资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．袋子中有4个黑球和3个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同．在看不到球的条件下，随机从袋中摸出一个球，摸到白球的概率为( )
A． B． C． D．
2．关于的一元二次方程，则的条件是( )
A． B． C． D．
3．在△ABC中，AD是BC边上的高，∠C＝45°，sinB＝，AD＝1．则△ABC的面积为（ ）
A．1 B． C． D．2
4．在平面直角坐标系中，把点绕原点顺时针旋转，所得到的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在中，，AB＝5，BC＝4，点D为边AC上的动点，作菱形DEFG，使点E、F在边AB上，点G在边BC上.若这样的菱形能作出两个，则AD的取值范围是( )
A． B．
C． D．
6．在下列四种图形变换中，如图图案包含的变换是（ ）
A．平移、旋转和轴对称 B．轴对称和平移
C．平移和旋转 D．旋转和轴对称
7．如图，在平面直角坐标系中，将绕点逆时针旋转后，点对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．一块△ABC空地栽种花草，∠A=150°，AB=20m，AC=30m，则这块空地可栽种花草的面积为（ ）m2
A．450 B．300 C．225 D．150
9．已知是一元二次方程的解，则的值为( )
A．-5 B．5 C．4 D．-4
10．已知二次函数图象如图所示，对称轴为过点且平行于轴的直线，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，若，BC=2，则sin∠A的值为（ ）
A． B． C． D．
12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝4，AB＝5，则cosB的值（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．近日，某市推出名师公益大课堂.据统计，第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2.42万人次.如果第二批，第三批公益课受益学生人次的增长率相同，则这个增长率是______.
14．如图，任意转动正六边形转盘一次，当转盘停止转动时，指针指向大于3的数的概率是_____．
15．如图，铅球运动员掷铅球的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式是y=﹣x2+x+，则该运动员此次掷铅球的成绩是_____ m．
16．如图，正方形ABOC与正方形EFCD的边OC、CD均在x轴上，点F在AC边上，反比例函数的图象经过点A、E，且，则________.
17．将抛物线y=x2+x向下平移2个单位，所得抛物线的表达式是 ．
18．如图，两个同心圆，大圆半径，，则图中阴影部分的面积是__________．
三、解答题（共78分）
19．（8分）已知正比例函数y=k1x(k1≠0)与反比例函数的图象交于A、B两点，点A的坐标为（2，1）．
（1）求正比例函数、反比例函数的表达式；
（2）求点B的坐标．
20．（8分）如图，在矩形ABCD中，AB=10cm，BC=20cm，两只小虫P和Q同时分别从A、B出发沿AB、BC向终点B、C方向前进，小虫P每秒走1cm，小虫Q每秒走2cm。请问：它们同时出发多少秒时，以P、B、Q为顶 点的三角形与以A、B、C为顶点的三角形相似？
21．（8分）如图，已知二次函数G1：y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（﹣1，0）和（0，3），对称轴为直线x＝1．
（1）求二次函数G1的解析式；
（2）当﹣1＜x＜2时，求函数G1中y的取值范围；
（3）将G1先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到新二次函数G2，则函数G2的解析式是 ．
（4）当直线y＝n与G1、G2的图象共有4个公共点时，直接写出n的取值范围．
22．（10分）△ABC在平面直角坐标系中如图：
（1)画出将△ABC绕点O逆时针旋转90°所得到的,并写出点的坐标.
（2）画出将△ABC关于x轴对称的，并写出点的坐标.
（3）求在旋转过程中线段OA扫过的图形的面积.
23．（10分）一只不透明的袋子中装有4个质地、大小均相同的小球，这些小球分别标有3，4，5，x，甲，乙两人每次同时从袋中各随机取出1个小球，并计算2个小球上的数字之和．记录后将小球放回袋中搅匀，进行重复试验，试验数据如下表：
摸球总
次数
10
20
30
60
90
120
180
240
330
450
“和为8”出
现的频数
2
10
13
24
30
37
58
82
110
150
“和为8”出
现的频率
0.20
0.50
0.43
0.40
0.33
0.31
0.32
0.34
0.33
0.33
解答下列问题：
(1)如果试验继续进行下去，根据上表提供的数据，出现和为8的频率将稳定在它的概率附近，估计出现和为8的概率是________；
(2)如果摸出的2个小球上数字之和为9的概率是，那么x的值可以为7吗？为什么？
24．（10分）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知抛物线上点的横坐标为，在抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（12分）已知关于x的方程：（m﹣2）x2+x﹣2＝0
（1）若方程有实数根，求m的取值范围．
（2）若方程的两实数根为x1、x2，且x12+x22＝5，求m的值．
26．如图， 已知抛物线的对称轴是直线x=3，且与x轴相交于A，B两点（B点在A点右侧）与y轴交于C点 ．
（1）求抛物线的解析式和A、B两点的坐标；
（2）若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），则是否存在一点P，使△PBC的面积最大．若存在，请求出△PBC的最大面积；若不存在，试说明理由；
（3）若M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N，当MN=3时，求M点的坐标 ．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、A
【分析】根据题意，让白球的个数除以球的总数即为摸到白球的概率．
【详解】解：根据题意，袋子中有4个黑球和3个白球，
∴摸到白球的概率为：；
故选：A.
本题考查了概率的基本计算，摸到白球的概率是白球数比总的球数．
2、C
【解析】根据一元二次方程的定义即可得．
【详解】由一元二次方程的定义得
解得
故选：C．
本题考查了一元二次方程的定义，熟记定义是解题关键．
3、C
【分析】先由三角形的高的定义得出∠ADB＝∠ADC＝90°，解Rt△ADB，得出AB＝3，根据勾股定理求出BD＝2，解Rt△ADC，得出DC＝1，然后根据三角形的面积公式计算即可；
【详解】在Rt△ABD中，
∵sinB＝＝，
又∵AD＝1，
∴AB＝3，
∵BD2＝AB2﹣AD2，
∴BD．
在Rt△ADC中，
∵∠C＝45°，
∴CD＝AD＝1．
∴BC＝BD+DC＝2+1，
∴S△ABC＝•BC•AD＝×（2+1）×1＝，
故选：C．
本题考查了三角形的面积问题，掌握三角形的面积公式是解题的关键．
4、C
【分析】根据题意得点P点P′关于原点的对称，然后根据关于原点对称的点的坐标特点即可得解.
【详解】∵P点坐标为（3，-2），
∴P点的原点对称点P′的坐标为（-3，2）．
故选C．
本题主要考查坐标与图形变化-旋转，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.
5、B
【分析】因为在中只能作出一个正方形，所以要作两个菱形则AD必须小于此时的AD，也即这是AD的最大临界值；当AD等于菱形边长时，这时恰好可以作两个菱形，这是AD最小临界值.然后分别在这2种情形下，利用相似三角形的性质求出AD即可.
【详解】过C作交DG于M
由三角形的面积公式得
即，解得
①当菱形DEFG为正方形时，则只能作出一个菱形
设：，
为菱形，
，，即，得
（）
若要作两个菱形，则；
②当时，则恰好作出两个菱形
设：，
过D作于H，
由①知，，，得
综上，
故选：B.
本题考查了相似三角形的性质、锐角三角函数，依据图形的特点判断出两个临界值是解题关键.
6、D
【分析】根据图形的形状沿中间的竖线折叠，两部分可重合，里外各一个顺时针旋转8次，可得答案．
【详解】解：图形的形状沿中间的竖线折叠，两部分可重合，得轴对称．
里外各一个顺时针旋转8次，得旋转．
故选：D．
本题考查了几何变换的类型，平移是沿直线移动一定距离得到新图形，旋转是绕某个点旋转一定角度得到新图形，轴对称是沿某条直线翻折得到新图形．观察时要紧扣图形变换特点，认真判断．
7、D
【分析】
根据旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状和大小作出旋转后的图形，即可得出答案.
【详解】
如图，△ABC绕点A逆时针旋转90°后，B点对应点的坐标为(0,2)，故答案选择D.
本题考查的是坐标与图形的变化——旋转，记住旋转只改变图形的位置不改变图形的形状和大小.
8、D
【分析】过点B作BE⊥AC，根据含30度角的直角三角形性质可求得BE，再根据三角形的面积公式求出答案．
【详解】过点B作BE⊥AC，交CA延长线于E，则∠E=90°，
∵，
∴，
∵在中，，，
∴，
∴
这块空地可栽种花草的面积为．
故选：D
本题考查了含30度角的直角三角形性质和三角形的面积公式，是基础知识比较简单．
9、B
【解析】根据方程的解的定义，把代入原方程即可.
【详解】把代入得：
4-2b+6=0
b=5
故选：B
本题考查的是方程的解的定义，理解方程解的定义是关键.
10、D
【分析】由抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，对称轴在y轴左侧即可判断a、c、b的符号，进而可判断A项；
抛物线的对称轴为直线x＝﹣，结合抛物线的对称轴公式即可判断B项；
由图象可知；当x=1时，a+b+c<0，再结合B项的结论即可判断C项；
由（1，0）与（﹣2，0）关于抛物线的对称轴对称，可知当x=－2时，y<0，进而可判断D项.
【详解】解：A、∵抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，对称轴在y轴左侧，∴a＞0，c＜0，＜0，∴b＞0，∴abc＜0，所以本选项错误；
B、∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣，∴，∴a﹣b＝0，所以本选项错误；
C、∵当x=1时，a+b+c<0，且a=b，∴，所以本选项错误；
D、∵（1，0）与（﹣2，0）关于抛物线的对称轴对称，且当x=1时，y<0，∴当x=－2时，y<0，即4a﹣2b+c<0，∴，所以本选项正确.
故选：D.
本题考查了二次函数的图象与性质，属于常考题型，熟练掌握抛物线的性质是解题关键.
11、C
【分析】先利用勾股定理求出AB的长，然后再求sin∠A的大小．
【详解】解：∵在Rt△ABC中，，BC=2
∴AB=
∴sin∠A=
故选：C．
本题考查锐角三角形的三角函数和勾股定理，需要注意求三角函数时，一定要是在直角三角形当中．
12、B
【分析】根据勾股定理计算出BC长，再根据余弦定义可得答案．
【详解】如图所示：
∵AC＝4，AB＝5，
∴BC＝＝＝3，
∴cosB＝＝．
故选：B．
考查了锐角三角函数，解题关键是掌握余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、
【分析】设增长率为x，根据“第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2.42万人次”可列方程求解.
【详解】设增长率为x，根据题意，得
2(1+x)2=2.42，
解得x1=-2.1（舍去），x2=0.1=10%．
∴增长率为10%．
故答案为：10%．
本题考查了一元二次方程的应用-增长率问题，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
14、．
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【详解】共个数，大于的数有个，
（大于）；
故答案为．
本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）= ．
15、1
【分析】根据铅球落地时，高度y=0，把实际问题可理解为当y=0时，求x的值即可．
【详解】解：在中，当y=0时，
整理得：x2-8x-20=0，
（x-1）（x+2）=0，
解得x1=1，x2=-2（舍去），
即该运动员此次掷铅球的成绩是1m．
故答案为：1．
本题考查了二次函数的应用中函数式中自变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键．
16、6
【分析】设正方形ABOC与正方形EFCD的边长分别为m，n，根据S△AOE=S梯形ACDE+S△AOC-S△ADE，可求出m2=6，然后根据反比例函数比例系数k的几何意义即可求解.
【详解】设正方形ABOC与正方形EFCD的边长分别为m，n，则OD=m+n，
∵S△AOE=S梯形ACDE+S△AOC-S△ADE，
∴，
∴m2=6，
∵点A在反比例函数的图象上，
∴k=m2=6，
故答案为：6.
本题考查了正方形的性质，割补法求图形的面积，反比例函数比例系数k的几何意义，从反比例函数（k为常数，k≠0）图像上任一点P，向x轴和y轴作垂线你，以点P及点P的两个垂足和坐标原点为顶点的矩形的面积等于常数.
17、y=x1+x﹣1．
【解析】根据平移变化的规律，左右平移只改变点的横坐标，左减右加．上下平移只改变点的纵坐标，下减上加．因此，将抛物线y=x1+x向下平移1个单位，所得抛物线的表达式是y=x1+x﹣1．
18、
【分析】根据题意可知，阴影部分的面积等于半径为4cm，圆心角为60°的扇形面积.
【详解】∵，，
∴阴影部分的面积为扇形OBC的面积：，
故答案为：.
本题主要考查了阴影部分面积的求法，熟练掌握扇形的面积公式是解决本题的关键.
三、解答题（共78分）
19、（1）正比例函数、反比例函数的表达式为：，；（2）B点坐标是（-2，-1）
【解析】试题分析：
（1）把点A、B的坐标分别代入函数y=k1x(k1≠0)与函数中求出k1和k2的值，即可得到两个函数的解析式；
（2）把（1）中所得两个函数的解析式组成方程组，解方程组即可得到点B的坐标.
试题解析：
解：（1）把点A（2，1）分别代入y=k1x与 可得：，k2=2 ，
∴正比例函数、反比例函数的表达式分别为：，；
（2）由题意得方程组： ，解得： ， ，
∴点B的坐标是（-2，-1）.
20、2秒或者5
【分析】由题意可知要使以P、B、Q为顶点的三角形与以A、B、C为顶点的三角形相似，则要分两种情况进行分析从而解得所需的时间．
【详解】解：设他们行走的时间为x秒
由题意得：AP=xcm, BQ=2x, BP=(10-x)
因为∠PBQ=∠ABC,分两种情况：
当时，，解得，
当时，，解得，
答：出发2秒或者5秒时相似.
本题考查相似三角形的判定及矩形的性质等知识点的综合运用，运用数形结合思维分析是解题的关键，注意分情况讨论求解．
21、（1）二次函数G1的解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）0＜y≤4；（3）y＝﹣（x﹣4）2+2；（4）n的取值范围为＜n＜2或n＜．
【分析】（1）由待定系数法可得根据题意得解得，则G1的解析式为y＝﹣x2+2x+3;(2)将解析式化为顶点式，即y＝﹣（x﹣1）2+4，当x＝﹣1时，y＝0；x＝2时，y＝3；而抛物线的顶点坐标为（1，4），且开口向下，所以当﹣1＜x＜2时，0＜y≤4；（3）G1先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到新二次函数G2，则函数G2的解析式是y＝﹣（x﹣1﹣3）2+4﹣2，即y＝﹣（x﹣4）2+2，故答案为y＝﹣（x﹣4）2+2；（4）解﹣（x﹣4）2+2═﹣（x﹣1）2+4得x＝，代入y＝﹣（x﹣1）2+4求得y＝，由图象可知当直线y＝n与G1、G2的图象共有4个公共点时，n的取值范围为＜n＜2或n＜．
【详解】解：（1）根据题意得解得，
所以二次函数G1的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）因为y＝﹣（x﹣1）2+4，
所以抛物线的顶点坐标为（1，4）；
当x＝﹣1时，y＝0；x＝2时，y＝3；
而抛物线的顶点坐标为（1，4），且开口向下，
所以当﹣1＜x＜2时，0＜y≤4；
（3）G1先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到新二次函数G2，则函数G2的解析式是y＝﹣（x﹣1﹣3）2+4﹣2，即y＝﹣（x﹣4）2+2，
故答案为y＝﹣（x﹣4）2+2．
（4）解﹣（x﹣4）2+2═﹣（x﹣1）2+4得x＝，
代入y＝﹣（x﹣1）2+4求得y＝，
由图象可知当直线y＝n与G1、G2的图象共有4个公共点时，n的取值范围为＜n＜2或n＜．
本题的考点是二次函数的综合应用.方法是根据题意及二次函数图像的性质解题.
22、 (1)(-3,2)；(2)(2,-3)；(3)S=
【分析】（1）根据题意利用旋转作图的方法画出将△ABC绕点O逆时针旋转90°所得到的以及写出点的坐标即可；
（2）根据题意利用作轴对称图形的方法画出将△ABC关于x轴对称的并写出点的坐标即可；
（3）由题意可知OA扫过的图形是一个以OA长为半径的四分之一的圆，求出这个四分之一的圆即可求出线段OA扫过的图形的面积.
【详解】解：（1）如图：
由图像可得的坐标为(-3,2)；
（2）如图：
由图像可得的坐标为(2,-3)；
（3）由题意可知OA扫过的图形是一个以OA长为半径的四分之一的圆，
已知A（2，3），利用勾股定理求得OA= ，
所以线段OA扫过的图形的面积为：=.
本题考查旋转作图和作轴对称图形，熟练掌握并利用旋转作图和作轴对称图形的方法和技巧是解题的关键.
23、（1）出现“和为8”的概率是0.33；（2）x的值不能为7.
【分析】（1）利用频率估计概率结合表格中数据得出答案即可；
（2）假设x=7，根据题意先列出树状图，得出和为9的概率，再与进行比较，即可得出答案.
【详解】解：(1)随着试验次数不断增加，出现“和为8”的频率逐渐稳定在0.33，
故出现“和为8”的概率是0.33.
(2)x的值不能为7.理由：假设x＝7，
则P(和为9)＝≠，所以x的值不能为7.
此题主要考查了利用频率估计概率以及树状图法求概率，正确画出树状图是解题关键.
24、（1）；（2）存在，点．
【分析】（1）由题意先求出A、C的坐标，直接利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；
（2）根据题意转化，BD的长是定值，要使的周长最小则有点、、在同一直线上，据此进行分析求解.
【详解】解：（1），
点的坐标为.
，
点的坐标为.把，代入，得，
解得.
抛物线的解析式为.
（2）存在.
把代入，
解得，，
点的坐标为.
点的横线坐标为
.故点的坐标为.
如图，设是抛物线对称轴上的一点，连接、、、，
，
的周长等于，
又的长是定值，
点、、在同一直线上时，的周长最小，
由、可得直线的解析式为，
抛物线的对称轴是，
点的坐标为，
在抛物线的对称轴上存在点，使得的周长最小.
本题考查二次函数图像性质的综合问题，熟练掌握并利用利用待定系数法即可求出二次函数的解析式以及运用数形结合思维分析是解题的关键.
25、（1）m≥；（2）m＝3
【分析】（1）根据判别式即可求出答案；
（2）根据根与系数的关系即可求出答案．
【详解】解：（1）当m﹣2≠0时，△＝1+8（m﹣2）≥0，
∴m≥且m≠2，
当m﹣2＝0时，x﹣2＝0，符合题意，
综上所述，m≥
（2）由根与系数的关系可知：x1+x2＝，x1x2＝，
∵x12+x22＝5，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝5，
∴+ ＝5，
∴＝1或＝﹣5，
∴m＝3或m＝（舍去）．
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
26、（1），点A的坐标为(-2，0)，点B的坐标为(8，0)；（2）存在点P，使△PBC的面积最大，最大面积是16，理由见解析；（3）点M的坐标为(4-2，)、(2，6)、(6，4)或(4+2，-)．
【分析】（1） 由抛物线的对称轴为直线x=3，利用二次函数的性质即可求出a值， 进而可得出抛物线的解析式， 再利用二次函数图象上点的坐标特征， 即可求出点A、B的坐标；
（2） 利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标， 由点B、C的坐标， 利用待定系数法即可求出直线BC的解析式， 假设存在， 设点P的坐标为（x,），过点P作PD//y轴， 交直线BC于点D，则点D的坐标为（x,），PD=- x2+2x，利用三角形的面积公式即可得出三角形PBC的面积关于x的函数关系式， 再利用二次函数的性质即可解决最值问题；
（3） 设点M的坐标为（m,），则点N的坐标为（m,），进而可得出MN，结合MN=3即可得出关于m的含绝对值符号的一元二次方程， 解之即可得出结论 ．
【详解】（1）抛物线的对称轴是直线，
，解得：，
抛物线的解析式为．
当时，，
解得：，，
点的坐标为，点的坐标为．
（2） 当时，，
点的坐标为．
设直线的解析式为．
将、代入，
，解得：，
直线的解析式为．
假设存在， 设点的坐标为，过点作轴， 交直线于点，则点的坐标为，如图所示 ．
，
．
，
当时，的面积最大， 最大面积是 16 ．
，
存在点，使的面积最大， 最大面积是 16 ．
（3） 设点的坐标为，则点的坐标为，
．
又，
．
当时， 有，
解得：，，
点的坐标为或；
当或时， 有，
解得：，，
点的坐标为，或，．
综上所述：点的坐标为，、、或，．
本题考查了二次函数的性质、 二次函数图象上点的坐标特征、 待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积， 解题的关键是： （1） 利用二次函数的性质求出a的值； （2） 根据三角形的面积公式找出关于x的函数关系式； （3） 根据MN的长度， 找出关于m的含绝对值符号的一元二次方程 ．
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