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由折叠引发的思考
蛟川书院 王姣慧
一、 教学目的
1. 通过感受操作的必要性，梳理折叠问题中蕴藏的数学知识，提炼出解题的基本方法。
2. 通过问题思考，巩固基础知识，提炼基本图形，内化基本方法。
3. 在问题解决的思路形成过程中，不断提高学生综合应用知识的能力，领会变中寻找不变量（关系），一般折叠问题的转化方向，构建方程模型等思想方法，提升学生的思维能力。
二、 教学重、难点
教学重点：在折叠过程中学会对基本知识的梳理，基本数学方法的提炼。
教学难点：在复杂的图形背景下基本图形的提炼的方法与解题思路的分析。
三、教学设计
折纸艺术源于17世纪的日本，并在20世纪中叶传遍世界各地，如今的折纸已经融合了诸多的现代工艺和数学原理，从而使现在的折纸艺术更加地震撼夺目，让人惊叹不已。今天以一张长方形纸片为学具进行折叠，充分展示在折纸中学习数学的过程.
A
B
A
B
C
C
D
D
E
E
F
F
60㎝
[试一试] 将一张长为70㎝的长方形纸片ABCD沿对称轴EF折叠成如图所示的形状,若折叠后,AB与CD间的距离为60㎝,则原纸片的宽AB是_________㎝.

【设计意图】引入此问题旨在感受动手实践（折纸）在解决问题中的重要性，让学生感受到数学与生活紧密相关。 （出示标题：由折叠问题引发的思考）
1 梳理知识，提炼方法
如图，将一张长方形纸片翻折使重叠部分始终是三角形（阴影部分），随着的大小不同， △ABC的形状也将发生变化.
（1）如图1，当＝25度时，重叠部分的三角形各内角是多少？
（2）如图2，当＝45时，重叠部分的三角形各内角是多少？
（3）如图3，当＝75时，重叠部分的三角形各内角是多少？
（3）当0＜＜90时，折纸所得的所有三角形有何共同特点？说明理由.

探索：如图，将一张长方形纸片翻折，使重叠部分始终是三角形（阴影部分），随着∠的大小不同，△ABC也将发生变化.设0＜＜90.
（1）当重叠部分是直角三角形时，应满足什么条件？
（2）当重叠部分是等边三角形时，应满足什么条件？
（3）当重叠部分是钝角三角形时，应满足什么条件？
【理一理】长方形的折叠问题主要用到了哪些数学知识，解决问题中你体验到了什么方法？
（1） 折叠的实质——轴对称变换，包含着对应角、对应线段相等。
（2） 折叠问题解决的一般方法：把研究的问题转化到三角形中。
【设计意图】通过对知识与方法的整理，有助于学生完善知识网络，并形成解决问题的清晰思路。
2 巩固知识，内化方法
1． 如图所示，将长方形纸片ABCD进行折叠，
(1) 如果∠DEH=70°，那么∠BHE为多少度？你还能知道哪些角的度数？
(2) 如果∠BHG=70°，那么∠BHE为多少度？你还能知道哪些角的度数？
2.如图，在长方形纸片ABCD中，AB=3，AD=4，将长方形沿对角线BD折叠，重叠部分为△EBD.
(1) 写出图中的全等三角形；(2) 图中哪些线段可求？
(3) 你能求△EBD的面积吗？
3.把图一的长方形纸片ABCD折叠，B、C两点恰好重合落在AD边上的点P处（如图二），已知∠MPN=90°，PM=3，PN=4，①求BC的长；②求长方形纸片ABCD的面积；③求图二中AD的长．
【设计意图】通过将折痕特殊化和改变折叠的次数，一方面强化学生运用知识的能力，另一方面使学生把握变中不变量，关注对方程思想的渗透，可以培养学生良好的思维品质，有效提高学生分析问题、解决问题的能力。
3 反思与小结
结合本堂课的学习，谈谈你的收获…
4 课后反馈，形成能力
（图2）
1． 如图1，把长方形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点A落在点A′处；
（1）求证：B′E=BF；
（2）设AE=a，AB=b，BF=c，试猜想a，b，c之间的一种关系，并给予证明．
变式：在长方形ABCD中，AB=6，BC=8.
（1）将长方形纸片ABCD沿BD折叠，使点A落在点E处（如图2-①—1），设DE与BC相交于点F，则BF的长是多少？
（2）将长方形纸片按如图2—②折叠，使点B与点D重合，折痕为GH，则GH的长是多少？
2.上网查阅
（1）你能借助于长方形纸片，折出正三角形30°和60°吗？
（2）如何用正方形纸片折出正多边形。参考网站：