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单击以编辑,母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢您,第九章,第五节,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、一个方程所确定隐函数,及其导数,二、方程组所确定隐函数组,及其导数,隐函数求导方法,1/31,本节讨论,:,1),方程在,什么条件,下才能确定隐函数,.,比如,方程,当,C,0,时,不能确定隐函数,;,2),在方程能确定隐函数时,研究其,连续性、可微性,及,求导方法,问题,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2/31,一、一个方程所确定隐函数及其导数,定理,1.,设函数,则方程,单值连续函数,y=f,(,x,),并有连续,(,隐函数求导公式,),定理证实从略，,仅就求导公式推导以下：,含有连续偏导数,;,某邻域内,可唯一确定一个,在点,某一邻域内满足,满足条件,机动 目录 上页 下页 返回 结束,导数,3/31,两边对,x,求导,在,某邻域内,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,4/31,若,F,(,x,y,),二阶偏导数也都连续,二阶导数,:,则还有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,5/31,例,1,.,验证方程,在点,(0,0),某邻域,可,确定一个,单值可导隐函数,解,:,令,连续,由 定理,1,可知,导隐函数,则,在,x=,0,某邻域内方程存在单值可,且,机动 目录 上页 下页 返回 结束,并求,6/31,机动 目录 上页 下页 返回 结束,7/31,两边对,x,求导,两边再对,x,求导,令,x,=0,注意此时,导数另一求法,利用隐函数求导,机动 目录 上页 下页 返回 结束,8/31,定理,2.,若函数,某邻域内含有,连续偏导数,则方程,在点,并有连续偏导数,定一个单值连续函数,z=f,(,x,y,),定理证实从略,仅就求导公式推导以下,:,满足,在点,满足,:,某一邻域内可唯一确,机动 目录 上页 下页 返回 结束,9/31,两边对,x,求偏导,一样可得,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,10/31,例,2,.,设,解法,1,利用隐函数求导,机动 目录 上页 下页 返回 结束,再对,x,求导,11/31,解法,2,利用公式,设,则,两边对,x,求偏导,机动 目录 上页 下页 返回 结束,12/31,例,3.,设,F,(,x,y,),含有连续偏导数,解法,1,利用偏导数公式,.,确定隐函数,则,已知方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,故,13/31,对方程两边求微分,:,解法,2,微分法,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,14/31,二、方程组所确定隐函数组及其导数,隐函数存在定理还能够推广到方程组情形,.,由,F,、,G,偏导数组成行列式,称为,F,、,G,雅可比,(Jacobi),行列式,.,以两个方程确定两个隐函数情况为例,即,雅可比 目录 上页 下页 返回 结束,15/31,定理,3.,某一邻域内含有连续偏导数,设函数,则方程组,单值连续函数,且有偏导数公式,:,在点,某一邻域内可,唯一,确定一组满足条件,满足,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,16/31,定理证实略,.,仅推导偏导数公式以下：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,17/31,有隐函数组,则,两边对,x,求导得,设方程组,在点,P,某邻域内,公式 目录 上页 下页 返回 结束,故得,系数行列式,18/31,一样可得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,19/31,例,4.,设,解:,方程组两边对,x,求导，并移项得,求,练习,:,求,机动 目录 上页 下页 返回 结束,答案,:,由题设,故有,20/31,例,5.,设函数,在点,(,u,v,),某一,1),证实函数组,(,x,y,),某一邻域内,2),求,解,:,1),令,对,x,y,偏导数,.,在与点,(,u,v,),对应点,邻域内有连续偏导数,且,唯一确定一组单值、连续且含有,连续偏导数反函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,21/31,式两边对,x,求导,得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则有,由,定理,3,可知结论,1),成立,.,2),求反函数偏导数,.,22/31,机动 目录 上页 下页 返回 结束,从方程组,解得,同理,式两边对,y,求导,可得,23/31,内容小结,1.,隐函数,(,组,),存在定理,2.,隐函数,(,组,),求导方法,方法,1.,利用复合函数求导法则直接计算,;,方法,2.,利用微分形式不变性,;,方法,3.,代公式,练 习,1.,设,求,机动 目录 上页 下页 返回 结束,24/31,解,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,25/31,解法,2.,利用全微分形式不变性同时求出各偏导数,.,第六节 目录 上页 下页 返回 结束,由,d,y,d,z,系数即可得,26/31,2.,分别由以下两式确定,:,有连续一阶偏导数,又函数,设,解,:,两个隐函数方程两边对,x,求导,得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解得,所以,27/31,3.,设,是由方程,和,所确定函数,求,解法,1,分别在各方程两端对,x,求导,得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,28/31,解法,2,微分法,.,对各方程两边分别求微分,:,化简得,消去,机动 目录 上页 下页 返回 结束,可得,29/31,解,:,二元线性代数方程组解公式,30/31,雅可比,(1804 1851),德国数学家,.,他在数学方面最主要,成就是和挪威数学家阿贝儿相互独,地奠定了椭圆函数论基础,.,他对行列,式理论也作了奠基性工作,.,在偏微分,方程研究中引进了“雅可比行列式”,并应用在微积分,中,.,他工作还包含代数学,变分法,复变函数和微分方,程,在分析力学,动力学及数学物理方面也有贡献,.,他,在柯尼斯堡大学任教,18,年,形成了以他为首学派,.,31/31,
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