等腰三角形-轴对称.doc

等腰三角形，轴对称
一：等腰三角形的性质
1有关的定理及其推论
定理：等腰三角形的两个底角相等（等角对等边）
推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边且垂直于底边，即等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高三线重合。
推论2：等边三角形各角相等，并且每个角都是60°。

2定理及其推论的表示方法
（1）∵AB=AC
∴∠B=∠C
(2) ∵AB=AC ∠1=∠2
∴AD⊥BC BD=CD
(3) ∵AB=AC AD⊥BC于D
∴∠1=∠2 BD=CD
(4) ∵AB=AC,BD=CD
∴∠1=∠2 AD⊥BC

注意辅助线的描述，要规范。
3文字题的证明步骤
（1） 分析题目的题设和结论，根据题意画出正确图形，这一步是关键。
（2） 根据题设和结论，写出已知，求证。
（3） 书写证明过程。
例如，求证等腰三角形底边上的高上任意一点，到两腰的距离相等。

二：等腰三角形的判定
1有关的定理及其推论
定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。（等角对等边）
推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。
推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

2定理及其推论的表示方法
（1）∵∠B=∠C ∴AB=AC
(2) ∵∠A=∠B=∠C, ∴AB=AC=BC
(3) ∵AB=AC ∠A=60 ∴AB=AC=BC
(4) ∵∠C=90 ∠A=30
∴BC=1/2AB

3几种常见的等腰三角形

三：线段的垂直平分线
1垂直且平分一条线段的直线是这条线段的垂直平分线（中垂线）

2线段的垂直平分线定理及其逆定理
定理：线段的垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。
逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

3表示方法
定理的表示方法：∵点C在线段AB的中垂线上CD上
∴AC=BC
逆定理的表示方法：∵AC=BC
∴点C在线段AB的中垂线上
又∵AD=BD
∴点D也在AB的中垂线上
∴直线CD是线段AB的中垂线

四：轴对称和轴对称图形
1轴对称：把一个图形沿着某条直线折叠，如果它能与另一个图形重合，那么就说这2个图形关于这条直线对称。
注意：1轴对称又两个图形，能够完全重合，即形状大小都相同。
2对称的图形一定是全等的，但全等的图形不一定是对称的。

2轴对称图形：是一个图形。

3相关定理：
（1） 关于某条直线对称的两个图形是全等形。
（2） 两个图像关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上。
（3） 如果两条直线关于某条直线对称，那么对称轴是对应点连线的中垂线。

相关题目
1无图的等腰三角形问题
例：等腰三角形一腰上高与另一腰的夹角为30°，则顶角度数为？

2等腰三角形的性质与代数方法相结合的问题
例：三角形ABC中，AB=AC，D为AC上一点，且AD=BD=BC，说出图中有几个等腰三角形，并求出顶角度数。

3等边三角形性质的应用问题
三角形ABC三角形ADE都是等边三角形，B，C，D在同一条直线上。
求证：（1）CE=AC+DC （2）∠ECD=60°

4等腰三角形判定定理的应用
已知三角形ABC中，∠B=∠C，又三角形AEF中，AE=AF，且∠MAE=∠NAF。
求证：EF∥BC

5构造等腰三角形解题
三角形ABC中，BD是∠ABC的平分线，AD⊥BD，垂足为D。
求证：∠BAD=∠DAC+∠C

6利用中垂线的性质定理构造等腰三角形
三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=120，EF为AB的中垂线，交BC于F，交AB于E。
求证：BF=1/2FC

7有垂直时构造中垂线
在三角形ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC。
求证：CD=AB+BD

8有中点时构造中垂线
已知BC=2AB，∠ABC=2∠C，BD=CD。
求证：三角形ABC为直角三角形

9利用角平分线构造中垂线
AD是三角形ABC的角平分线，过A的直线MN⊥AD，CH⊥MN，垂足为H。
求证：HB+CH﹥AB+AC

10轴对称和轴对称图形
在三角形ABC中，∠B=2∠C，AD为∠BAC的平分线。
求证：AC=AB+BD

11距离最短问题
牧童在A处放牛，他家在B处，A,B到河岸的距离分别为AC，BD。且AC=BD，若A到河岸CD中点的距离为500米，问：
（1） 牧童从A处牵牛到河边饮水后再回家，则在何处饮水，所走路程最短？
（2） 求最短路程。