证明：若在三角形ABC之外作两个正方形-ABEF和ACGH--则三角形ABC-的BC-边上的高-AD必平分FH.docx

证明：若在三角形ABC之外作两个正方形 ABEF和ACGH ，则三角形ABC 的BC 边上的高 AD必平分FH
证明：如图
过F作FN⊥CB，交CB延长线于N，则FN//AD
延长HA交FN于M，
作AP⊥FN，交FN于P，则∠PAD=90°
∵ ∠FAP+∠PAB=90°，∠BAD+∠PAB=90°
∴ ∠FAP=∠BAD
又∵正方形ABEF， 则AB=AF
∴ RtΔABD≌RtΔAPF    （AAS）
∴AD=AP
∵∠DAC+∠MAD=90°;  （ACGH是正方形）
  ∠PAM+∠MAD=90°;  （∵FN//AD，AP⊥FN∴AP⊥AD）
∴∠DAC=∠PAM
∴Rt△APM≌Rt△ADC   （ASA）
∴AC=AM
再∴AM=AH   （ACGH是正方形，AC=AH）
因此 A是HM的中点
又∵DK‖FN 即AK‖FM
∴AK是三角形FHM的中位线
即AK=1／2FM
∵∠CAB+∠BAM=90°;  ∠FAM+∠BAM=90°;
∴∠CAB=∠FAM
又∵AB=AF，AC=AM
∴△ABC≌△AFM
∴BC=FM
∴BC=2AK   (AK=1／2FM）
即AK=BC/2