资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题（每题4分，共48分）
1．方程的解是（ ）
A．x=0 B．x=1 C．x=0或x=1 D．x=0或x=-1
2．已知二次函数y＝﹣x2﹣bx+1(﹣5＜b＜2)，则函数图象随着b的逐渐增大而( )
A．先往右上方移动，再往右平移
B．先往左下方移动，再往左平移
C．先往右上方移动，再往右下方移动
D．先往左下方移动，再往左上方移动
3．如图，已知在△ABC中，DE∥BC，，DE＝2，则BC的长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．关于2,6,1,10,6这组数据，下列说法正确的是（ ）
A．这组数据的平均数是6 B．这组数据的中位数是1
C．这组数据的众数是6 D．这组数据的方差是10.2
5．已知一次函数与反比例函数的图象有2个公共点，则的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．
6．下列成语所描述的是随机事件的是（ ）
A．竹篮打水 B．瓜熟蒂落 C．海枯石烂 D．不期而遇
7．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：
①b2﹣4ac＜0；
②方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3；
③2a+b＝0；
④当y＞0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3；
⑤当x＞0时，y随x增大而减小．
其中结论正确的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
8．已知二次函数的图象如图所示，对于下列结论：①；②；③；④；⑤方程的根是，，其中正确结论的个数是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
9．不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
10．函数的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
11．下列计算，正确的是（ ）
A．a2·a3=a6 B．3a2-a2=2 C．a8÷a2=a4 D．(a2)3=a6
12．某经济技术开发区今年一月份工业产值达50亿元，且第一季度的产值为175亿元．若设平均每月的增长率为x，根据题意可列方程为( )
A．50(1＋x)2＝175 B．50＋50(1＋x)2＝175
C．50(1＋x)＋50(1＋x)2＝175 D．50＋50(1＋x)＋50(1＋x)2＝175
二、填空题（每题4分，共24分）
13．半径为10cm的半圆围成一个圆锥，则这个圆锥的高是__cm．
14．如图，点A，B，C都在⊙O上∠AOC＝130°，∠ACB＝40°，∠AOB＝_____，弧BC＝_____．
15．如图，△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合，如果AP=3，那么PP′=______．
16．如图，将的斜边AB绕点A顺时针旋转得到AE，直角边AC绕点A逆时针旋转得到AF，连结EF．若，，且，则_____．
17．如图，在中，，，，点为边上一点，，将绕点旋转得到（点、、分别与点、、对应），使，边与边交于点，那么的长等于__________.
18．如图，一次函数y1＝ax+b和反比例函数y2＝的图象相交于A，B两点，则使y1＞y2成立的x取值范围是_____．
三、解答题（共78分）
19．（8分）某市2012年国民经济和社会发展统计公报显示，2012年该市新开工的住房有商品房、廉租房、经济适用房和公共租赁房四种类型．老王对这四种新开工的住房套数和比例进行了统计，并将统计结果绘制成下面两幅统计图，请你结合图中所给信息解答下列问题：
（1）求经济适用房的套数，并补全图1；
（2）假如申请购买经济适用房的对象中共有950人符合购买条件，老王是其中之一．由于购买人数超过房子套数，购买者必须通过电脑摇号产生．如果对2012年新开工的经济适用房进行电脑摇号，那么老王被摇中的概率是多少？
（3）如果计划2014年新开工廉租房建设的套数要达到720套，那么2013～2014这两年新开工廉租房的套数的年平均增长率是多少？
20．（8分）计算
（1）
（2）
（3）
（4）
21．（8分）九年级1班将竞选出正、副班长各1名，现有甲、乙两位男生和丙、丁两位女生参加竞选．
（1）男生当选班长的概率是 ；
（2）请用列表或画树状图的方法求出两位女生同时当选正、副班长的概率．
22．（10分）已知有一个二次函数由的图像与x轴的交点为（-2，0），（4，0），形状与二次函数相同，且的图像顶点在函数的图像上（a，b为常数），则请用含有a的代数式表示b.
23．（10分）如图，已知抛物线 y＝x2+2x 的顶点为 A，直线 y＝x+2 与抛物线交于 B，C 两点．
（1）求 A，B，C 三点的坐标；
（2）作 CD⊥x 轴于点 D，求证：△ODC∽△ABC；
（3）若点 P 为抛物线上的一个动点，过点 P 作 PM⊥x 轴于点 M，则是否还存在除 C 点外的其他位置的点，使以 O，P，M 为顶点的三角形与△ABC 相似？ 若存在，请求出这样的 P 点坐标；若不存在，请说明理由．
24．（10分）如图所示，学校准备在教学楼后面搭建一简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用的墙长为），另外三边利用学校现有总长的铁栏围成，留出2米长门供学生进出.若围成的面积为，试求出自行车车棚的长和宽.
25．（12分）（1）用配方法解方程：；
（2）用公式法解方程：.
26．如图，聪聪想在自己家的窗口A处测量对面建筑物CD的高度，他首先量出窗口A到地面的距离（AB）为16m，又测得从A处看建筑物底部C的俯角α为30°，看建筑物顶部D的仰角β为53°，且AB，CD都与地面垂直，点A，B，C，D在同一平面内．
（1）求AB与CD之间的距离（结果保留根号）．
（2）求建筑物CD的高度（结果精确到1m）．（参考数据：，，，）
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、C
【分析】根据因式分解法，可得答案．
【详解】解：，
方程整理，得，x2-x=0
因式分解得，x（x-1）=0，
于是，得，x=0或x-1=0，
解得x1=0，x2=1，
故选：C．
本题考查了解一元二次方程，因式分解法是解题关键．
2、D
【分析】先分别求出当b＝﹣5、0、2时函数图象的顶点坐标即可得结论．
【详解】解：二次函数y＝﹣x2﹣bx+1(﹣5＜b＜2)，
当b＝﹣5时，y＝﹣x2+5x+1＝﹣(x﹣)2+，顶点坐标为(，)；
当b＝0时，y＝﹣x2+1，顶点坐标为(0，1)；
当b＝2时，y＝﹣x2﹣2x+1＝﹣(x+1)2+2，顶点坐标为(﹣1，2)．
故函数图象随着b的逐渐增大而先往左下方移动，再往左上方移动．
故选：D．
本题主要考查了二次函数图象，掌握二次函数的性质是解决本题的关键.
3、D
【分析】由DE∥BC可证△ADE∽△ABC,得到，即可求BC的长．
【详解】∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∵,DE=2，
∴BC＝1．
故选D．
本题主要考查了相似三角形的判定与性质,解决本题的关键是要熟练掌握相似三角形的判定和性质.
4、C
【分析】先把数据从小到大排列，然后根据算术平均数，中位数，众数的定义得出这组数据的平均数、中位数、众数，再利用求方差的计算公式求出这组数据的方差，再逐项判定即可．
【详解】解：数据从小到大排列为：1，2，6，6，10，
中位数为：6；
众数为：6；
平均数为：；
方差为：．
故选：C．
本题考查的知识点是平均数，中位数，众数，方差的概念定义，熟记定义以及方差公式是解此题的关键．
5、C
【分析】将两个解析式联立整理成关于x的一元二次方程，根据判别式与根的关系进行解题即可.
【详解】将代入到中，得，
整理得
∵一次函数与反比例函数的图象有2个公共点
∴方程有两个不相等的实数根
所以
解得或
故选C.
本题考查的是一次函数与反比例函数图像交点问题，能用函数的思想思考问题是解题的关键.
6、D
【分析】根据事件发生的可能性大小判断．
【详解】解：A、竹篮打水，是不可能事件；
B、瓜熟蒂落，是必然事件；
C、海枯石烂，是不可能事件；
D、不期而遇，是随机事件；
故选：D．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
7、B
【分析】利用抛物线与x轴的交点个数可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），则可对②进行判断；由对称轴方程得到b＝﹣2a，则可对③进行判断；根据抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围可对④进行判断；根据二次函数的性质对⑤进行判断．
【详解】函数图象与x轴有2个交点，则b2﹣4ac＞0，故①错误；
函数的对称轴是x＝1，则与x轴的另一个交点是（3，0），
则方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3，故②正确；
函数的对称轴是x＝﹣＝1，则2a+b＝0成立，故③正确；
函数与x轴的交点是（﹣1，0）和（3，0）则当y＞0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3，故④正确；
当x＞1时，y随x的增大而减小，则⑤错误．
故选：B．
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
8、B
【分析】根据抛物线与轴的交点个数可对①进行判断；利用时函数值为负数可对②进行判断；由抛物线开口方向得，由抛物线的对称轴方程得到，由抛物线与轴交点位置得，于是可对③进行判断；由于时，，得到，然后把代入计算，则可对④进行判断；根据抛物线与轴的交点问题可对⑤进行判断．
【详解】解：抛物线与轴有两个不同的交点，
，
∴，即①正确；
时，，
，
∴，即②正确；
抛物线开口向上，
，
抛物线的对称轴为直线，
，
抛物线与轴交点位于轴负半轴，
，
，所以③错误；
，，
，
而，
，所以④正确；
抛物线与轴的交点坐标为、，
即或3时，，
方程的根是，，所以⑤正确．
综上所述：正确结论有①②④⑤，正确结论有4个.
故选：．
本题考查了二次函数与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置；常数项决定抛物线与轴交点；抛物线与轴交点个数由△决定．
9、C
【解析】移项、合并同类项，系数化为1即可求解．
【详解】解：，
故选：C．
考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错．
10、B
【分析】根据题目中的函数解析式，可以直接写出该函数的顶点坐标，本题得以解决．
【详解】解：∵函数，
∴该函数的顶点坐标是，
故选：B．
本题主要考查二次函数的图像，关键是根据二次函数的顶点式直接得到顶点坐标即可．
11、D
【分析】按照整式乘法、合并同类项、整式除法、幂的乘方依次化简即可得到答案.
【详解】A. a2·a3=a5，故该项错误；
B. 3a2-a2=2a2，故该项错误；
C. a8÷a2=a6，故该项错误；
D. (a2)3=a6正确，
故选：D.
此题考查整式的化简计算，熟记整式乘法、合并同类项、整式除法、幂的乘方的计算方法即可正确解答.
12、D
【分析】增长率问题，一般为：增长后的量＝增长前的量×（1＋增长率），本题可先用x表示出二月份的产值，再根据题意表示出三月份的产值，然后将三个月的产值相加，即可列出方程．
【详解】解：二月份的产值为：50（1＋x），
三月份的产值为：50（1＋x）（1＋x）＝50（1＋x）2，
故根据题意可列方程为：50＋50（1＋x）＋50（1＋x）2＝1．
故选D．
本题考查的是一元二次方程的运用，解此类题目时常常要按顺序列出接下来几年的产值，再根据题意列出方程即可．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、
【分析】由半圆的半径可得出圆锥的母线及底面半径的长度，利用勾股定理即可求出圆锥的高．
【详解】设底面圆的半径为r．
∵半径为10cm的半圆围成一个圆锥，∴圆锥的母线l=10cm，∴，解得：r=5（cm），∴圆锥的高h（cm）．
故答案为5．
本题考查了圆锥的计算，利用勾股定理求出圆锥的高是解题的关键．
14、80° 50°
【分析】直接利用圆周角定理得到∠AOB＝80°，再计算出∠BOC＝50°，从得到弧BC的度数．
【详解】解：∵∠AOB＝2∠ACB＝2×40°＝80°，
∴∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝130°﹣80°＝50°，
∴弧BC的度数为50°．
故答案为80°，50°．
此题主要考查圆周角定理，解题的关键是熟知圆周角定理的内容.
15、3
【分析】根据旋转的性质，可得∠BAC＝∠PAP′＝90°，AP＝AP′，故△APP′是等腰直角三角形，由勾股定理得PP′的大小．
【详解】解：根据旋转的性质，可得∠BAC＝∠PAP′＝90°，AP＝AP′，
∴△APP′是等腰直角三角形，
由勾股定理得PP′＝．
故答案为.
本题考查了图形的旋转变化，旋转得到的图形与原图形全等，解答时要分清旋转角和对应线段．
16、
【分析】由旋转的性质可得，，由勾股定理可求EF的长．
【详解】解：由旋转的性质可得，，
，且，
故答案为
本题考查了旋转的性质，勾股定理，灵活运用旋转的性质是本题的关键．
17、
【分析】如图，作PH⊥AB于H．利用相似三角形的性质求出PH，再证明四边形PHGC′是矩形即可解决问题．
【详解】如图，作PH⊥AB于H．
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，sinB=，
∴=，
∴AB=13，BC==12，
∵PC=3，
∴PB=9，
∵∠BPH∽△BAC，
∴ ，
∴，
∴PH=，
∵AB∥B′C′，
∴∠HGC′=∠C′=∠PHG=90°，
∴四边形PHGC′是矩形，
∴CG′=PH=，
∴A′G=5-= ，
故答案为．
此题考查旋转变换，平行线的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
18、x＜﹣2或0＜x＜1
【分析】根据两函数图象的上下位置关系结合交点横坐标即可找出不等式的解集，此题得解．
【详解】解：观察函数图象可发现：当x<-2或0<x<1时，一次函数图象在反比例函数图象上方，
∴使y1＞y2成立的x取值范围是当x<-2或0<x<1．
故答案为当x<-2或0<x<1.
本题是一道一次函数与反比例函数相结合的题目，根据图象得出一次函数与反比例函数交点横坐标是解题的关键.
三、解答题（共78分）
19、（6）665套；（5）；（5）55%．
【解析】试题分析：（6）根据扇形统计图中公租房所占比例以及条形图中公租房数量即可得出，衢州市新开工的住房总数，进而得出经济适用房的套数；
（5）根据申请购买经济适用房共有955人符合购买条件，经济适用房总套数为665套，得出老王被摇中的概率即可；
（5）根据5565年廉租房共有6555×8%=555套，得出555（6+x）5=655，即可得出答案．
试题解析：（6）6555÷56%=6555
6555×6．6%=665
所以经济适用房的套数有665套；
如图所示：
（5）老王被摇中的概率为：；
（5）设5565～5566这两年新开工廉租房的套数的年平均增长率为x
因为5565年廉租房共有6555×8%=555（套）
所以依题意，得 555（6+x）5=655…
解这个方程得，x6=5．5，x5=-5．5（不合题意，舍去）
答：这两年新开工廉租房的套数的年平均增长率为55%．
考点：6．一元二次方程的应用；5．扇形统计图；5．条形统计图；6．概率公式．
20、 (1) ；(2)；(3) ；(4)3
【分析】（1）先运用去括号原则以及完全平方差公式去括号，再合并同类项，最后利用因式分解法求解即可；
（2）先运用完全平方差公式去括号，再移项和合并同类项，最后利用因式分解法求解即可；
（3）由题意代入特殊三角函数值，并利用二次根式运算法则进行计算；
（4）由题意代入特殊三角函数值，并利用二次根式运算法则以及负指数幂和去绝对值的运算方法进行计算.
【详解】解：（1）
解为：；
（2）
解为：；
（3）
=
=
=；
（4）
=
=
=3.
本题考查一元二次方程的解法和实数的计算，用到的知识点是因式分解法求一元二次方程和负整数指数幂、零指数幂和特殊角的三角函数值，关键是根据式子的特点灵活运用解方程的方法进行求解．
21、（1）（2）
【详解】解：（1）；
（2）树状图为；
所以，两位女生同时当选正、副班长的概率是．（列表方法求解略）·
（1）男生当选班长的概率=
（2）与课本上摸球一样，画出树状图即可
22、或
【解析】根据图象与x轴两交点确定对称轴，再根据图象顶点在函数的图像上可得顶点坐标，设顶点式求抛物线的解析式.
【详解】解：∵y1图象与x轴的交点坐标为（-2，0），（4，0），可得图象对称轴为直线x=1，
∵y1图象顶点在函数的图象上，
∴当x=1时，y=2+b,
∴y1图象顶点坐标为（1,2+b）
∵y1图象与形状相同，
∴设y1=a(x-1)2+2+b，或y1=-a(x-1)2+2+b，
将（-2，0）代入得，
0=9a+2+b,或0=-9a+2+b,
∴或
本题考查二次函数图象的特征，确定顶点坐标后设顶点式求解析式是解答此题的重要思路.
23、（1）B（﹣2，0），C（1，3）；（2）见解析；（3）存在这样的点 P，坐标为（﹣，﹣）或（﹣，）或（﹣5，15）．
【分析】（1）可设顶点式，把原点坐标代入可求得抛物线解析式，联立直线与抛物线解析式，可求得C点坐标；
（2）根据勾股定理可得∠ABC＝90°，进而可求△ODC∽△ABC.
（3）设出p点坐标，可表示出M点坐标，利用三角形相似可求得p点的坐标．
【详解】（1）解：y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1，
∴顶点 A（﹣1，﹣1）；
由 ，解得：或
∴B（﹣2，0），C（1，3）；
（2）证明：∵A（﹣1，﹣1），B（﹣2，0），C（1，3），
∴AB＝ ，
BC＝ ，
AC＝，
∴AB2+BC2＝AC2，，
∴∠ABC＝90°，
∵OD＝1，CD＝3，
∴=，
∴，∠ABC＝∠ODC＝90°，
∴△ODC∽△ABC；
（3）存在这样的 P 点，设 M（x，0），则 P（x，x2+2x），
∴OM＝|x|，PM＝|x2+2x|，
当以 O，P，M 为顶点的三角形与△ABC 相似时，
有或 ，
由（2）知：AB＝ ，CB＝，
①当时，则 ＝， 当 P 在第二象限时，x＜0，x2+2x＞0，
∴，解得：x1＝0（舍），x2＝ -， 当 P 在第三象限时，x＜0，x2+2x＜0，
∴＝ ，解得：x1＝0（舍），x2＝-，
②当时，则 ＝3， 同理代入可得：x＝﹣5 或 x＝1（舍），
综上所述，存在这样的点 P，坐标为（-，-）或（-，）或（﹣5，15）．
本题为二次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、图象的交点问题、直角三角形的判定、勾股定理、相似三角形的性质及分类讨论等.
24、若围成的面积为，自行车车棚的长和宽分别为10米，18米.
【分析】设自行车车棚的宽AB为x米，则长为（38-2x）米，根据矩形的面积公式，即可列方程求解即可．
【详解】解：现有总长的铁栏围成，需留出2米长门
∴设，则；
根据题意列方程，
解得，；
当，（米），
当，（米），而墙长，不合题意舍去，
答：若围成的面积为，自行车车棚的长和宽分别为10米，18米.
本题考查的是一元二次方程的应用，结合图形求解．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．
25、（1）；；（2）；
【分析】（1）先把左边的4移项到右边成-4，再配方，两边同时加32，左边得到完全平方，再得出两个一元一次方程进行解答；
（2）先化成一元二次方程的一般式，得出a、b、c，计算b2-4ac判定根的情况，最后运用求根公式即可求解．
【详解】解：（1）x2+6x+4=0
x2+6x=-4
x2+6x+9=-4+9
（x+3）2=5
；
（2）5x2-3x=x+1，
5x2-4x-1=0，
b2-4ac=（-4）2-4×5×（-1）=36，
，
本题主要考查了运用配方法、公式法解一元二次方程，运用公式法解方程时，要先把方程化为一般式，找到a、b、c的值，然后用b2-4ac判定根的情况，最后运用公式即可求解．
26、（1）；（2）51m
【分析】（1）作于M，根据矩形的性质得到，，根据正切的定义求出AM；
（2）根据正切的定义求出DM，结合图形计算，得到答案．
【详解】解：（1）作于M，
则四边形ABCM为矩形，
，，
在中，，
则，
答：AB与CD之间的距离；
（2）在中，，
则，
，
答：建筑物CD的高度约为51m．
本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
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