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第1讲 逻辑推理
我们常会见到这样一类题目，没有或很少给出什么数量关系，解决问题的主要方法不是依靠数学概念、法则、公式进行运算，且较少用到专门的数学知识，而是根据条件和结论之间的逻辑关系，进行合理的推理，最终找到问题的答案，这就是逻辑推理问题.

例1 一次数学测验，A，B，C，D，E，F中有一人得了100分，老师让他们猜一猜是谁得了100分．
A：或者是E，或者是F．
B:是我得了100分．
C:是D得了100分．
D:不会是B得了100分．
E:不会是C得了100分．
F:不会是我，也不会是E．
老师说：你们只有两个人猜对了．那么，谁得了100分呢？

思维点拨 从这六个人的话中可以看出，A与F的话、B与D的话相互矛盾，也就是说，每一对中两个人的话必然是一真一假．根据“只有两个人猜对了”这个条件，得出C与E必为假话，由E猜错可知，是C得了100分．

例2 三块正方体，它们的六个面都按相同规律标有1，2，3，4，5，6．请你判断一下，2的对面是几?5的对面是几?6的对面是几？

(1) (2) (3)

思维点拨 从图(1)，(3)可看出，2的对面不可能是5，6，1，4，那么2的对面一定是3．从图(1)，(2)可以看出，5的对面不可能是2，6，1，3，那么5的对面一定是4．剩下的6的对面一定是1．

例3 位学者在几年前逝世，逝世时的年龄数是他出生年份数的，这位学者在1955年主持学术会议时是多少岁？

思维点拨 由题意，出生年份数应是29的倍数，又因为他在1955年主持过会议，因此出生的年份应小于1955.可以把小于1955且是29的倍数的数列举出来：1943，1914，1885，1856，…，可以分析出生在1885年或1943年均不合理．只有出生在1914年才符合事实．

例4 甲、乙、丙、丁四人进行有趣的会谈，用了汉、英、德、俄四种语言．情况如下：
(1)甲、乙、丙各会两种语言，丁只会一种语言；
(2)有一种语言，四人中有三人都会；
(3)甲会俄语，丁不会俄语，乙不会英语；
(4)甲与丙、丙与丁不能直接交谈，乙与丙可以直接交谈；
(5)没有人既会俄语，又会德语.
问甲、乙、丙、丁各会何种语言.

思维点拨 这是条件比较复杂的问题，应使用列表法进行分析推理，这样有助于解题，列表格时，在肯定的一格打“√”在否定的一格打“×”．

例5 已知在每个正方体的6个面上分别写着1，2，3，4，5，6这6个数，并且任意两个相对的面上所写的两个数的和都等于7，现在把5个这样的正方体一个挨着一个地连接起来(如图)，在紧挨着的两个面上的两个数之和都等于8，那么图中打“？”的这个面上所写的数是几？

思维点拨 根据题意容易推出1的对面是6，挨着6的面是2；2的对面是5，挨着5的面是3；3的对面是4，6的对面是1．因此第3个正方体左右两面只能是2与5．到底左端是2还是5呢？我们不妨作出假设.
假设左端是5，则其对面是2，挨着2的面是6，6的对面是1，挨着1的面(最右边一块的左面)就应该是7，与题意不符．所以最左端只能是2，2的对面是5，挨着5的面是3，3的对面是4，挨着4的面是4，4的对面是3．

例6 有一次数学竞赛，共有6道题，均是是非题，正确的画“√”，错误的画“×”，每题答对得2分，不答得1分，答错得0分，王、张、赵、杨的答案如下表，杨得了多少分？

思维点拨 由得分情况及答题数量知，张对4道，错1道，未答1道，王、赵各对3道，错2道，未答1道，因为王、张有3道的答案不同，且王、张共错3道，所以两人的错题只能是(3)(4)(6)3道题，由此得到剩下3题的正确答案：(1)×，(2)√，(5)√．比较知赵的答案，(2)(5)题错，其余已答的题都对，得(3)×，(4)√．因为张只错1道，(4)题已错，故(6)题正确，故(6)×，对照正确答案，杨对4道，错2道，得8分．

●课内练习
1．某校运动会上，A，B，C，D，E，F六人参加百米决赛，对于谁是冠军，甲、乙、丙、丁四人有以下猜测：
甲说：冠军不是A就是B.
乙说：冠军不是C．
丙说：D，E，F都不可能是冠军．
丁说：冠军是D，E，F中的一人，
比赛结果是，这四人中只有一人的猜测是正确的．请你判断谁得了冠军．

2．如下图，3块正方体按同样的规律涂有红、黄、蓝、白、黑、绿6种颜色．请你判断黄、白、红的对面分别涂什么颜色．

(1) (2) (3)

3．刘强、马明、李刚三个男孩各有一个妹妹，六个人进行乒乓球混合双打比赛．事先规定：兄妹不许搭档，
第一场：刘强和小丽对李刚和小英.
第二场：李刚和小红对刘强和马明的妹妹．
问：三个男孩的妹妹分别是谁？
4．小秋的书架上有一些书，其中是故事书，是文艺书，书的本数在100～150之间，他有多少本书？

5．一个正方体木块放在桌子上，每一面都有一个数，位于对面上的两个数之和都等于13．小张能看到顶面和两个侧面，看到的三个数之和是18.小李能看到顶面和另外两个侧面，看到的三个数之和是24.那么挨着桌子这个面的数是多少？

6．A，B，C，D，E五入在一次满分为100分的考试中，得分都是大于91的整数，如果A，B，C的平均分为95分，B，C，D的平均分为94分，A是第一名，E是第三名，得96分．那么D的得分是多少？

●课外作业
1．甲、乙、丙三人进行跑步比赛.A，B，C三人对比赛结果进行预测．
A说：“甲肯定是第一名．”
B说：“甲不是最后一名．”
C说：“甲肯定不是第一名．”
其中只有一人对比赛结果的预测是对的．是谁预测对了？

2．下图是标有1，2，3，4,5，6数字的同一正方体的三种不同摆法，求三个正方体朝左那一面的数字之积是多少．

(1) (2) (3)

3．甲、乙、丙在南京、上海、北京工作，他们的职业分别是工人、记者、教师．现在知道：
(1)甲不在南京工作；
(2)乙不在上海工作；
(3)在南京工作的不是教师；
(4)在上海工作的是工人；
(5)乙不是记者.
三人各在什么地方工作？各是什么职业？

4．小糊涂对小博士说：“我想把54个围棋子放进10个盒子，每个盒子里都有围棋子，且每个盒子中的棋子数各不相同．”小博士听了，笑着说：“小糊涂你又糊涂了，你说的情况根本办不到．”小博士为什么能判断出这种情况根本办不到？

5．下面的图是飞行棋的一颗骰子，根据图中A，B，C三种状态显示的数字，请你推出“？”处的点数是几．

A B C

6．甲、乙、丙三名同学参加了一次标准化考试，试题共10道，都是判断题，正确的画“√”，错误的画“×”，每道题1分，满分为10分，他们的答卷如下表：

成绩公布后，三人都得7分，请你给出各题的正确答案．

7．甲说：“我13岁，比乙小2岁，比丙大1岁”．
乙说：“我不是年龄最小的，丙和我差3岁，丙是16岁”，
丙说：“我比甲年龄小，甲14岁，乙比甲大3岁”，
以上每人所说的三句话中，都有一句是错误的．请你确定甲、乙、丙三人的年龄．

8．A，B，C，D四人进行乒乓球比赛，每两个人之间都要赛一场，结果A胜了D，并且A，B，C三人胜的场数相同，问D胜了几场．

9．六(1)班共44人，从A，B，C，D，E5名候选人中选举班长，A得票23张，B得票占第2位，C，D两人得票相同，E得票最少，得4票．那么B得票多少张？

10．已知，，是3个最简真分数，A，B，C都是自然数，如果每个分数的分子都加上A，分母保持不变，得到的3个新数之和等于2，那么A,B,C各为多少？

你知道吗
1918年，英国著名数学家罗素(B．A.W.Xusse11，1872～1970)引述了一个悖论．
据说从前有一个村，规定理发师的职责是“专为村上所有不自己刮胡子的人刮胡子，而且只给这样的人刮胡子．”
按照这个规定，理发师可不可以自己刮胡子呢？理发师陷入了自相矛盾的窘境：刮也好，不刮也好，都违反规定！
这种自相矛盾的言论、概念，数学上叫做“悖论”，上面所说的就是著名的“理发师悖论”．

第2讲 列方程解应用题
列方程解应用题是运用方程知识来解决实际问题，很多稍复杂的应用题，特别是需要逆向思维的题，运用算术方法解答有一定的困难，列方程解答就比较容易．
列方程解应用题的关键是正确地设立未知数，找出等量关系，从而建立方程．
列方程解应用题的一般步骤是：
1．弄清题意，找出未知数，并用x表示；
2．找出应用题中数量之间的相等关系，列方程；
3．解方程；
4．检验，写出答案．
例1 六(1)班有58人，六(2)班有26人，从六(1)班调多少人到六(2)班，才能使六(2)班人数比六(1)班人数的2倍少9人？

思维点拨 我们可以设从六(1)班调x人到六(2)班，那么，调动后六(1)班有(58－x)人，六(2)班则有(26＋x)人．再根据调动后“六(2)班人数比六(1)班人数的2倍少9人”这个条件，就可以列出方程：26＋x＝2(58－x)－9．

例2 有甲、乙、丙三个数，乙数是甲数的5倍，丙数比乙数少4，且三个数的和是95，求这三个数，

思维点拨 这道题中有三个未知量，根据数量关系，设甲数为x，则乙为5x，丙为5x－4，再根据三个数的和为95，就可以列出方程了．

例3 光明小学体育器材室里，足球的个数是排球的2倍．体育课上，每班借8个足球，5个排球，排球借完时，足球还有48个．体育器材室原有足球、排球各多少个？

思维点拨 我们如果设原有排球x个，则原有足球2x个，借出的足球有(2x－48)个．用借出的球数除以每班借的球数就得到班级数，即班级数可以表示为(T÷5)，也可以表示为(21，－48)÷8，即可得方程x÷5＝(2x－48)÷8，这个方程解起来比较麻烦．如果我们设光明小学有x个班，则排球数为5x，足球个数为( 8x＋48)，再根据“足球个数是排球的2倍”就可以列出方程：5x×2＝8x＋48．

例4 一个两位数，十位上的数字比个位上的数字少1，如果十位上的数字扩大到4倍，个位上的数字减去2，那么，所得的两位数比原来大58，求原来的两位数.

思维点拨 要求原来的两位数，就
要先求出十位数字和个位数字，如果设两位数的个位数字是x，则十位上的数字是(x－1)，原来这个两位数是10×(x－1)＋x，把十位数字扩大到4倍，是4(x－1)，个位上的数字减去2，是(x－2)，现在的两位数为10×4(x－1)＋(x－2)，根据题意可列出方程.

例5 有—个水池，第一次放出全部水，第二次放出40立方米，第三次又放出剩下水的，池里还剩水56立方米，全池蓄水多少立方米？

思维点拨 如果用x表示全池的蓄水量，那么第一次放出的水应为x，第二次放出的水是40立方米，第三次放出的水应是剩下的水的(x－x－40)×．有这样的等量关系：第一次放水量＋第二次放水量＋第三次放水量＋剩余水量＝全池蓄水量．

例6 两座粮仓，甲仓装粮食100吨，如果从乙仓中运出放到甲仓，这时，乙仓的粮食比甲仓少．求乙仓原有粮食多少吨？

思维点拨 设乙仓原有x吨粮食．运出x吨给甲仓，甲仓就有(100＋x)吨，乙仓只剩下x吨，再根据“这时乙仓比甲仓少”这个条件，就可以列出方程了．

●课内练习
1．甲仓有86吨货物，乙仓有42吨货物，从甲仓运多少吨货物到乙仓，才能使乙仓的货物比甲仓的2倍还少4吨？

2．甲、乙、丙三个数的和为112，丙数比乙数多4，乙数是甲数的4倍，求这三个数．

3．某小学图书馆里科技书的本数是故事书的3倍，活动课上，每班借7本科技书，5本故事书，故事书借完时，科技书还剩96本，图书馆里有科技书和故事书各多少本？

4．一个两位数，个位数字与十位数字之和为8，将个位数字与十位数字对调后，所得的新数比原来的数大54，求原来的两位数．

5．一辆汽车从甲地到乙地．第一小时行了全程的，第二小时行了80千米，第三小时行了剩下的，这时距乙地还有100千米，甲、乙两地相距多少千米？

6．甲仓有货物52吨，从乙仓运出到甲仓，这时乙仓比甲仓多，求乙仓原有货物多少吨．

●课外作业

1．甲布袋有280个玻璃球，乙布袋有40个玻璃球，从甲布袋取多少个放入乙布袋，才能使甲布袋的玻璃球比乙布袋的2倍还多35个？

2．希望小学的六年级有三个班，共有153人．六(1)班人数是六(3)班的1.12倍，六(2)班比六(3)班少3人，三个班各有多少人？

3．布袋里有红球和黄球若干个，红球比黄球的3倍多6个，若每次取出8个红球和4个黄球，当黄球正好取完时，红球还剩30个，袋子里原有红球、黄球各多少个？

4．一个六位数的左边第一位数字是1．如果把这个数字移到最右边，那么所得的六位数是原数的3倍，求原数．
5．两个集镇之间的公路除了上坡就是下坡，没有平路，客车上坡的速度保持为每小时
15千米，下坡则保持为每小时30千米．现知客车在两地之间往返一次，需在路上行驶
6小时，求两地之间的距离．

6．甲、乙两班各有一个图书室，共有303本书，已知甲班图书的和乙班图书的合在一起是95本．那么甲班图书有多少本？

7．西红柿和黄瓜共有180千克，西红柿的3倍比黄瓜的2倍少10千克，西红柿和黄瓜
各多少千克？

8．第一个正方形的边长比第二个正方形边长的2倍多1厘米，它们的周长之和是88厘米，它们的面积之和是多少？

9．甲、乙、丙三个数的和是218，已知甲数除以乙数、乙数除以丙数都是商3余2，甲、乙、丙三个数各是多少？

10.甲、乙、丙、丁四人共做零件265个，如果甲多做15个，乙少做5个，丙做的个数乘以2，丁做的个数除以3，那么四个人做的零件数恰好相等，问：丙做了多少？

你知道吗
列方程解应用题比阐算术方法解应用题有明显的优越性，即简单、快捷、正确.
什么叫方程呢?方程就是含有未知数的等式，把这个砉知数求出来，就叫做解方程．方程中的未知43通常都用x，y，x来表示，这是法国著名数学家、哲学家笛卡儿(R．Descaxtes，1596～1650)倡导使用的，常用a，b，c等表示已知量，用x，y，z等表示未知置．

第3讲 巧计算
在做分数计算题时，一般的分数计算题，只要能正确利用分数的基本性质、四则运算法则及定律，都能得到正确的结果，但有些稍难的分数计算题，若按常规的方法计算会很麻烦，而且很难得出正确的结果，又浪费时间．所以我们必须学会某些特殊的运算技巧，合理选择巧妙的方法使运算简便，从而节省时间，提高运算速度和解题的正确率．

例1 计算： －．

思维点拨 用一般的通分方法计算可以算出结果，但实在是太麻烦了．仔细观察会发现每个括号内都有，我们可以先把它看成一个整体，用一个字母来表示，使运算简化.

例2 计算：．

思维点拨 我们先仔细观察每个分数，它们的分子都是1，分母都可分解为两个连续自然数的积．于是每个分数都可拆分成两个分数的差：
，，
，.

例3 计算：．

思维点拨 仔细观察后很容易发现，每个分数的分子都是2，而分母都是两个相邻奇数的乘积，并且分子恰好等于分母的两个相邻奇数的差，则有，, ，，.

例4 计算：．

思维点拨 仔细观察后很容易发现，每个分数的分子都是1，而分母是两个差为3的自然数组成的乘积形式．我们可以将写成的形式，再运用乘法分配律把提取出来，就可以进行简便计算了．

例5 计算：.

思维点拨 本题先用等差数列求和公式将各分数的分母化简，再运用其他公式计算.

例6 计算：.

思维点拨 仔细观察本题的特一点，每一个分数总是其后一个相邻分数的2倍．据此特点可设原式为A，将A扩大2倍后得到2A＝，再用2A－A，便可以得到A的值了．

●课内练习
1．计算：．

2．计算：．

3．计算：．

4．计算：

5．计算：

6．计算：

●课外作业
1.计算：．

2．计算：．

3．计算：

4．计算：1－－－－－

5. 计算: 1－－－－…－

6．计算：

7．计算：．

8．计算：(3＋5＋7＋9)÷(1＋2＋3＋4).

9.计算： .

10.计算: .

你知道吗
传说德国伟大的数学家、物理学和天文学家高斯(C．F．Gauss，1777～1855)很小的时候就表现出了非凡的数学才能，他在10岁的那年还在读小学，一次老师出了一道1＋2＋3＋…＋100＝?的数学题目，老师刚说完，高斯就能答出等于5050．令同伴们都惊讶不已!
高斯不仅喜欢数学，还非常喜欢古代语，他在大学一年级发明了二次互反律，二年级得出正十七边形的尺规作图法，并给出了可用尺规作出的正多边形的条件，解决了两千年来悬而未决的难题，高斯的数学成就遍及数学的各个领域，被誉为历史上伟大的数学家之一．
高斯还在天文学和物理学方面作出许多重要贡献．

第4讲 估算的技巧
在日常生活、科学研究及工程建设中，往往会遇到比较复杂的计算，许多情况下，我们没有必要也不可能算出绝对精确的结果，这时，只需估算一个大致结果就可以了，估算常常运用取近似值、放与缩等技巧进行快速、近似的计算，这是一种十分重要的计算方法．熟练掌握这种算法不仅可以帮助我们解决问题，还可以用来检验计算结果是否正确．
例1 试用估算法检验下列计算是否正确．
534×＝543
思维点拨 因为一个因数小于1，所以积应小于另一个因数，而543大于534,所以计算错误．

例2 某校六年级三个班举行一次数学考试，六(1)班43人，平均分是81分，六(2)班46人，平均分是83分，六(3)班43人，平均分是85分，这三个班每人的平均分是( )分．
A．81 B．82 C．83 D．85

思维点拨 根据平均数的意义，三个班每人的平均分既不能低于或等于81分，也不能高于或等于85分，所以答案A，D都是错误的，因为六(1)班和六(3)班都是43人，若从六(3)班每个同学中取2分补给六(1)班的每个同学，平均分正好是83分，又与六(2)班的平均分相同，所以应选C．

例3 计算7.8＋7.98＋7.998＋···＋7.9999999998的整数部分是多少．

思维点拨 这道题有10个加数，分别是7.8，7.98，7.998，…，7.9999999998，从十分位起依次多一个9，两个9……九个9，把这十个数加起来，可以直接计算出结果，再确定整数部分是多少，但这样太烦琐了．实际上，和的整数部分只与十个数的个位、十分位、百分位上各数的和有关，而与百分位以下各位上的数的和没有太多关系，这样就可以减少计算的次数而得出和的整数部分．

例4 求下式的整数部分：
.

思维点拨 先确定分母部分最小不小于几，最大不大于几，便可确定分母部分的值的范围．若这个范围很小，就能算出该式的整数部分，因为分母部分一定比10个小，一定比10个大，从而可以得到该算式的值在200到200.9之间，从而得出该算式整数部分的确定值．

例5 一个四位数66能被134整除，求这个四位数除以134的商，
思维点拨 原四位数一定在6006到6996之间，容易求出商的范围，再利用整除性求出这个商.

例6 ，都是真分数，且＋≈1.38，那么＝ .

思维点拨 先用不等式估计＋的大小，列出不定方程，从而求出整数解．

●课内练习
1．试用估算法检验下列计算是否正确．
2054×1＝2036

2．某校六年级三个班举行一次数学考试．五(1)班41人，平均分是82分；五(2)班44人，平均分是83分；五(3)班41人，平均分是84分，这三个班每人的数学平均分是( )分．
A．82 B．84 C．83 D．83.5

3．求4.5＋4.65＋4.665＋…＋4.6666666665的整数部分．

4.求的整数部分．

5．求40÷(0.40＋0.41＋0.42＋…＋0.59)的商的整数部分是多少．

6．下式是用四舍五入的方法计算得到的三个真分数的和，十十≈1.35，
那么，三个自然数a＝( )，b＝( )，c＝( )．

●课外作业
1．试用估算法检验下列计算是否正确．
0.865×5.43＝4.6375

2．某车间加工一种机器零件，4人6小时能加工104个，照这样计算，10人加工260个零件，需要( )小时．
A.6 B．7 C．8 D.10

3．设A＝，求A的整数部分．

4.求的整数部分．

5．求10÷70＋11÷71＋12÷72＋…＋20÷80的整数部分．

6．有一个算式≈1.71，,算式左边方框里都是整数，右边答案是四舍五入后的近似值．求算式中方框里的整数分别是多少.

7．六(1)班共44名学生，A，B，C，D，E五名同学竞选班长．已知A得票最多，得23票，B第二名，C，D，E分别为三、四、五名，E得3票，问B最多得几票．

8．三个真分数≈1.35，那么x，y，y各是多少？

9．比较两式45678÷12345和56789÷23456的大小．

10．求的整数部分.

你知道吗
德国数学家高斯10岁的时候就能很快地算出1＋2＋3＋…＋100＝5050．那么
1＋2＋3＋…＋98＋99＋100＋99＋98＋97＋…＋4＋3＋2＋1＝?
你能很快算出来吗?宁宁能很快算出来，答案是10000，因为他记住了一个速算的方法.
请看： 1＋2＋1＝4＝22
1＋2＋3＋2＋1＝9＝32
1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝16＝42
…
刚有公式： 1＋2＋3＋…＋(n－1)＋n＋(n－1)＋…＋3＋2＋1＝n2.
再看上面那道题目，它的答案就是1002＝10000.
如果你记住了这个方法，那么你也能很快地算出这种类型的题目的答案了．

第5讲 最大与最小问题
在日常生活中，经常会遇到有关最大、最小、最多、最少等问题，我们把这炎问题统称为最大与最小问题．这类问题涉及的知识面广，题目复杂，大多数这样的问题并没有固定的解题模式，因此，解题时要根据题中给出的条件去分析、判断、推理，最后才能得出正确的答案．
例1 下面是一个乘法算式．问：当乘积最大时所填的六个数字的和是多少？

思维点拨 从算式看，积是三位数，最大可是999.又一个因数是5，所以积是5的倍数，从而积最大只能是995.根据积与一个因数，就能求出另一个因数，使问题得到解决．

例2 把16分成几个自然数的和，再求出这些自然数的乘积，要使得乘积尽可能大，问：这个乘积是多少？

思维点拨 要想使拆成的几个自然数乘积最大，拆成的个数要尽可能多且不含1，不宜大于4，例如5，可再拆成2和3，因为2×3>5，因此，所拆成的数大于4的应再拆．还有，拆成的数中2的个数不宜多于2个，若多于2个，比如3个2，因为2＋2＋2＝6，而6＝3＋3，3×3>2×2×2，因此应尽量多拆出3来，这样可将16拆成4个3和2个2，即16＝3＋3＋3＋3＋2＋2.此时乘积最大为3×3×3×3×2×2＝324.

例3 某人有一个长20米的铁丝网，他想借围墙做一面，用这个铁丝网围成一个长方形菜地，并使这块菜地的面积尽可能地大，问：这个菜地的最大面积是多少？

思维点拨 因为菜地四周有三面用这个铁丝网围起来，另一面借助于已有的围墙，要使这个菜地的面积最大，即使得长与宽的乘积最大．注意长与两个宽的和等于铁丝网的长度20米，为定值．当长与宽的乘积最大时，长与2倍的宽乘积也最大，反之亦对，于是问题转化为：当长与2倍宽的和为定值，即20米时，长＝2倍的宽＝10米，乘积最大，即长为10米、宽为5米时乘积最大.

例4 从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这十个数字中，选出五个不同的数字组成一个五位数，使它能被3，5，7和13整除，这个数最大是多少？

思维点拨 要使这个五位数能被3，5，7和13整除，可知这个五位数是3，5，7，13的公倍数．因为3，5，7和13的最小公倍数是3×5×7×13＝1365，这个五位数中1365的最大倍数是1365×73＝99645，但99645中有两个9重复，不符合题意，因而可将这个99645逐个减少1365，直至找出符合题意的五位数．

例5 从1，2，3，…，1993，1994这些自然数中，最多可以取多少个数，才能使其中每两个数的差不等于4？

思维点拨 我们设法将这些自然数分组，使得每组中两数的差为4．由此，同组的两数中至多取出一个数，从而给出所能取出的数的个数的上界，再设法取出这些确定的数，说明这个数是可以达到的．

例6 和平小学有若干名学生参加数学竞赛，每名学生的得分都是整数．已知参赛学生的总分为3063分，且前三名的分数分别是90，85，80，最低分数是50分，又已知前三名没有得分相同的学生，其他每个分数，得分相同的学生不超过4人，问：至少有多少学生不低于60分(包括前三名)?

思维点拨 因为问的是得60分以上的至少有多少人，那么，我们应该让得60分以下的人尽可能地多，得60分以下的人最多可得(50＋51＋52＋53＋54＋55＋56＋57＋58＋59)×4＝2180(分)，60分以上80分以下的人共得分：3063－( 90＋85＋80＋2180)＝628(分)．
显然，得这628分的若干人应该是人数最少.628＝79×4＋78×4，这样，我们可以求出不低于60分的同学至少有4＋4＋3＝11(人)．

●课内练习
1．两个非零自然数相除商是126，余数是36，问：被除数最小是多少？

2．将17拆成几个自然数的和，并使这些自然数的乘积最大，最大的积是多少？

3．用长为40米的竹篱笆围成一块长方形菜地，其中一面靠墙，为使菜地面积最大，应怎样分配长与宽？最大面积是多少平方米？

4．个位上的数字是4，且能被3整除的六位数有多少个？最大的六位数是多少？

5．从1，2，3，…，2002中最多可以取多少个数，使得其中任意两个数之差都不等于5？

6．一次数学考试的满分是100分，6名同学在这次考试中乇均得分是91分，这6名同学的得分互不相同，其中有1名同学仅得65分．那么，得分排在第3名的同学至少得多少分？

●课外作业
1．下面算式中的两个方框内应填什么数，才能使这道整数除法题的余数最大？
÷25＝109……

2．将30分成若干个互不相等的自然数的和，且使这些自然数的乘积最大，该乘积是多少？

3．有一块菜地长35米，宽25米，菜地中间留了1米的路，路把菜地分成四块(如图)，菜地的实际面积是多少？

4．今有一队学生(300人以内)，如果每9人排成一列，最后余下4人，如果每7人排成一列，最后余下3人，问：这队学生最少有多少人？最多有多少人？

5．从4，8，12，16，…，76这列数中，任取11个数，至少有两个数的差为36，请你说明这是为什么．

6．五名选手在一次数学竞赛中共得404分，每人得分互不相等，并且其中得分最高的选手得90分．那么得分最少的选手至少得多少分，至多得多少分？(每名选手的得分都是整数)

7．一个三位数除以43，商是a，余数是b(a，b均为整数)，求a＋b的最大值是多少．

8．如果8个人的平均年龄是48岁，已知在8人中没有人大于51岁，又知最多能有3个人的年龄相同，那么年龄最小的可能是多少岁?

9．一个布袋中有35个同样大小的球，其中白色球、黄色球和红色球各10个，另外还有3个蓝色球、2个绿色球．一次至少取出多少个球，才能保证取出的球中至少有4个是同色的？

10.5名选手在一次数学竞赛中共得412分，每人得分互不相等，并且其中最高得分为90分．那么得分最少的选手至少得多少分，至多得多少分？(得分都是整数)

你知道吗
为什么油桶、水箱等装液体的容器六都做成圆柱形的？这里有数学方面的道理，设圆柱形的底面半径是r．高为h．可以做成2r<h，2r>h，2r＝h三种形状的圆柱形容器，使用哪一种形状用料最省呢?也就是上、下底面积和侧面积之和最小．经过计算可以知道，当h＝2r时，即取底面圆的直径和高相等时，用料最省，
如果容器做成球形，则比做成圆柱形还要省料，但是球形容器容易滚动，很不稳定，而
且盖子也难做好，做成球形虽然省料，但不实用，所以一般都不做成球的形状.

第6讲 分数应用题
分数应用题是小学数学的重点和难点之一．它的基本类型有三种：
1．求一个数是另一个数的几分之几；
2．求一个数的几分之几是多少；
3．已知一个数的几分之几是多少，求这个数．
解答分数应用题的关键是找到单位“1”，建立对应关系.

例1 甲数比乙数多，乙数比甲数少几分之几？

思维点拨 这是“求一个数是另一个数的几分之几”类型的分数应用题．解答这类题的方法是：看谁和单位“1”比，就用谁除以单位“1”，本题是求乙数比甲数少几分之几，所以是用“乙数比甲数少的”除以甲数.

例2 小明看一本小说，第一天看了全书的还多16页，第二天看了全书的少2页，全书有144页．小明这两天共看了多少页？

思维点拨 此题的单位“1”是全书的页数，已经告诉我们全书有144页，所以这道题是“求单位1的几分之几是多少”的类型．

例3 小明看一本书，第一天看了全书的，第二天看了40页，第三天看的页数是前两天看的总数的，这时还剩下全书的没有看．问：全书共有多少页？

思维点拨 第三天看的页数是前两天看的总数的，就是指第三天看的页数是全书的×加上40页的，由此可知，已知数量(40＋40×)的对应分率是(1－－×－)．

例4 甲、乙两数之和是270，甲数的等于乙数的．甲、乙两数各是多少？

思维点拨 题中有甲数、乙数两个单位“1”，需统一单位“1”．把甲数看做单位“1”，那么乙数就是甲数的÷，即甲数的．这样与和270相对应的具体分率是1＋，由此可求出单位“1”.

例5 向前小学六年级有学生480人，其中女生占，后来转来了一些女生，这样女生占六年级总人数的，转来的女生有多少人？

思维点拨 在本题中，女生人数、六年级总人数都发生了变化，但男生人数却没有变化，因此可抓住男生人数这个不变量求出后来的总人数，从而推出转来的女生人数，

例6 为了庆祝六一儿童节，学校买来红气球和黄气球共200个，红气球的比黄气球的多14个．学校买来红气球和黄气球各多少个？

思维点拨 设学校买来红气球1个，黄气球就有(200－x)个，根据题目中的条件“红气球的比黄气球的多14个”，可以列出下面的等量关系式：红气球的－黄气球的＝14．

●课内练习
1．甲数比乙数少，乙数比甲数多几分之几？

2．一堆煤1050吨，一季度烧了还多10吨，二季度烧了原总煤量的少5吨，还剩多少吨？

3．一辆汽车从甲地开往乙地，第一小时行了50千米，第二小时行了全程的，第三小时行的是前两小时行的总和的，这时还剩下全程的，甲、乙两地相距多少千米？

4．小华和小红共有910元存款，小华存款的和小红存款的相等，她们俩入各有存款多少元？

5．某校六(2)班有48人，女生占，转走几名女生后，女生，转走了几名女生？

6．师徒两人合作加工400个零件，师傅加工的比徒弟加工的还多8个，师徒两人各加工了多少个？

●课外作业

1．六(1)班星期二这天出勤39人，缺勤1人，求六(1)班这天的出勤率．

2．甲、乙两城相距960千米，自行车队从甲城出发去乙城，第一天行了全程的多15千米，第二天行了全程的多20千米，第三天行了全程的．自行车队三天共行了多少千米？

3．王师傅加工一批零件，第一天加工了40个，第二天加工了这批零件的，第三天加工的比前两天加工的总和的还多20个，这时还剩下这批零件的没有加工，这批零件共有多少个？

4．甲、乙两个仓库共有510吨货物，从甲仓运走，从乙仓运走后，两仓库剩下的货物正好相等，甲、乙两个仓库原有货物各多少吨？

5．数学兴趣小组中，女生人数占，后来又有8名女同学参加，这时，女生人数占数学兴趣小组人数的，求这个数学兴趣小组现在共有多少人．

6．王伟和李刚共有800元存款，王伟取出自己存款的，李刚取出自己存款的，这时两人还共有存款170元，王伟和李刚原来各有存款多少元？

7．红山小学六年级举行数学和语文竞赛，参加的人数占全年级总人数的，参加语文竞赛的占竞赛人数的，参加数学竞赛的占竞赛人数的，两项都参加的有12人，全年级共有多少人？

8．甲、乙、丙、丁四人共有存款若干，其中甲有480元，乙的存款是其余三人的，丙的存款是其余三人的，丁的存款是其余三人的，甲、乙、丙、丁四人共有存款多少元？

9．有一家粮店运进一批大米，第一天卖出总量的，第二天卖出总量的，第三天卖出剩下的，此时只剩下100千克，问：原运进大米多少？

10.有一个水池，第一天放出全部水的，第二天放出40立方米，第三天放出全部水的，此时水池中还有水56立方米，试问：这个水池一共有水多少？

你知道吗
关于乘法的记号.
人类很早就掌握了乘法运算，我国古代就出现了“九九”乘法表，在西方还出现过格子
乘法，乘法的记号“×”是1631年由英国数学家奥特雷德( W.Oughtxed，1574～1660)倡用的，由于容易和拉丁字母“x”相混，17世纪丰经莱布尼兹(G．W.1eibnix，1646～1716,德国数学家)提出改阐“·”．在我国，这两种记号都采用，数字的乘法用记号“×”，而数字和字母相乘或是字母之间相乘，则用记号“·”或省略不写．

第7讲 百分数应用题
在日常生活中会遇到很多百分数问题，如溶液的质量分数问题、商品的打折出售、利润率的计算、储蓄的利息等，其中常用的数量关系有：
溶液