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2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．在中，，，下列结论中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，在△ABC中，M，N分别是边AB，AC的中点，则△AMN的面积与四边形MBCN的面积比为
A． B． C． D．
3．如图，已知为的直径，点，在上，若，则（ ）
A． B． C． D．
4．下列图形中为中心对称图形的是（ ）
A．等边三角形 B．平行四边形 C．抛物线 D．五角星
5．若方程有两个不相等的实数根，则实数的值可能是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．如图，一次函数y＝﹣x+3的图象与反比例函数y＝﹣的图象交于A，B两点，则不等式|﹣x+3|＞﹣的解集为（ ）
A．﹣1＜x＜0或x＞4 B．x＜﹣1或0＜x＜4
C．x＜﹣1或x＞0 D．x＜﹣1或x＞4
7．已知关于的一元二次方程有一个根为，则的值为（ ）
A．0 B．1 C． D．
8．如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos∠ABC等于（ ）
A． B． C． D．
9．下列方程中没有实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
10．在平面直角坐标系中，平移二次函数的图象能够与二次函数的图象重合，则平移方式为（ ）
A．向左平移个单位，向下平移个单位
B．向左平移个单位，向上平移个单位
C．向右平移个单位，向下平移个单位
D．向右平移个单位，向上平移个单位
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如果函数是关于的二次函数，则__________．
12．用配方法解方程x2﹣2x﹣6＝0，原方程可化为_____．
13．布袋中装有3个红球和4个白球，它们除颜色外其余都相同，如果从这个布袋里随机摸出一个球，那么所摸到的球恰好为红球的概率是_______．
14．计算sin245°+cos245°=_______．
15．某海滨浴场有100个遮阳伞，每个每天收费10元时，可全部租出，若每个每天提高2元，则减少10个伞租出，若每个每天收费再提高2元，则再减少10个伞租出，以此类推，为了投资少而获利大，每个遮阳伞每天应提高_______________。
16．在平面直角坐标系中，点（﹣3，2）关于原点对称的点的坐标是_____．
17．如图，在矩形中，对角线与相交于点，，垂足为点，，且，则的长为_______.
18．已知m，n是方程的两个实数根，则．
三、解答题(共66分)
19．（10分）在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式一一利用函数图象研究其性质一一运用函数解决问题”的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数图象．同时，我们也学习了绝对值的意义结合上面经历的学习过程，现在来解决下面的问题：在函数中，当时，．
（1）求这个函数的表达式；
（2）在给出的平面直角坐标系中，请用你喜欢的方法画出这个函数的图象并写出这个函数的一条性质；
（3）已如函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式的解集．
20．（6分）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，△OAB的三个顶点O（0，0）、A（4，1）、B（4，4）均在格点上．
（1）画出△OAB绕原点顺时针旋转后得到的△，并写出点的坐标；
（2）在（1）的条件下，求线段在旋转过程中扫过的扇形的面积．
21．（6分）如图，半圆的直径，将半圆绕点顺时针旋转得到半圆，半圆与交于点．
（1）求的长；
（2）求图中阴影部分的面积．（结果保留）
22．（8分）先化简，再求值：1- ，其中a、b满足 ．
23．（8分）如图，在大楼AB的正前方有一斜坡CD，CD=13米，坡比DE:EC=1：，高为DE，在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为64°，在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为45°，其中A、C、E在同一直线上．
（1）求斜坡CD的高度DE；
（2）求大楼AB的高度；（参考数据：sin64°≈0.9，tan64°≈2）．
24．（8分）在平面直角坐标系中，已知，.
（1）如图1，求的值.
（2）把绕着点顺时针旋转，点、旋转后对应的点分别为、.
①当恰好落在的延长线上时，如图2，求出点、的坐标.
②若点是的中点，点是线段上的动点，如图3，在旋转过程中，请直接写出线段长的取值范围.
25．（10分）如图，中，，以为直径作，交于点，交的延长线于点，连接,.
（1）求证：是的中点；
（2）若，求的长.
26．（10分）已知：、是圆中的两条弦，连接交于点，点在上，连接，．
（1）如图1，若，求证：弧弧；
（2）如图2，连接，若，求证：；
（3）如图3，在第（2）问的条件下，延长交圆于点，点在上，连接，若，，，求线段的长．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、C
【分析】直接利用锐角三角函数关系分别计算得出答案．
【详解】∵，，
∴，
∴，
故选项A，B错误，
∵，
∴，
故选项C正确；选项D错误．
故选C．
此题主要考查了锐角三角函数关系，熟练掌握锐角三角函数关系是解题关键．
2、B
【详解】解:∵M，N分别是边AB，AC的中点，
∴MN是△ABC的中位线，
∴MN∥BC，且MN=BC，
∴△AMN∽△ABC，
∴，
∴△AMN的面积与四边形MBCN的面积比为1：1．
故选B．
本题考查了相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是得出MN是△ABC的中位线，判断△AMN∽△ABC，要掌握相似三角形的面积比等于相似比平方．
3、C
【分析】连接AD,根据同弧所对的圆周角相等，求∠BAD的度数，再根据直径所对的圆周角是90°，利用内角和求解.
【详解】解：连接AD,则∠BAD=∠BCD=28°,
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°,
∴∠ABD=90°-∠BAD=90°-28°=62°.
故选：C.
本题考查圆周角定理，运用圆周角定理是解决圆中角问题的重要途径，直径所对的圆周角是90°是圆中构造90°角的重要手段.
4、B
【分析】根据中心对称图形的概念求解．
【详解】A、等边三角形不是中心对称图形，故本选项错误；
B、平行四边形是中心对称图形，故本选项正确；
C、抛物线不是中心对称图形，故本选项错误；
D、五角星不是中心对称图形，故本选项错误．
故选：B．
本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
5、A
【分析】根据一元二次方程有两个实数根可得：△＞0，列出不等式即可求出的取值范围，从而求出实数的可能值.
【详解】解：由题可知：
解出：
各个选项中，只有A选项的值满足该取值范围，
故选A.
此题考查的是求一元二次方程的参数的取值范围，掌握一元二次方程根的情况与△的关系是解决此题的关键.
6、C
【分析】先解方程组得A（﹣1，4），B（4，﹣1），然后利用函数图象和绝对值的意义可判断x＜﹣1或x＞1时，|﹣x+3|＞﹣．
【详解】解方程组得或，则A（﹣1，4），B（4，﹣1），
当x＜﹣1或x＞1时，|﹣x+3|＞﹣，
所以不等式|﹣x+3|＞﹣的解集为x＜﹣1或x＞1．
故选：C．
考核知识点:一次函数与反比例函数.解方程组求函数图象交点是关键.
7、B
【分析】将x=1代入方程即可得出答案.
【详解】将x=1代入方程得：，
解得a=1，
故答案选择B.
本题考查的是一元二次方程的解，比较简单，将解直接代入即可得出答案.
8、B
【详解】由格点可得∠ABC所在的直角三角形的两条直角边为2，4，
∴斜边为．
∴cos∠ABC=．
故选B．
9、D
【分析】分别计算出判别式△＝b2−4ac的值，然后根据判别式的意义分别判断即可．
【详解】解：A、△＝＝5＞0，方程有两个不相等的实数根；
B、△＝32−4×1×2＝1＞0，方程有两个不相等的实数根；
C、△＝112−4×2019×（−20）＝161641＞0，方程有两个不相等的实数根；
D、△＝12−4×1×2＝−7＜0，方程没有实数根．
故选：D．
本题考查了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2−4ac的意义，当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
10、D
【解析】二次函数y=x1+4x+3=（x+1）1-1，
将其向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到二次函数y=x1．
故选D．
点睛：抛物线的平移时解析式的变化规律：左加右减，上加下减．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、1
【分析】根据二次函数的定义得到且，然后解不等式和方程即可得到的值．
【详解】∵函数是关于的二次函数，
∴且，
解方程得：或(舍去)，
∴．
故答案为：1．
本题考查二次函数的定义，关键是掌握二次函数的定义：一般地，形如(是常数，)的函数，叫做二次函数．
12、（x﹣1）2＝1
【分析】方程常数项移到右边，两边加上1变形后，即可得到结果．
【详解】解：方程变形得：x2﹣2x＝6，
配方得：x2﹣2x+1＝1，即（x﹣1）2＝1．
故答案为：（x﹣1）2＝1．
本题考查了配方法求解方程,属于简单题,熟悉配方的方法是解题关键.
13、
【分析】由题意根据概率公式，求摸到红球的概率，即用红球除以小球总个数即可得出得到红球的概率．
【详解】解：∵一个布袋里装有3个红球和4个白球，共7个球，
∴摸出一个球摸到红球的概率为：，
故答案为：.
本题主要考查概率公式的应用，由已知求出小球总个数再利用概率公式求出是解决问题的关键．
14、1
【分析】根据特殊角的三角函数值先进行化简，然后根据实数运算法则进行计算即可得出结果．
【详解】原式=()2+()2=+=1．
本题主要考查了特殊角的三角函数值，需要熟记，比较简单．
15、4元或6元
【分析】设每个遮阳伞每天应提高x元，每天获得利润为S，每个每天应收费（10+x）元，每天的租出量为（100-×10=100-5x）个，由此列出函数解析式即可解答．
【详解】解：设每个遮阳伞每天应提高x元，每天获得利润为S，由此可得，
S=（10+x）（100-×10），
整理得S=-5x2+50x+1000，
=-5（x-5）2+1125，
因为每天提高2元，则减少10个，所以当提高4元或6元的时候，获利最大，
又因为为了投资少而获利大，因此应提高6元；
故答案为：4元或6元．
此题考查运用每天的利润=每个每天收费×每天的租出量列出函数解析式，进一步利用题目中实际条件解决问题．
16、（3，﹣2）
【解析】根据平面直角坐标系内两点关于原点对称横纵坐标互为相反数，即可得出答案．
【详解】解：平面直角坐标系内两点关于原点对称横纵坐标互为相反数，
∴点（﹣3，2）关于原点对称的点的坐标是（3，﹣2），
故答案为（3，﹣2）．
本题主要考查了平面直角坐标系内点的坐标位置关系，难度较小．
17、
【解析】设DE=x，则OE=2x，根据矩形的性质可得OC=OD=3x，在直角三角形OEC中：可求得CE=x，即可求得x=，即DE的长为.
【详解】∵四边形ABCD是矩形
∴OC=AC=BD=OD
设DE=x，则OE=2x， OC=OD=3x，
∵，
∴∠OEC=90°
在直角三角形OEC中
=5
∴x=
即DE的长为.
故答案为：
本题考查的是矩形的性质及勾股定理，掌握矩形的性质并灵活的使用勾股定理是解答的关键.
18、3
【解析】根据题意得m+n=−2，mn=−5，
所以m+n−mn=2−（-5）=3.
三、解答题(共66分)
19、（1）；（2）函数图象见解析，性质：函数图象关于y轴对称（答案不唯一）；（3）不等式的解集为或
【分析】（1）根据待定系数法进行求解函数的表达式；
（2）结合（1），将函数的表达式写成分段形式，然后进行画图，进而求解；
（3）结合（2）中的函数图象直接写出不等式的解集．
【详解】解：（1）∵当时，，，
∴，
∴；
（2）由（1）知，，
∴该函数的图象如图所示：
性质：函数图象关于y轴对称（答案不唯一）；
（3）由函数图象可知，写出不等式的解集为或．
本题考查待定系数法求函数的表达式，反比例函数的图象与性质，一元一次不等式与一次函数的关系，学会画函数的图象与运用数形结合的思想是解题的关键．
20、（1）图见解析，点A1坐标是（1，-4）；（2）
【分析】（1）据网格结构找出点A、B绕点O按照顺时针旋转90°后的对应点A1、B1的位置，然后顺次O、A1、B1连接即可，再根据平面直角坐标系写出A1点的坐标；
（2）利用扇形的面积公式求解即可，利用网格结构可得出．
【详解】（1）
点A1坐标是（1，-4）
（2）根据题意可得出：
∴线段在旋转过程中扫过的扇形的面积为：．
本题考查的知识点是旋转变换以及扇形的面积公式，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．
21、（1）AP=；（2）．
【分析】（1）先根据题意判断出△O′PB是等腰直角三角形，由锐角三角函数的定义求出PB的长，进而可得出AP的长；
（2）由题意根据，直接进行分析计算即可．
【详解】解：（1）连接，
，，
是等腰直角三角形，
，
．
（2）阴影部分的面积为．
本题考查的是扇形面积的计算及图形旋转的性质，解答此题的关键是根据旋转的性质进行分析作答.
22、，．
【解析】试题分析：首先化简分式，然后根据a、b满足的关系式，求出a、b的值，再把求出的a、b的值代入化简后的算式，求出算式的值是多少即可．
试题解析：解：原式====
∵a、b满足，∴a﹣=0，b+1=0，∴a=，b=﹣1，当a=，b=﹣1时，原式==．
点睛：此题主要考查了分式的化简求值问题，要熟练掌握，注意先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
23、（1）斜坡CD的高度DE是5米；（2）大楼AB的高度是34米．
【解析】试题分析：（1）根据在大楼AB的正前方有一斜坡CD，CD=13米，坡度为1：，高为DE，可以求得DE的高度；
（2）根据锐角三角函数和题目中的数据可以求得大楼AB的高度．
试题解析：（1）∵在大楼AB的正前方有一斜坡CD，CD=13米，坡度为1：，
∴，
设DE=5x米，则EC=12x米，
∴（5x）2+（12x）2=132，
解得：x=1，
∴5x=5，12x=12，
即DE=5米，EC=12米，
故斜坡CD的高度DE是5米；
（2）过点D作AB的垂线，垂足为H，设DH的长为x，
由题意可知∠BDH=45°，
∴BH=DH=x，DE=5，
在直角三角形CDE中，根据勾股定理可求CE=12，AB=x+5，AC=x-12，
∵tan64°=，
∴2=，
解得，x=29，AB=x+5=34，
即大楼AB的高度是34米．
24、（1）;（2）①，②;（3）
【解析】（1）作AH⊥OB，根据正弦的定义即可求解；
（2）作MC⊥OB，先求出直线AB解析式，根据等腰三角形的性质及三角函数的定义求出M点坐标，根据MN∥OB，求出N点坐标；
（3）由于点C是定点，点P随△ABO旋转时的运动轨迹是以B为圆心，BP长为半径的圆，故根据点和圆的位置关系可知，当点P在线段OB上时，CP=BP-BC最短；当点P在线段OB延长线上时，CP=BP+BC最长．又因为BP的长因点D运动而改变，可先求BP长度的范围．由垂线段最短可知，当BP垂直MN时，BP最短，求得的BP代入CP=BP-BC求CP的最小值；由于BM>BN，所以点P与M重合时，BP=BM最长，代入CP=BP+BC求CP的最大值．
【详解】（1）作AH⊥OB，
∵，.
∴H（3,5）
∴AH=3,AH=
∴==
（2）由（1）得A（3,4），又
求得直线AB的解析式为：y=
∵旋转，∴MB=OB=6,
作MC⊥OB，∵AO=BO，
∴∠AOB=∠ABO
∴MC=MBsin∠ABO=6×=
即M点的纵坐标为，代入直线AB得x=
∴，
∵∠NMB=∠AOB=∠ABO
∴MN∥OB，又MN=AB=5，
则+5=
∴
（3）连接BP
∵点D为线段OA上的动点，OA的对应边为MN
∴点P为线段MN上的动点
∴点P的运动轨迹是以B为圆心，BP长为半径的圆
∵C在OB上,且CB=OB=3
∴当点P在线段OB上时,CP=BP−BC最短;当点P在线段OB延长线上时,CP=BP+BC最长
如图3，当BP⊥MN时，BP最短
∵S△NBM=S△ABO，MN=OA=5
∴MN⋅BP=OB⋅yA
∴BP= ==
∴CP最小值=−3=
当点P与M重合时，BP最大，BP=BM=OB=6
∴CP最大值=6+3=9
∴线段CP长的取值范围为.
此题主要考查一次函数与几何综合，解题的关键是熟知待定系数法的运用、旋转的性质、三角函数的应用.
25、（1）详见解析；（2）.
【分析】（1）根据题意得出，再根据三线合一即可证明；
（2）在中，根据已知可求得，，，再证明，得出，代入数值即可得出CE.
【详解】（1）证明：是的直径，
，
又
是中点.
（2）解：，，
，，
，，
.
,
.
本题考查了相似三角形的判定及性质，熟练掌握定理是解题的关键.
26、（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】（1）通过角度之间的关系，求得，得证，即可证明 ；
（2）通过证明≌，求得，，可得为等边三角形，可得，，即可证明；
（3）延长交于点，延长到点，使，连接，，设，先证明≌，可得，设，解得，，过点作，在中，解得，故在中， ，解得，即可求出线段BG的长度．
【详解】（1）证明：
∵，
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
（2）证明：
∵，
∵
∴
在和中
∵ ，，
∴≌
∴，
∴
∴为等边三角形
∵，
∴
（3）证明：延长交于点，延长到点，使，连接，
设，
∴
∵，
∴
∴
∵
∴
在和中
∵， ，
∴≌
∴
∵
∴
∴
设，
∴，，
在中，，，，
解得，
过点作，在中，
∵ ，
∴，，
在中， ，
本题考查了三角形和圆的综合问题，掌握圆心角定理、全等三角形的性质以及判定定理、勾股定理、锐角三角函数是解题的关键．
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