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第二章 推理与证明,第二章 推理与证明,2.2.1,综合法与分析法,1,、,了解综合法的思考过程、特点,会用综合法证明题目,.,2,、,了解分析法的分析思路,会用分析法证明题目,.,3,、,能用分析法分析证题思路,用综合法书写证明过程,.,应用,:,1,、证明不等式,2,、证明等式,内容：,本课主要学习,综合法与分析法,。通过两个引例出发,引入综合法与分析法,通过对比掌握它们证题的特点,并总结出它们之间的区别与联系,为在实际问题中分析问题寻找解题方法做好铺垫,.,重点:会用综合法和分析法证明问题;了解综合法与分析法的思考过程.难点:根据问题的特点,结合综合法与分析法的思考过程、特点,选择适当的证明方法.,本课选用了两个例题。例题设置难易适度,每个例题后有针对性的练习,便于学生巩固和掌握,且第一个例题与变式训练分别用分析法和综合法来证明,让学生真正体会两种方法的优点与作用，另外,第二个例题可以用综合法，也可以用分析法,从而锻炼学生灵活应用方法解决问题的能力,.,采用一讲一练针对性讲解的方式，重点理解,综合法与分析法,的应用。,通过观看视频，大家一起讨论一下我们应该如何测的恒星之间的距离呢？,如何测的恒星之间的距离,复习,推 理,合情推理,（或然性推理）,演绎推理,（必然性推理）,归纳,(,特殊到一般）,类比,（特殊到特殊）,三段论,（一般到特殊）,合情推理是,发现,的方法，,演绎推理是数学中严,格,证明,的工具,.,怎样用演绎推理来证明呢？这是要讲究方法的,.,今天,我们就来认识一些基本的证明方法,合情推理得到的结论是不可靠的，需要证明,.,数学中证明的方法有哪些呢？,引例一,:,证明不等式,:,证法,1:,由,证法,2:,由,证法,2,是从已经成立的事实出发,经过正确推理,得到要证的结论,.,-,综合法,引例二,:,求证,分析,:,从待证不等式不易发现证明的出发点,因此我们直接,从待证不等式出发,分析其成立的充分条件,.,在本例中,由于我们很难想到从“,210,b0),的证明,.,证明,:,因为,;,所以,所以,所以 成立,证明,:,要证,只需证,只需证,只需证,因为,成立,所以 成立,还原成,综合法,：,证明,:,因为,;,所以,当且仅当,a=b,时取等号,所以,所以 成立,证明,:,要证,只需证,只需证,而,当且仅当,成立,所以 成立,综合法,：,证明：方法一（分析法）,证明,:,要证,只需证,只需证,只需证,即只需证,而由已知条件可知,显然成立，所以命题得证,.,方法二（综合法）,证明,:,即,即,由条件可知,即 ，,所以命题得证,.,例,2,：在中，三个内角、对应的边分别为a、b、c，且、成等差数列，a、b、c成等比数列，求证为等边三角形,证明：,解决数学问题时，往往要先作语言的转换，如把,文字语言,转换成,符号语言,，或把,符号语言,转换成,图形语言,。还要通过细致的分析，把其中的隐含条件明确表示出来,1.,知识与技能,:,(1),综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立,.,(2),分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）,.,(3),综合法与分析法的区别：综合法是从已知条件出发，逐步推向未知，每步寻找的是必要条件；分析法是从待求结论出发，逐步靠拢已知，每步寻找的是充分条件,.,2.,思想与方法,:,顺推与逆推的思想,.,2.2,直接证明与间接证明,2.2.2,反 证 法,反证法,内容：,反证法的概念、步骤,应用,:,1.,直接证明难以下手的命题,2.“,至少”、“至多”型命题,3.,否定性命题,4.,某些存在性命题,本课主要学习,反证法,。,反证法,是从否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定作为推理的已知条件，进行正确的逻辑推理，使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题等相矛盾的结论,.,本课,以视频,王戎的故事,引入新课，,从生活实例抽象出反证法的概念、步骤.,让学生感受到了反证法处处可在，也从这些具体的例子中更加熟悉反证法的步骤,.并,能,利用反证法解决简单的问题.证明方法的选择，以及如何发现证明思路,是本课的,难点.,由于学生的实际情况不同，且本节内容涉及过多以往知识点的应用，建议教师在使用本课件时灵活掌握,.,在讲述,反证法,的应用时，采用例题与变式结合的方法，通过例,1,和变式,1,让学生明白,:,当直接证明命题难以下手时，改变其思维方向，从反面进行思考，问题可能解决得十分干脆。,通过例,2,和例,3,告诉学生,:,“,至少”、“至多”型命题常用反证法,.,采用一讲一练针对性讲解的方式，重点理解和,巩固,反证法,的,运用方法,.,1.,直接证明的两种基本证法：,综合法和分析法,2.,这两种基本证法的推证过程和特点：,由因导果,执果索因,3,、在实际解题时，两种方法如何运用？,通常用分析法,寻求思路,，再由综合法,书写过程,综合法,已知条件,结论,分析法,结论,已知条件,路边苦李,古时候有个人叫王戎，,7,岁那年的某天，他和小伙伴在路边玩，看见一颗李子树上的果实多得把树枝都快压断了，小伙伴们都跑去摘，只有王戎站着没动,.,他说：“李子是苦的，我不吃,.,”,小伙伴摘来一尝，李子果然苦的没法吃,.,小伙伴问王戎：“这就怪了！你又没吃怎么知道李子是苦的啊？”,王戎说：“如果李子是甜的，树长在路边，李子早就没有了！李子现在还这么多，所以啊，肯定李子是苦的，不好吃！”,王戎推断李子是苦涩的道理和你的方法一样吗？是什么方法？,反证法是我们常见的一种证明方法，它隶属于间接证明，今天我们就来一起探讨反证法在证明问题中的应用,.,反证法,路边苦李,（,1,）如果有,5,只鸽子飞进两只鸽笼，至少有,3,只鸽子在同一只鸽笼，对吗？,（,2,）,A,、,B,、,C,三个人，,A,说,B,撒谎，,B,说,C,撒谎，,C,说,A,、,B,都撒谎。则,C,在撒谎吗？为什么？,分析,:,假设,C,没有撒谎,则,A,、,B,都撒谎,.,由,A,撒谎,知,B,没有,撒谎,.,那么,假设,C,没有撒谎不成立,则,C,必定是在撒谎,.,这与,B,撒谎矛盾,.,把这种不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法称为,间接证明,注：反证法,是最常见的,间接证法,，,反证法：,假设命题结论的反面成立,经过正确的推理,引出矛盾，因此说明假设错误,从而证明原命题成立,这样的的证明方法叫反证法,.,（,归谬法,）,反证法的思维方法：,正难则反,例,1,：,求证：是无理数。,解析：,直接证明难以下手的命题,，,改变其思维方向，从反面进行思考，问题可能解决得十分干脆。,例,1,：,求证：是无理数,。,证明,：假设 是有理数,则存在互质的整数,m,n,使得,反证法的证明过程：,否定结论,推出矛盾,肯定结论，,即分三个步骤：,反设,归谬,存真,反设,假设命题的结论不成立；,存真,由矛盾结果，断定反设不成立，从而,肯定原结论成立。,归谬,从假设出发，经过一系列正确的推理，,得出,矛盾,；,用反证法证明命题的过程用框图表示为：,肯定条件,否定结论,导 致,逻辑矛盾,反设,不成立,结论,成立,所以假设错误，故原命题,成立,证明,:,假设,不大于,则,或,因为,所以,否定要全面,例,2,已知,a0,，证明,x,的方程,ax=b,有且只有一个根。,注,:,结论中的有且只有,(,有且仅有,),形式出现,是,唯一性问题,常用反证法,不妨设方程的两根分别为,证：,由于 ，因此方程至少有一个根,假设方程 至少存在两个根。,则：,与已知 矛盾，故假设不成立，结论成立。,例,3,：,已知,x0,y0,，,x+y 2,，,求证：中至少有一个小于,2,。,分析：,所谓至少有一个,就是不可能没有,要证,“,至少有一个”只要证明它的反面,“,所有都”不成立即可,.,注,:,“,至少”、“至多”型命题,常用反证法,常见否定用语,是,不是,有,没有,等,不等,成立,不成立,都是,不都是，即至少有一个不是,都有,不都有，即至少有一个没有,都不是,部分或全部是，即至少有一个是,唯一,至少有两个,至少有一个有（是）,全部没有（不是）,至少有一个不,全部都,应用反证法的情形：,(1),直接证明困难,;,(2),需分成很多类进行讨论,(3),结论为,“至少”、“至多”、“有无穷多个”,类命题；,(4),结论为,“唯一”,类命题,；,正难则反,!,三个步骤：,反设,归谬,存真,归缪矛盾：,（,1,）与已知条件矛盾；,（,2,）与已有公理、定理、定义矛盾；,（,3,）自相矛盾。,一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），,经过正确的推理，,最后得出矛盾。,因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，,这样的证明方法叫做,反证法,。,推理与证明,推理,证明,合情推理,演绎推理,直接证明,间接证明,类比推理,归纳推理,分析法,综合法,反证法,已知：,整数,a,的平方能被,2,整除，,求证：,a,是偶数。,证明：,假设,a,不是偶数，,则,a,是奇数，不妨设,a=2n+1(n,是整数,),a,2,=(2n+1),2,=4n,2,+4n+1=4n(n+1)+1,a,2,是奇数，与已知矛盾。,假设不成立，所以,a,是偶数。,
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