数学物理方法第04章习题.doc

第四章 习题答案

4.2-1
解：令，则，，
所以，
而的极点为，
因为，所以在圆外，而在圆内。

4.2-2
解：令，则，，
，
所以，
令的极点有（四阶），，（一阶）
因为，所以，和在圆内。

但此式求解非常困难。
可以利用留数的定义来求解，即将在点Laurent展
开，就等于展开式中项的系数。

而
同理：
所以：

所以，当时，项的系数为：

故

4.2-3
解：
令，则，，

所以：
设，则其奇点为：，
其中在圆内，且均为一阶极点，所以：

则：

4.2-4
解：令，则
所以：
令，则，，

所以：
设，则其奇点为：，
其中在圆内，且均为一阶极点，所以：

则：

4.2-5
解：令，则，，

所以：
设，为其阶极点。
则

所以：

4.2-6
解：因为为偶函数，
所以。
令，

即：
所以：
在上半平面的奇点为（2阶极点）。

所以：

4.2-7
解：
令，其极点为：，，，
其中，在上半平面。

又因为在上半平面和实轴上，当时，
所以：

4.2-8
解：，其在上半平面的极点为，且为阶。
其留数为：

又因为在上半平面和实轴上，当时，
所以：

4.2-9
解：，其在上半平面的奇点为，（均为一阶）。

又因为在上半平面和实轴上，当时，
所以有：

4.2-10
解：设，因为，所以比的次数至少低2次，满足要求。
下面求的奇点，
其在上半平面的奇点为：，共有个，均为一阶极点。

同理有：
……

所以：

4.2-11
解：设，满足在上半平面和实轴上当时，一致趋于零。

而

即：
在上半平面的极点为和

所以：

4.2-12
解：设为偶函数，且满足约当引理的条件，即时，在实轴
及上半平面，一致地趋于零。在上半平面的奇点为和。
而

所以

4.2-13
解：令,满足当时，在实轴及上半平面，一致地趋于零。
在上半平面的奇点为且为2阶极点。
所以:

所以有：

4.2-14
解：令为奇函数，且当时，在实轴及上半平面，一致地趋
于零。而在上半平面的奇点为一阶极点。

所以：
而，则有：

4.2-15
解：令，它在实轴上有奇点
设计积分路径如右图所示，其内有的奇点

当时，有：
①
②，因为当时，，满足约当引理的条件。
③
④而
可以得到：
所以：

4.2-16
解：令，则，其一阶奇点为，考虑被积函
数，设计积分路径如下：

①：满足约当引理条件，即时，
所以；
②：
令，则②

当时，有：②
③：
均为的一阶极点，
则有：
而，

所以
综合考虑①②③有：在内无奇点，故积分值为零。
则有：

4.2-17
解：
所以只需求，的求法相同。
令，奇点为
考虑如右下图所示的回路有：

当时，
① 回路内无的奇点。
所以：
②

所以：
③ 求

因为，所以当时，且
即有：
④

综合①②③④可得：当时，有

同理可得：
所以：

4.2-18
解：令，因为中含有因子，且，所以为多值函数，
它有两个枝点和，每绕或一圈，辐角增加，就多出
因子，即，从而也多出这个因子。从起沿实轴正向
作切割直向，考虑如下图所示的回路，有：

当时，有
①

②
③
所以
④
⑤
所以
综合①②③④⑤可得：当时，有

即：

4.2-19 （在积分路径上根号取正值）
解：
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