【详解】连接OD，如图，
∵CD与⊙O相切于点D，
∴OD⊥CD，
∴∠ODC=90°，
∴∠ODA=∠CDA-90°=122°-90°=32°，
∵OA=OD，
∴∠A=∠ODA=32°，
∴∠C=180°-∠ADC+∠A=180°-122°-32°=26°．
故答案为：．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．
16、
【分析】设增长率为x，根据“第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2.42万人次”可列方程求解.
【详解】设增长率为x，根据题意，得
2(1+x)2=2.42，
解得x1=-2.1（舍去），x2=0.1=10%．
∴增长率为10%．
故答案为：10%．
本题考查了一元二次方程的应用-增长率问题，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
17、.
【分析】根据概率公式求概率即可.
【详解】图上共有16个方格，黑色方格为7个，
小狗最终停在黑色方格上的概率是．
故答案为：．
此题考查的是求概率问题，掌握概率公式是解决此题的关键.
18、
【分析】根据频率的定义先求出黑球的个数，即可知红球个数.
【详解】解：黑球个数为：，红球个数：.
故答案为6
本题考查了频数和频率，频率是频数与总数之比，掌握频数频率的定义是解题的关键.
三、解答题（共78分）
19、（1）见解析，A1(3，﹣3)；（2）见解析；（3）
【分析】（1）延长BC到B1，使B1C=2BC，延长AC到A1，使A1C=2AC，再顺次连接即可得△A1B1C，再写出A1坐标即可；
（2）分别作出A，B绕C点顺时针旋转90°后的对应点A2，B2，再顺次连接即可得△A2B2C．
（3）点B的运动路径为以C为圆心，圆心角为90°的弧长，利用弧长公式即可求解．
【详解】解：（1）如图，△A1B1C为所作，点A1的坐标为（3，﹣3）；
（2）如图，△A2B2C为所作；
（3）CB=，
所以点B经过的路径长=π．
本题考查网格作图与弧长计算，熟练掌握位似与旋转作图，以及弧长公式是解题的关键．
20、 (1)见解析;(2)见解析.
【解析】（1）根据正方形的性质得到AD=AB，∠DAE=∠ABE=90°，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到∠ADE=∠BAF，根据余角的性质即可得到结论．
【详解】证明：（1）四边形是正方形，
∴AD=AB，∠DAE=∠ABE=90°，
在Rt△DAE与Rt△ABF中， ，
∴Rt△DAE≌Rt△ABF（HL），
∴BF=AE；
（2）∵Rt△DAE≌Rt△ABF，
∴∠ADE=∠BAF，
∵∠ADE=∠AED=90°，
∴∠BAF=∠AEG=90°，
∴∠AGE=90°，
∴AF⊥DE．
本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
21、．
【分析】根据已知条件证明△AOB∽△DOC，再根据相似三角形的对应边成比例的性质列出等式，从而求得AB的长．
【详解】∵AB∥CD，
∴∠A＝∠D，∠B＝∠C，
∴△AOB∽△DOC，
∴，
即，
∴AB＝．
本题主要考查了相似三角形的判定及性质，掌握有两角对应相等的两个三角形相似及相似三角形的三边对应成比例是关键．
22、（1）点的坐标为；（2）点的坐标为；（3）点的坐标为．
【分析】(1) 过点作轴于根据已知条件可得出AD=6，再直角三角形ADG中可求出DG，AG的长，即可确定点D的坐标.
(2) 过点作轴于于可得出，根据勾股定理得出AE的长为10，再利用面积公式求出DH，从而求出OG,DG的长，得出答案
(3) 连接，作轴于G，由旋转性质得到，从而可证，继而可得出结论.
【详解】解：(1)过点作轴于，如图①所示：
点，点．
，
以点为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，
，
在中，，
，
点的坐标为；
(2)过点作轴于于，如图②所示：
则，
，
，
，
，
，，
点的坐标为；
(3)连接，作轴于G，如图③所示：
由旋转的性质得：，
，
，
，
，
，
在和中，，
，
，
，
点的坐标为．
本题考查的知识点是坐标系内矩形的旋转问题，用到的知识点有勾股定理，全等三角形的判定与性质等，做此类题目时往往需要利用数形结合的方法来求解，根据每一个问题做出不同的辅助线是解题的关键.
23、（1）每次下降的百分率为20%；（2）该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价5元．
【分析】(1)设每次降价的百分率为a，(1﹣a)2为两次降价的百分率，50降至32就是方程的平衡条件，列出方程求解即可；
(2)根据题意列出一元二次方程，然后求出其解，最后根据题意确定其值．
【详解】解：(1)设每次下降的百分率为a，根据题意，得：
50(1﹣a)2＝32，
解得：a＝1.8(舍)或a＝0.2，
答：每次下降的百分率为20%；
(2)设每千克应涨价x元，由题意，得
(10+x)(500﹣20x)＝6000，
整理，得 x2﹣15x+50＝0，
解得：x1＝5，x2＝10，
因为要尽快减少库存，所以x＝5符合题意．
答：该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价5元．
本题主要考查了一元二次方程应用，关键是根据题意找准等量关系列出方程是解答本题的关键．
24、错误，见解析
【分析】根据二次函数的性质和小明的做法，可以判断小明的做法是否正确，然后根据二次函数的性质即可解答本题．
【详解】解：小明的做法是错误的，
正确的做法如下：
∵二次函数y＝2x2+4x+1＝2（x+1）2+1，
∴该函数图象开口向上，该函数的对称轴是直线x＝﹣1，当x＝﹣1时取得最小值，最小值是1，
∵﹣2≤x≤﹣1，
∴当x＝﹣2时取得最大值，此时y＝1，
当x＝﹣1时取得最小值，最小值是y＝1，
由上可得，当﹣2≤x≤﹣1时，函数y的最小值是1，最大值是1．
本题考查二次函数的性质,关键在于熟记性质.
25、（1）函数解析式为y=x+4（x＞0）；（2）0≤S≤．
【分析】（1）抛物线解析式为y=-x2+2mx-m2+m+4，设顶点的坐标为（x，y），利用抛物线顶点坐标公式得到x=m，y=m-4，然后消去m得到y与x的关系式即可．
（2）如图，根据已知得出OE=4-2m，E（0，2m-4），设直线AE的解析式为y=kx+2m-4，代入A的坐标根据待定系数法求得解析式，然后联立方程求得交点P的坐标，根据三角形面积公式表示出S=（4-2m）（m-2）=-m2+3m-2=-（m-）2+，即可得出S的取值范围．
【详解】（1）由抛物线y=-x2+2mx-m2+m+4可知，a=-1，b=2m，c=-m2+m+4，
设顶点的坐标为（x，y），
∴x=-=m，
∵b=2m，
y==m+4=x+4，
即顶点的纵坐标随横坐标变化的函数解析式为y=x+4（x＞0）；
（2）如图，由抛物线y=-x2+2mx-m2+m+4可知顶点A（m，m+4），
∵轴
∴轴
∴△ACP∽△ABE，
∴
∵
∴，
∵AB=m，
∴BE=2m，
∵OB=4+m，
∴OE=4+m-2m=4-m，
∴E（0，4-m），
设直线AE的解析式为y=kx+4-m，
代入A的坐标得，m+4=km+4-m，解得k=2，
∴直线AE的解析式为y=2x+4-m，
解
得 ，，
∴P（m-2，m），
∴S=（4-m）（m-2）=-m2+3m-2=-（m-3）2+，
∴S有最大值 ，
∴△OEP的面积S的取值范围：0≤S≤．
本题考查了二次函数的应用，解题的关键是正确的用字母表示出点的坐标，并利用题目的已知条件得到有关的方程或不等式，从而求得未知数的值或取值范围．
26、（1）；（2）该公司完成全部运输任务最快需要50天；（3）每天至少增加50辆卡车．
【分析】（1）根据“平均每天的工作量×工作时间=工作总量”即可得出结论；
（2）根据“工作总量÷平均每天的工作量=工作时间” 即可得出结论；
（3）先求出30天后剩余的工作量，然后利用剩余10天每天的工作量÷每辆汽车每天的工作量即可求出需要多少辆汽车，从而求出结论．
【详解】解：（1）由题意得：，
变形，得；
（2）当时，，
答：该公司完成全部运输任务最快需要50天．
（3）
辆，
辆
答：每天至少增加50辆卡车．
此题考查的是反比例函数的应用，掌握实际问题中的等量关系是解决此题的关键．
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