《衍生金融工具》第十一章-股票价格的行为模式.pptx

单击此处编辑母版标题样式,#,第,十,一章,股票价格的行为模式,1,1,本章导读,本章介绍几种常用的连续时间随机过程,并利用这些随机过程来描述公司股票价格在市场上的变化情形。学习本章要求了解并能区别各种随机过程,(,马尔可夫过程,维纳过程,伊藤过程,),之间的差异,能够运用适当的随机过程来描述股票价格变动,并且能够使用伊藤引理来解释连续时间下的股票价格变动。,连续时间随机过程在理解和推导期权及其他复杂衍生金融工具的定价中扮演着至关重要的角色。本章将介绍比较几种常用的随机过程,让读者了解随机过程公式中各个参数所代表的实际意义，并介绍一个重要的结论,伊藤引理，它是随机微积分的核心工具。为了让读者更易于了解,其推导将会放在本章附录中。,2,知识结构图,股票价格的行为模式,随机过程,有效市场假说与马尔可夫过程,维纳过程,一般化的维纳过程,伊藤过程,股票价格的行为过程,伊藤引理,伊藤引理,远期合约下的应用,股票价格对数变化,3,第一节,随机过程,观察图,11-1,所示的上证指数从上世纪,90,年代交易以来的波动情况，它看上去像是在随机漫步。金融中，通常用随机过程来刻画这种无规律的运动。,图,111,上证指数历史走势图,假设,=,是随机试验的样本空间，,T,是一个参数集（通常是时间），如果对于每一个,tT,，都有随机变量,X(,t)R,与之对应，则称依赖于,t,的一族随机变量,X(,t),为随机过程，也称为随机函数。,4,第一节,随机过程,通俗地讲，随机过程,(stochastic process),可以看成两个自变量,状态和时间,的函数。和普通的确定性函数不同的是，第一个变量本身是随机的，对应一个样本随机试验的结果，比如抛硬币。,随机过程习惯上有多种简单记法，如,X(t),t0,T,，或者,(X,t,),t0,T,。这时对它有多种理解：,(1),当,t,都是变量时，,X(,t),是一个时间函数族，表示一个随机过程；,(2),当,给定为,*,，,t,为变量时，,X(,*,t),是一个时间上的函数，称它为一个样本路径；,(3),当,t,固定在某一时刻,t,*,，,x(,t,*,),是一个普通的随机变量,(4),当都固定时，,X(,*,t,*,),是一个确定的函数值。,需要指出的是，状态变量和时间变量可以是离散或者连续的情形。比如通常的时间序列过程就是离散的随机过程。另外，随机过程,X(,t),在某一时刻所呈现的数值也可以是高维随机向量，比如描述股票、债券、期权等形成的组合的价格随机过程，则有,X(,t)R,n,.,5,第一节,随机过程,一、,有效市场假说与马尔可夫过程,有效市场假说基本的假设是投资者会利用可以获得的信息去交易,因此股票价格应该充分反映了现有的信息,也就是投资者无法利用现有的信息去判断股票价格未来的走势。而依照投资者可以获得的信息集合的大小,法玛,(Fama,1970),提出了有效市场假说,(efficient market hypothesis),的三种形态,:,弱式有效,半强式有效,以及强式有效，分别对应过去、现在及未来的信息是否能反映未来的股票价格走势。,一般认为市场应该至少是弱式有效的，即历史信息无法预测未来股票价格的走势。这意味着，弱式有效市场的假设和数学上的马尔可夫过程是一致的。,离散的马尔可夫过程可以定义如下,:,E(P,t+1,|P,t,P,t-1,P,t-2,)=E(P,t+1,|P,t,)(11.1),简单来说,在马尔可夫过程中，变量的未来预期值只受当前信息的影响,与历史信息无关，即变量的历史值以及如何达到目前的现值对于未来没有预测能力。,18,注,18,：马尔可夫同样有连续时间下的版本,其基本的意义与离散时间下的定义并无基本差异。同样是历史价值及走向对于股票价格未来的运动不具有预测性。,6,第一节,随机过程,二、,维纳过程,布朗运动,(Brownian motion),最早是指悬浮于液体中的花粉微粒受到液体分子的随机碰撞产生的随机运动，又称维纳过程,(standard Wiener process),，因为维纳最早在数学上定义布朗运动。,定义,:,在连续时间下，一个标准维纳过程,W(t),在区间,0,T,必须满足下列三个条件,:,(1)W(0)=0,。,(2),对于任何,0stT,W(t)-W(s),N(0,1),其中,N(0,1),是均值为,0,、方差为,1,的正态分布。,(3),对于任何,0stut,维纳过程中的随机性被放大。,类似微积分取极限的思想,当,t0,并且形式上将上述定义中的,z,以,dz,的方式来表示，则得到连续情形下的布朗运动。严格来说，布朗运动处处连续，处处不可微，但是为了记号的方便性，形式上仍写成微分,dz,，这一记法被所有的文献资料认可和接受。,注：,19.,读者可以在,Excel,中利用函数命令,ExcelSQRT,（,0.01,）,*NORMSINV(RAND(),生产所需的随机变量,9,图,113,不同时间区间大小下的维纳过程,第一节,随机过程,三,、,一般化的维纳过程,若假设一只股票的价格变动遵循标准的维纳过程，我们很快会发现这样的假设存在很大的问题。首先,因为标准维纳过程的变动量的均值为,0,所以今天的股票价格以及五年后的预期股票价格是一样的,也就是假如买进一只股票,五年之间的平均收益率将为,0,。投资学的基本原理认为,:,由于股票有风险,股票的平均收益率应该高于无风险利率。其次,如果股票价格均遵循标准维纳过程,则所有股票的波动率将会一样。显然，两家不同基本面的公司，使用不同的财务杠杆,波动率应该不同。再次，股票价格是非负的，直接用标准的维纳过程来拟合股票价格是不现实的。这些限制使得我们必须进一步将标准维纳过程一般化,以贴近股票价格的运行模式。,标准维纳过程,dz,的漂移率,(drift rate),为,0,，波动率,(variance rate),为,1,。所谓漂移率是指随机过程每单位时间内的变化的期望值，漂移率为,0,指的是未来任一时点下,z(t),的期望值等于当前的现值。波动率为,1,指的是变量,z,在单位时间的根方差为,1,。将标准维纳过程的漂移率和波动率一般化，可得一般化的维纳过程,(generalized Wiener process),。利用标准维纳过程,z,来定义一个一般化的维纳过程变量,x,如下,:,dx=adt+bdz(11.2),其中，漂移率,a,，波动率,b,均是常量。,10,第一节,随机过程,三,、,一般化的维纳过程,为了理解式子（,11.2,），可以将该式依照加号的位置分成两个部分。,首先,如果不考虑,dz,的部分,（或者在式子两边求期望，消掉,dz,项），则得,:,dx=adt,记,x,的初始值,x,0,则两边积分得,x(t)=x,0,+at,只要知道时间,t,就可以确定地推算出当时的,x(t),。如果,a,为正,则当观测的时间越长,x(t),的值就会越大,因此,a,决定了均值成长的速度,所以称为漂移率。,现在再来看被忽略的,bdz,部分。,bdz,是一个平均为,0,的随机变量，即它不会对,x,的均值产生影响。代入,dz,的表达式，得,bdz=b,(11.3),其中,服从标准正态分布。因此,包含,bdz,项的,dx,也服从正态分布。,b,越大，时间,t,越长，则变量波动就越大。,11,第一节,随机过程,三,、,一般化的维纳过程,【,例,112】,假设已知一公司的总价值,z,遵从标准维纳过程且目前公司总资产为,50,亿元。公司总资产变动的均值为每年,10,亿元,标准差为,20,亿元。其中时间的衡量单位为年。如果我们想要预测一年后,z,的值,z(1),z(1),应该会呈现均值为,60,、标准差为,20,的正态分布。六个月后的,z,值,z(0.5),应该会呈现均值为,55,、标准差为,20,=14.14,的正态分布。四年后的,z,值,z(4),应该会呈现均值为,90,、标准差为,20,=40,的正态分布。,图,113,显示了不同维纳过程的差别。注意，为方便对比，此处的随机扰动项保持一致,2,。其中,a=0,b=1,代表了标准维纳过程。,a=3,b=0,的虚线代表了漂移率带来的影响，照均值按照斜率为,3,的速率上扬。比较剩下的两条线,a=3,b=1,以及,a=3,b=2,两条线平均而言都具有上升趋势,但是可以看出,波动率较小的路径变化较小,也会比较靠近趋势线。,注,20,：程序中，可以设定伪随机的种子为时间。,12,图,113,不同漂移率以及波动率下的一般化维纳过程,第一节,随机过程,三,、,一般化的维纳过程,综上，可以得出,:,(1)E(x)=at;,(2)(x)=b,。,同样，考虑长时间,T,下,x,的变动量,我们也可以得出,:,(1)Ex(T)-x(0)=aT;,(2)(x(T)-x(0)=b,。,实际上，第,10,章介绍的二叉树模型,若将时间区间取极限到无限小时,得到的结果就是股票价格服从一般化的维纳过程。,13,第一节,随机过程,四,、,伊藤过程,进一步，允许一般化的维纳过程中的,a,，,b,受时间及变量当前值的影响,则这样的过程又称为伊藤过程,(Ito process),。记为,:,dx=a(x,t)dt+b(x,t)dz (11.4),其中,dz,是一个标准维纳过程,参数,a,和,b,是标的变量,x,和时间,t,值的函数。变量,x,的漂移率为,a,波动率为,b,。即伊藤过程的期望漂移率和波动率都随时间推移而变化。,14,第二节,股票价格的行为过程,在上节假设股票的价格遵循一般化的维纳过程时，仍然存在一个问题没有解决，即股票价格不能为负。另外，同样是,1,元钱的股票价格变动,如果现在股票的价格是,100,元,那么这样的变动只相当于,1%,的变动率。但是如果现在股票的价格是,10,元,那么这样的变动就相当于,10%,的变动率。由于股票的预期收益率通常不会随着价格高低而变动,因此在金融中,我们通常假设股票价格的收益率遵循一般化的维纳过程，或者股票价格对数收益率遵循一般化的维纳过程，以保证股票非负。,*,假设股票的价格为,S,则股票的瞬时的算术收益率可以定义为,dS/S,。定义股票的预期收益率为,标准差为,那么股票收益率为,:,dS,t,/S,t,=dt+dz (11.5),或者,dS,t,=S,t,dt+S,t,dz (11.6),这样的股票价格变动过程称为几何布朗运动。注意到此时股票的预期收益率，即漂移率对应的是连续时间下的收益率，于是股票的期望价格将按照几何指数增长，考虑,dS,t,=S,t,dt,两边对,t,积分,并假设当,t=0,时,S=S,0,那么当,t=T,时,S,T,将为,:,S,T,=S,0,(11.7),显而易见的是,这里的收益率为连续复利下的收益率。,注：*实际上假设股价的变动率遵循正态分布还是可能有问题的。基本的原因是股价不能是负的,因此股价的成长率最低只能到,-100%,。而在正态分布之下有极小的可能会出现低于,-100%,的情况。这样的假设一般不会显著影响到推论的结果,因此可以暂且不论。此外,如果假设股票的价格呈正态分布,则得到负的股价的可能性更高,这样的问题影响会更大。,*,一般来说这里的预期收益以及标准差会用股票市场上的历史数据得出,或者使用资产定价模型,例如资本资产定价模型或法玛 弗伦奇三因子模型等来估计。,15,第二节,股票价格的行为过程,专栏,111,中国市场收益率的独立性,在本章讨论股票的行为过程,以及下一章推导布莱克,-,斯科尔斯期权定价公式的时候,我们都会使用本章的随机过程。但是假设股票的收益率之间是独立的并不一定符合现实。在国外的股市中,如果以月份来衡量,那么相邻月份之间的自相关系数一般都很接近零；而如果以天为单位，那么市值较小或是交易量较低的股票很容易出现自相关,从而使本章的假设遇到挑战。,中国的股票因为市场化程度不高,加上个人投资者较多,相邻时间的收益率之间的独立性假设可能存在较大的问题。为了检查这样的假设是否符合中国市场的现实,我们可以利用一个简单的测试方法。,一般来说,要判断一个时间序列是否随机,可以使用一种叫做波动率的方法。波动率的定义是将利用较长时间计算的根方差,(,例如年度收益率的根方差,),除以较短时间计算的根方差,(,例如月份收益率的根方差,),。计算出来的结果再除以一个调整的基数,这个基数基本上就是较长时间除以较短时间。例如如果选取的时间间距分别为年以及月,那么这里的调整就是,12,。由基本的统计知识可知,如果每个时段之间的收益率为独立的,那么波动率应该刚好为,1,。如果波动率大于,1,代表这个收益率的时间序列有正自相关性或是在每个长的时间段内,(,例如每年,),以短时间衡量的收益率,(,例如月度收益率,),有趋势。如果波动率小于,1,那么收益率的时间序列有正自相关性，或在每个长的时间段内,(,例如每年,),以短时间衡量的收益率,(,例如月度收益率,),具有均值反转的现象。,16,第二节,股票价格的行为过程,专栏,111,中国市场收益率的独立性,现在我们可以检验中国股市的情况。这里利用,2007,年,5,月到,2011,年,4,月间的上市公司每个月份收益率的资料,计算各公司月收益率的自相关以及波动率,结果列在表,111,和图,114,中。,表,111,个上市公司波动率分布 图,114,上市公司月收益率自相关性的分布,17,大于,小于,所占比率,(%),0.25,20.6,0.25,0.50,29.4,0.50,1.00,29.8,1.00,2.00,15.3,2.00,4.9,第二节,股票价格的行为过程,专栏,111,中国市场收益率的独立性,从上面的数据可以看出,如果以波动率来看,大约,80%,的公司的波动率都小于,1,。如果直接计算月收益率的自相关性,大约,68%,的公司的月收益率呈现负自相关。结果表明,:,当我们运用本章介绍的随机过程来模拟中国股票价格的行为模式的时,务必要小心。这种现象可能会降低期权定价模型的准确性。当然,不排除这里选择的时间较短,(,只有五年,),可能在这段时期中国的股市刚好存在这样的现象。,在离散时间模式下进一步考虑实际应用中漂移率以及波动率的选择，忽略时间下标,t:,S/S=t+,(11.8),或者,S=St+S,(11.9),假设,t=1,并且时间是以年为单位,那么容易看出股票价格的收益率遵循正态分布,即,:,S/S,N(,),此时，,是股票的年平均收益率,则为股票收益率的标准差。现在把时间缩短,例如考虑三个月后股价的分布,则利用公式,S/S,N(t,),如果时间是以年为单位,则三个月的,t=0.25,。,*,可以看出三个月内的股价变动率将约等于年度变动率的四分之一,而标准差则为年度标准差的二分之一。,*,注：,*,如果要找每一天的均值与方差,一般来说这里可以使用历日来计算,也就是每一点的变动量为,1/365,。有时候也可以使用交易日数来计算。在美国一般是使用,252,天,而中国是使用,250,天。这样的差异在计算月均值及方差时就不太有影响了。,*,这里三个月的股价成长率实际上不会刚好等于年度变动率的四分之一。基本的原因如前文所述,股价的变动率衡量的单位应该是连续复利下的利率。这里算出来恰好是四分之一是因为我们使用的是离散时间下的估计值。,18,第,三,节,伊藤引理,至此，我们已介绍了三种随机时间下的过程,:,标准维纳过程,一般化的维纳过程,以及伊藤过程。从伊藤过程我们可以看出，衍生金融产品的价格通常是时间和标的资产价格的函数，因为标的资产价格是随机的，所以这是一个随机函数。随机函数的微积分运算需要运用到一个重要的结论，伊藤引理,(Its lemma),。它是日本数学家,K.Itozai1951,年发现的。伊藤引理在下一章布莱克,-,斯科尔斯期权定价及其他衍生金融产品的定价推导中扮演十分重要的角色。,伊藤引理的内容是这样的。,假设已知的一个随机变量,x,遵循伊藤过程,:,dx=a(x,t)dt+b(x,t)dz (11.10),其中,dz,是标准的维纳过程。那么，依赖于,x,，,t,的函数,G(x,t),的全微分遵循下列公式,:,dG=(,a+,+,)dt+,bdz=A(x,t)dt+B(x,t)dz (11.11),式子中的,dz,是与（,11.10,）同样的标准维纳过程。可以发现,G(x,t),也是一个伊藤过程，其漂移率为,A(x,t)=,a+,+,(11.12),其方差将为,(x,t)=,(11.13),伊藤引理数学上的严格证明超出了金融学生的范围，在本章的附录我们沿用金融中通常的做法，将伊藤引理视为泰勒展式下微分运算的一种延伸。有兴趣的读者可以参考附录,即使不了解推导过程,也不会影响之后期权定价公式的推导。,19,第,三,节,伊藤引理,伊藤引理主要是为后面将要讨论的布莱克 斯科尔斯期权定价模 型提供足够的理论背景。这样的内容看似偏向于理论而与实务无法结合。实际上,伊藤引理以及之前的各种随机过程在金融工程上有许多相关的应用。,例如,在广发证券罗军与胡海涛于,2010,年,12,月,2,日撰写的,基于伊藤引理的股指期货跨期套利策略,研究报告中,就利用了伊藤引理来设立跨期套利策略。他们发现虽然使用伊藤引理的套利不见得能够比使用常见的移动均值回归策略有更高的收益率,但是在两者都能获得极高报酬的情况下,基于伊藤引理所推导出的策略能提供更为稳健的收益率,也代表这样的策略具有较低的风险。,伊藤引理除了在衍生产品的定价上有着重要的地位,在固定收益证券,尤其是在利率结构的理论讨论上。在著名的,Vasicek,（,1977),的文章中,他就在即期利率遵循随机扩散过程下推导了相关的利率结构以及债券的定价。,下面，我们举个例子以便理解伊藤引理的运用，更深入的运用以后会在期权及其他衍生产品的定价中。,20,第,三,节,伊藤引理,一、,远期合约下的应用,假设市场上存在标的股票指数的远期（或期货）合约,并且假设该股票不付息。如果无风险利率,r,为常数，那么在之前章节的学习中,我们知道,:,F,t,=S,t,(11.14),其中,F,t,以及,S,t,分别为远期合约及其标的股票,t,时刻的现价,而其到期日为,T,。,假设股票指数的价格变动率遵循,(11.5),的几何布朗运动,也就是,:,dS=Sdt+Sdz,因为,F,只受,S,以及,t,的影响,记为函数关系,F(S,t),，由简单的微分可得,:,=,=-rS,)=0,21,第,三,节,伊藤引理,一、,远期合约下的应用,代入伊藤引理,可以得到,:,dF=,S-rS,dt+,Sdz (11.15),运用,F=S,我们可以将上述公式简化为,:,dF=(,-r)Fdt+,Fdz (11.16),或者,dF/F=(,-,r)dt+,dz (11.17),从中可以看出,远期（或期货）合约的价格也遵循几何布朗运动。当,r,时，远期（或期货）的期望价格有向上的趋势，则理论上，做多股指期货的概率应该大于做空的概率,22,第,三,节,伊藤引理,二,、,股票价格对数变化,先定义,G=lnS,则我们可以求得,:,=,=,-,=0,如果,S,仍如上述远期合约中定义的移动方式，那由于,G,是,S,的函数，我们可以再次利用伊藤引理来进行计算。则有：,dG=,（,-,）,dt+,dz,由于股票的期望收益以及标准均假设为常数，即,G,遵循一个漂移率为,:,-,，方差为,2,的一般维纳过程，则：,lnS,T,-lnS,0,=ln,N(-,),G,从,0,到,t,之间的变化，即是这段时间的对数收益，其对数化收益的均值为（,-,，方差为,2,T,。,23,本章,小结,本章首先介绍随机过程的定义，然后依次介绍了马尔可夫过程、维纳过程、一般化的维纳过程和伊藤过程的特征，特别是一般化的维纳过程和伊藤过程中漂移率和波动率的定义及相关计算。,特别地，我们利用几何布朗运动来描述股票价格收益率的变动。读者应该注重股票收益率随机过程描述的方式,以及将几何布朗运动用于描述股价变动的合理与不合理之处。,本章的最后介绍了连续时间下随机过程中极重要的伊藤引理,并利用远期合约价格以及股票对数变动的例子来说明如何使用伊藤引理。,24,The ending,！,25,