全等三角形练习题含答案.doc

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七年级全等测试　
一．选择题（共3小题）
1．如图，EB交AC于M，交FC于D，AB交FC于N，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF，给出下列结论：①∠1=∠2；②BE=CF；③△ACN≌△ABM；④CD=DN．其中正确的结论有（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．如图，△ABC为等边三角形，D、E分别是AC、BC上的点，且AD=CE，AE与BD相交于点P，BF⊥AE于点F．若BP=4，则PF的长（　　）

A．2 B．3 C．1 D．2
3．如图，OA=OC，OB=OD且OA⊥OB，OC⊥OD，下列结论：①△AOD≌△COB；②CD=AB；③∠CDA=∠ABC； 其中正确的结论是（　　）

A．①② B．①②③ C．①③ D．②③

二．解答题（共11小题）
4．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AB=AC，点E是BD上一点，且AE=AD，∠EAD=∠BAC．
（1）求证：∠ABD=∠ACD；
（2）若∠ACB=65°，求∠BDC的度数．

5．（1）如图①，在四边形ABCD中，AB∥DC，E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试探究AB，AD，DC之间的等量关系，证明你的结论；
（2）如图②，在四边形ABCD中，AB∥DC，AF与DC的延长线交于点F，E是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，证明你的结论．

6．已知：在△ABC中，AB=AC，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，且DE=DF．求证：△ABC是等边三角形．

7．已知，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D为BC的中点．
（1）如图①，若点E、F分别为AB、AC上的点，且DE⊥DF，求证：BE=AF；
（2）若点E、F分别为AB、CA延长线上的点，且DE⊥DF，那么BE=AF吗？请利用图②说明理由．

8．如图，在 Rt△ABC，∠ACB=90°，AC=BC，分别过A、B作直线l的垂线，垂足分别为M、N．
（1）求证：△AMC≌△CNB；
（2）若AM=3，BN=5，求AB的长．

9．已知，如图，在等腰直角三角形中，∠C=90°，D是AB的中点，DE⊥DF，点E、F在AC、BC上，求证：DE=DF．

10．如图，OC是∠MON内的一条射线，P为OC上一点，PA⊥OM，PB⊥ON，垂足分别为A，B，PA=PB，连接AB，AB与OP交于点E．
（1）求证：△OPA≌△OPB；
（2）若AB=6，求AE的长．

11．如图，△ABC和△ADE分别是以BC，DE为底边且顶角相等的等腰三角形，点D在线段BC上，AF平分DE交BC于点F，连接BE，EF．
（1）CD与BE相等？若相等，请证明；若不相等，请说明理由；
（2）若∠BAC=90°，求证：BF2+CD2=FD2．

12．如图，OC是∠AOB的角平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E．F是OC上另一点，连接DF，EF．
求证：DF=EF．

13．如图，OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，点M在OA上，点N在OB上，且PM=PN．求证：EM=FN．

14．如图，△ABC中，D为BC边上一点，BE⊥AD的延长线于E，CF⊥AD于F，BE=CF．求证：D为BC的中点．

答案　
一．选择题（共3小题）
1．如图，EB交AC于M，交FC于D，AB交FC于N，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF，给出下列结论：①∠1=∠2；②BE=CF；③△ACN≌△ABM；④CD=DN．其中正确的结论有（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【解答】解：∵∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF
∴△ABE≌△ACF
∴BE=CF
∠BAE=∠CAF
∠BAE﹣∠BAC=∠CAF﹣∠BAC
∴∠1=∠2
△ABE≌△ACF
∴∠B=∠C，AB=AC
又∠BAC=∠CAB
△ACN≌△ABM．
④CD=DN不能证明成立，3个结论对．
故选：B．

2．如图，△ABC为等边三角形，D、E分别是AC、BC上的点，且AD=CE，AE与BD相交于点P，BF⊥AE于点F．若BP=4，则PF的长（　　）

A．2 B．3 C．1 D．2
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC．
∴∠BAC=∠C．
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE（SAS）．
∴∠ABD=∠CAE．
∴∠APD=∠ABP+∠PAB=∠BAC=60°．
∴∠BPF=∠APD=60°．
∵∠BFP=90°，∠BPF=60°，
∴∠PBF=30°．
∴PF=．
故选：A．

3．如图，OA=OC，OB=OD且OA⊥OB，OC⊥OD，下列结论：①△AOD≌△COB；②CD=AB；③∠CDA=∠ABC； 其中正确的结论是（　　）

A．①② B．①②③ C．①③ D．②③
【解答】解：∵OA⊥OB，OC⊥OD，
∴∠AOB=∠COD=90°．
∴∠AOB+∠AOC=∠COD+∠AOC，
即∠COB=∠AOD．
在△AOB和△COD中，
，
∴△AOB≌△COD（SAS），
∴AB=CD，∠ABO=∠CDO．
在△AOD和△COB中
，
∴△AOD≌△COB（SAS）
∴∠CBO=∠ADO，
∴∠ABO﹣∠CBO=∠CDO﹣∠ADO，
即∠ABC=∠CDA．
综上所述，①②③都是正确的．
故选：B．

二．解答题（共11小题）
4．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AB=AC，点E是BD上一点，且AE=AD，∠EAD=∠BAC．
（1）求证：∠ABD=∠ACD；
（2）若∠ACB=65°，求∠BDC的度数．

【解答】证明：（1）∵∠BAC=∠EAD
∴∠BAC﹣∠EAC=∠EAD﹣∠EAC
即：∠BAE=∠CAD
在△ABE和△ACD中
∴△ABE≌△ACD
∴∠ABD=∠ACD
（2）∵∠BOC是△ABO和△DCO的外角
∴∠BOC=∠ABD+∠BAC，∠BOC=∠ACD+∠BDC
∴∠ABD+∠BAC=∠ACD+∠BDC
∵∠ABD=∠ACD
∴∠BAC=∠BDC
∵∠ACB=65°，AB=AC
∴∠ABC=∠ACB=65°
∴∠BAC=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=180°﹣65°﹣65°=50°
∴∠BDC=∠BAC=50°．

5．（1）如图①，在四边形ABCD中，AB∥DC，E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试探究AB，AD，DC之间的等量关系，证明你的结论；
（2）如图②，在四边形ABCD中，AB∥DC，AF与DC的延长线交于点F，E是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，证明你的结论．

【解答】解：（1）证明：延长AE交DC的延长线于点F，
∵E是BC的中点，
∴CE=BE，
∵AB∥DC，
∴∠BAE=∠F，
在△AEB和△FEC中，，
∴△AEB≌△FEC，
∴AB=FC，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠BAE=∠EAD，
∵AB∥CD，
∴∠BAE=∠F，
∴∠EAD=∠F，
∴AD=DF，
∴AD=DF=DC+CF=DC+AB，
（2）如图②，延长AE交DF的延长线于点G，
∵E是BC的中点，
∴CE=BE，
∵AB∥DC，
∴∠BAE=∠G，
在△AEB和△GEC中，，
∴△AEB≌△GEC，
∴AB=GC，
∵AE是∠BAF的平分线，
∴∠BAG=∠FAG，
∵AB∥CD，
∴∠BAG=∠G，
∴∠FAG=∠G，
∴FA=FG，
∴AB=CG=AF+CF，

6．已知：在△ABC中，AB=AC，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，且DE=DF．求证：△ABC是等边三角形．

【解答】证明：∵DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，
∴∠AED=∠CFD=90°，
∵D为AC的中点，
∴AD=DC，
在Rt△ADE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△CDF，
∴∠A=∠C，
∴BA=BC，∵AB=AC，
∴AB=BC=AC，
∴△ABC是等边三角形．

7．已知，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D为BC的中点．
（1）如图①，若点E、F分别为AB、AC上的点，且DE⊥DF，求证：BE=AF；
（2）若点E、F分别为AB、CA延长线上的点，且DE⊥DF，那么BE=AF吗？请利用图②说明理由．

【解答】（1）证明：连接AD，如图①所示．
∵∠A=90°，AB=AC，
∴△ABC为等腰直角三角形，∠EBD=45°．
∵点D为BC的中点，
∴AD=BC=BD，∠FAD=45°．
∵∠BDE+∠EDA=90°，∠EDA+∠ADF=90°，
∴∠BDE=∠ADF．
在△BDE和△ADF中，，
∴△BDE≌△ADF（ASA），
∴BE=AF；
（2）BE=AF，证明如下：
连接AD，如图②所示．
∵∠ABD=∠BAD=45°，
∴∠EBD=∠FAD=135°．
∵∠EDB+∠BDF=90°，∠BDF+∠FDA=90°，
∴∠EDB=∠FDA．
在△EDB和△FDA中，，
∴△EDB≌△FDA（ASA），
∴BE=AF．

8．如图，在 Rt△ABC，∠ACB=90°，AC=BC，分别过A、B作直线l的垂线，垂足分别为M、N．
（1）求证：△AMC≌△CNB；
（2）若AM=3，BN=5，求AB的长．

【解答】解：（1）∵AM⊥l，BN⊥l，∠ACB=90°，
∴∠AMC=∠ACB=∠BNC=90°，
∴∠MAC+∠MCA=90°，∠MCA+∠NCB=180°﹣90°=90°，
∴∠MAC=∠NCB，
在△AMC和△CNB中，
，
∴△AMC≌△CNB（AAS）；

（2）∵△AMC≌△CNB，
∴CM=BN=5，
∴Rt△ACM中，AC===，
∵Rt△ABC，∠ACB=90°，AC=BC=，
∴AB===2．

9．已知，如图，在等腰直角三角形中，∠C=90°，D是AB的中点，DE⊥DF，点E、F在AC、BC上，求证：DE=DF．

【解答】证明：连接CD．
∵在等腰直角三角形ABC中，D是AB的中点．
∴CD为 等腰直角三角形ABC 斜边BC上的中线．
∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=45°，CD=BD=AD．
又∵DE⊥DF
∴∠EDC=∠FDB
在△ECD和△FBD中

∴△ECD≌△FDB（ASA）
∴DE=DF

10．如图，OC是∠MON内的一条射线，P为OC上一点，PA⊥OM，PB⊥ON，垂足分别为A，B，PA=PB，连接AB，AB与OP交于点E．
（1）求证：△OPA≌△OPB；
（2）若AB=6，求AE的长．

【解答】解：（1）∵PA⊥OM，PB⊥ON，
∴∠PAO=∠PBO=90°，
又∵PA=PB，PO=PO，
∴Rt△AOP≌Rt△BOP；

（2）∵△OPA≌△OPB，
∴∠APE=∠BPE，
又∵PA=PB，
∴AE=BE，
∴AE=AB=3．

11．如图，△ABC和△ADE分别是以BC，DE为底边且顶角相等的等腰三角形，点D在线段BC上，AF平分DE交BC于点F，连接BE，EF．
（1）CD与BE相等？若相等，请证明；若不相等，请说明理由；
（2）若∠BAC=90°，求证：BF2+CD2=FD2．

【解答】解：（1）CD=BE，理由如下：
∵△ABC和△ADE为等腰三角形，
∴AB=AC，AD=AE，
∵∠EAD=∠BAC，
∴∠EAD﹣∠BAD=∠BAC﹣∠BAD，
即∠EAB=∠CAD，
在△EAB与△CAD中，
∴△EAB≌△CAD，
∴BE=CD，
（2）∵∠BAC=90°，
∴△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴∠ABF=∠C=45°，
∵△EAB≌△CAD，
∴∠EBA=∠C，
∴∠EBA=45°，
∴∠EBF=90°，
在Rt△BFE中，BF2+BE2=EF2，
∵AF平分DE，
∴AF垂直平分DE，
∴EF=FD，
由（1）可知，BE=CD，
∴BF2+CD2=FD2

12．如图，OC是∠AOB的角平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E．F是OC上另一点，连接DF，EF．
求证：DF=EF．

【解答】证明：∵OC是∠AOB的角平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠DOP=∠EOP，PD=PE．
在Rt△POD和Rt△POE中，，
∴Rt△POD≌Rt△POE（HL），
∴OD=OE．
在△ODF和△OEF中，，
∴△ODF≌△OEF（SAS），
∴DF=EF．

13．如图，OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，点M在OA上，点N在OB上，且PM=PN．求证：EM=FN．

【解答】证明：∵点P在∠AOB的平分线上，PE丄0A于E，PF丄OB于F，
∴PF=PE，
在Rt△PEM和Rt△PEN中
，
∴Rt△PEM≌Rt△PEN（HL），
∴EM=FN．

14．如图，△ABC中，D为BC边上一点，BE⊥AD的延长线于E，CF⊥AD于F，BE=CF．求证：D为BC的中点．

【解答】证明：∵BE⊥AD的延长线于E，CF⊥AD于F，
∴∠CFD=∠BED=90°，
在△BED和△CFD中，
∴△CDF≌△BDE（AAS）
∴CD=BD．
∴D为BC的中点．

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