建立反比例函数模型.doc

建立反比例函数模型
一、知识与技能
1．从现实情境和已有的知识、经验出发、讨论两个变量之间的相依关系，加深对函数、函数概念的理解。
2经历抽象反比例函数概念的过程，领会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念。
二、过程与方法
1、经历对两个变量之间相依关系的讨论，培养学生的辨别唯物主义观点。
2、经历抽象反比例函数概念的过程，发展学生的抽象思维能力，提高数学化意识。
三、情感态度与价值观
1．经历抽象反比例函数概念的过程，体会数学学习的重要性，提高学生的学习数学的兴趣。
2、通过分组讨论，培养学生合作交流意识和探索精神。
教学重点：理解和领会反比例函数的概念。
教学难点：领悟反比例的概念。
教学过程：
一、创设情境，导入新课
活动1
问题：下列问题中，变量间的对应关系可用怎样的函数关系式表示？这些函数有什么共同特点？
(1)京沪线铁路全程为1463km，乘坐某次列车所用时间t（单位:h）随该列车平均速度v（单位:km/h）的变化而变化；
（2）某住宅小区要种植一个面积为1000m2的矩形草坪，草坪的长为y随宽x的变化；
（3）已知北京市的总面积为1.68×104平方千米，人均占有土地面积S（单位：平方千米/人）随全市人口n（单位:人）的变化而变化.
师生行为:
先让学生进行小组合作交流,再进行全班性的问答或交流.学生用自己的语言说明两个变量间的关系为什么可以看着函数,了解所讨论的函数的表达形式.

教师组织学生讨论,提问学生,师生互动.
在此活动中老师应重点关注学生:
① 能否积极主动地合作交流。
② 能否用语言说明两个变量间的关系。
③ 能否了解所讨论的函数表达形式，形成反比例函数概念的具体形象。
分析及解答：（1）
（2）
（3）
其中v是自变量，t是v的函数；
x是自变量，y是x的函数；
n是自变量，s是n的函数；
上面的函数关系式，都具有的形式，其中k是常数。
二、联系生活，丰富联想
活动2
下列问题中，变量间的对应关系可用这样的函数式表示？
（1）一个游泳池的容积为2000m3,注满游泳池所用的时间随注水速度u的变化而变化；
（2）某立方体的体积为1000cm3，立方体的高h随底面积S的变化而变化；
（3）一个物体重100牛顿，物体对地面的压力p随物体与地面的接触面积S的变化而变化。]
师生行为
学生先独立思考，在进行全班交流。
教师操作课件，提出问题，关注学生思考的过程，在此活动中，教师应重点关注学生：
（1） 能否从现实情境中抽象出两个变量的函数关系；
（2） 能否积极主动地参与小组活动；
（3） 能否比较深刻地领会函数、反比例函数的概念。
分析及解答：（1）
（2）
（3）
概念：如果两个变量x,y之间的关系可以表示成的形式，那么y是x的反比例函数，反比例函数的自变量x不能为零。
活动3
做一做：
一个矩形的面积为20cm2, 相邻的两条边长为x cm和y cm。那么变量y是变量x的函数吗？是反比例函数吗？为什么？
师生行为：
学生先进行独立思考，再进行全班交流。教师提出问题，关注学生思考。此活动中教师应重点关注：
① 生能否理解反比例函数的意义，理解反比例函数的概念；
② 学生能否顺利抽象反比例函数的模型；
③ 学生能否积极主动地合作、交流；
活动4
问题1：下列哪个等式中的y是x的反比例函数？
， ， ，
　问题2：已知y是x的反比例函数，当x=2时，y=6
（1） 写出y与x的函数关系式：
（2） 求当x=4时，y的值。
师生行为：
学生独立思考，然后小组合作交流。教师巡视，查看学生完成的情况，并给予及时引导。在此活动中教师应重点关注：
①学生能否领会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念；
②学生能否积极主动地参与小组活动。
分析及解答：
1、只有xy=123是反比例函数。
2、分析：因为y是x的反比例函数，所以，再把x=2和y=6代入上式就可求出常数k的值。
解：（1）设，因为x=2时，y=6,
所以有
解得k=12
因此
（2）把x=4代入，得

三、巩固提高
活动5
1、已知y是x的反比例函数，并且当x=3时，y=-8。
（1）写出y与x之间的函数关系式。
（2）求y=2时x的值。
2、y是x的反比例函数，下表给出了x与y的一些值：
x

-2
-1

1

3
y

2

-1

（1）写出这个反比例函数的表达式；
（2）根据函数表达式完成上表。
学生独立练习，而后再与同桌交流，上讲台演示，教师要重点关注“学困生”。
四、课时小结
反比例函数概念形成的过程中，大家充分利用已有的生活经验和背景知识，注意挖掘问题中变量的相依关系及变化规律，逐步加深理解。在概念的形成过程中，从感性认识到理发认识一旦建立概念，即已摆脱其原型成为数学对象。反比例函数具有丰富的数学含义，通过举例、说理、讨论等活动，感知数学眼光，审视某些实际现象。

反比例函数的图象和性质
教学目标
1．知识与技能
会画反比例函数的图象，并知道该图象与正比例函数、一次函数图象的区别，能从反比例函数的图象上分析出简单的性质．能用反比例函数的定义和性质解决实际问题．
2．过程与方法
通过画图象，进一步培养“描点法”画图的能力和方法，并提高对函数图象的分析能力．同时尝试用类比和特殊到一般的思路方法，归纳反比例函数一些性质特征．
3．情感、态度与价值观
由图象的画法和分析，体验数学活动中的探索性和创造性，感受数学美，并通过图象的直观教学激发学习兴趣．
教学重点难点
重点：反比例函数图象的画法及探究，反比例函数的性质的运用．
难点：反比例函数图象是平滑双曲线的理解及对图象特征的分析．
课时安排 2课时

第1课时
（一）创设情境，导入新课
问题：1．若y=是反比例函数，则n必须满足条件 n≠或n≠-1 ．
2．用描点法画图象的步骤简单地说是 列表 、 描点 、 连线 ．
3．试用描点法画出下列函数的图象：（1）y=2x； （2）y=1-2x．
（二）合作交流，解读探究
问题：我们已知道，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是一条直线，那么反比例函数y=（k为常数且k≠0）的图象是什么样呢？
尝试 用描点法来画出反比例函数的图象．
画出反比例函数y=和y=-的图象．
解：列表
x
…
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
…
y=

-1

-1.5
-2

-6

3

1

y=-

1
1.2

3
6

-1.5

（请把表中空白处填好）
描点，以表中各对应值为坐标，在直角坐标系中描出各点．
连线，用平滑的曲线把所描的点依次连接起来．

探究 反比例函数y=和y=-的图象有什么共同特征？它们之间有什么关系？
做一做 把y=和y=-的图象放到同一坐标系中，观察一下，看它们是否对称．
归纳 反比例函数y=和y=-的图象的共同特征：
（1）它们都由两条曲线组成．
（2）随着x的不断增大（或减小），曲线越来越接近坐标轴（x轴、y轴）．
（3）反比例函数的图象属于双曲线（hyperbola）．
此外，y=的图象和y=-的图象关于x轴对称，也关于y轴对称．
做一做 在平面直角坐标系中画出反比例函数y=和y=-的图象．
交流 两个函数图象都用描点法画出？
【分析】 由y=和y=-的图象及y=和y=-的图象知道，
（1）它们有什么共同特征和不同点？
（2）每个函数的图象分别位于哪几个象限？
（3）在每一个象限内，y随x的变化而如何变化？
猜想 反比例函数y=（k≠0）的图象在哪些象限由什么因素决定？在每一个象限内，y随x的变化情况如何？它可能与坐标轴相交吗？
【归纳】 （1）反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线．
（2）当k>0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内，y值随x值的增大而减小．
（3）当k<0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内，y值随x值的增大而增大．
（三）应用迁移，巩固提高
例题 指出当k>0时，下列图象中哪些可能是y=kx与y=（k≠0）在同一坐标系中的图象 （ ）

【分析】 对于y=kx来说，当k>0时，图象经过一、三象限，当k<0时，图象经过二、四象限；对于y=来说，当k>0时，图象在一、三象限，当k<0时，图象在二、四象限，所以应选B．
【答案】 B
备选例题
1．（2005年中考·泉州）请你写出一个反比例函数的解析式，使它的图象在第一、三象限．

2．（2005年中考·宣昌）如图所示的函数图象的关系式可能是（ ）
A．y=x B．y= C．y=x2 D．y=
（四）总结反思，拓展升华
1．画反比例函数的图象．
2．反比例函数的性质．
3．反比例函数的图象在哪个象限由k决定，且y值随x值变化只能在“每一个象限内”研究．

4．在y=（k≠0）中，由于x≠0，同时y≠0，因此双曲线两个分支不可能到达坐标轴．
（五）课堂跟踪反馈
夯实基础
1．已知反比例函数y=的图象如图所示，则k > 0，在图象的每一支上， y值随x的增大而 减小 ．
2．下列图象中，是反比例函数的图象的是 （D）

3．（2005年中考·东营）在反比例函数y=（k<0）的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1>x2>0，则y1-y2的值为 （A）
（A）正数 （B）负数 （C）非正数 （D）非负数
提升能力
4．（2005年中考·苏州）已知反比例函数y=的图象在第一、三象限内，则k的值可是________（写出满足条件的一个k值即可）．
【答案】 略
5．在直角坐标系中，若一点的横坐标与纵坐标互为倒数，则这点一定在函数图象上 y= （填函数关系式）．
6．若一次函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限，则反比例函数y=的图象一定在 二、四 象限．
第2课时
（一）创设情境，导入新课
老师在黑板上写了这样一道题：“已知点（2，5）在反比例函数y=的图象上，试判断点（-5，-2）是否也在此图象上．”题中的“？”是被一个同学不小心擦掉的一个数字，请你分析一下“？”代表什么数，并解答此题目．
（二）合作交流，解读探究
探究 点（2，5）在反比例函数图象上，其坐标当然满足函数解析式，因此，代入后易求得？=10，即反比例函数关系式为y=，再当x=-5时，代入易求得y=-2，说明点（-5，-2）适合此函数解析式，进而说明点（-5，-2）一定在其函数图象上．
交流 与同学们分享成功的喜悦．
（三）应用迁移，巩固提高
例1已知反比例函数的图象经过点A（2，6）
（1）这个函数的图象分布在哪些象限？y随x的增大而如何变化？
（2）点B（3，4）、C（-2，-4）和D（2，5）是否在这个函数的图象上？
解：（1）设这个反比例函数为y=，因为它过点A（2，6），所以把坐标代入得6=，解得k=12，此反比例函数式为y=，又因k=12>0，所以图象在第一、三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小．
（2）把点B、C、D的坐标分别代入y=，知点B、C的坐标满足函数关系式，点D的坐标不满足函数关系式，所以点B、C在函数y=的图象上，点D不在这个函数的图象上．
例2（2005年中考·河南）三个反比例函数
（1） y= （2）y= （3）y= 在x轴上方的图象如图所示，由此推出k1，k2，k3的大小关系

【分析】 由图象所在的象限可知，k1<0，k2>0，k3>0；在（2）（3）中，为了比较k2与k3的大小，可取x=a>0，作直线x=a，与两图象相交，找到y=与y=的对应函数值b和c，由于k2=ab，k3=ac，而c>b>0，因而k3>k2>k1．
【答案】 k3>k2>k1．

例3直线y=kx与反比例函数y=-的图象相交于点A、B，过点A作AC垂直于y轴于点C，求S△ABC．

解：反比例函数的图象关系原点对称，又y=kx过原点，故点A、B必关于原点对称，从而有OA=OB，所以S△AOC=S△BOC．
设点A坐标为（x1，y1），则xy=-6，且由题意AC=│x1│，OC=│y1│．
故S△AOC=AC·OC=│x1y1│=×6=3，
从而S△ABC=2S△AOC=6．
备选例题
1．（2005年中考·兰州）已知函数y=-kx（k≠0）和y=-的图象交于A、B两点，过点A作AC垂直于y轴，垂足为C，则S△BOC=_________．
2．（2005年中考·常德）已知正比例函数y=kx和反比例函数y=的图象都过点A（m，1），求此正比例函数解析式及另一交点的坐标．
【答案】 1．2； 2．y=x，（-3，-1）
（四）总结反思，拓展升华
反比例函数的性质及运用
（1）k的符号决定图象所在象限．
（2）在每一象限内，y随x的变化情况，在不同象限，不能运用此性质．
（3）从反比例函数y=的图象上任一点向一坐标轴作垂线，这一点和垂足及坐标原点所构成的三角形面积S△=│k│．
（4）性质与图象在涉及点的坐标，确定解析式方面的运用．
（五）课堂跟踪反馈
夯实基础
1．判断下列说法是否正确
（1）反比例函数图象的每个分支只能无限接近x轴和y轴，但永远也不可能到达x轴或y轴．（∨）
（2）在y=中，由于3>0，所以y一定随x的增大而减小．（×）
（3）已知点A（-3，a）、B（-2，b）、C（4，c）均在y=-的图象上，则a<b<c．（×）
（4）反比例函数图象若过点（a，b），则它一定过点（-a，-b）．（∨）
2．设反比例函数y=的图象上有两点A（x1，y1）和B（x2，y2），且当x1<0<x2时，有y1<y2，则m的取值范围是 m<3 ．
3．点（1，3）在反比例函数y=的图象上，则k= 3 ，在图象的每一支上，y随x的增大而 减小 ．
4．正比例函数y=x的图象与反比例函数y=的图象有一个交点的纵坐标是2，求（1）x=-3时反比例函数y的值；（2）当-3<x<-1时，反比例函数y的取值范围．
【答案】 （1）-， （2）-4<9-
提升能力
5．（2005年中考·资阳）已知正比例函数y=k1x（k1≠0）与反比例函数y=（k2≠0）的图象有一个交点的坐标为（-2，-1），则它的另一个交点的坐标是（A）
A．（2，1） B．（-2，-1） C．（-2，1） D．（2，-1）
6．（2005年中考·沈阳）如图所示，已知直线y1=x+m与x轴、y轴分别交于点A、B，与双曲线y2=（k<0）分别交于点C、D，且C点坐标为（-1，2）．
（1）分别求直线AB与双曲线的解析式；
（2）求出点D的坐标；
（3）利用图象直接写出当x在什么范围内取何值时，y1>y2．

【答案】 （1）直线：y=x+3，双曲线：y=-； （2）（-2，1）； （3）-2<x<-1
7．画出y=-与y=-的图象，并加以区别．
【答案】 略

实际生活中的反比例函数(一)
三维目标
一、知识与技能
1．能灵活列反比例函数表达式解决一些实际问题．
2．能综合利用几何、方程、反比例函数的知识解决一些实际问题．
二、过程与方法
1．经历分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型，进而解决问题．
2．体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高运用代数方法解决问题的能力．
三、情感态度与价值观
1．积极参与交流，并积极发表意见．
2．体验反比例函数是有效地描述现实世界的重要手段，认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具．
教学重点
掌握从实际问题中建构反比例函数模型．
教学难点
从实际问题中寻找变量之间的关系．关键是充分运用所学知识分析实际情况，建立函数模型，教学时注意分析过程，渗透数形结合的思想．
教具准备
1．教师准备：课件(课本有关市煤气公司在地下修建煤气储存室等)．
2．学生准备：(1)复习已学过的反比例函数的图象和性质，(2)预习本节课的内容，尝试收集有关本节课的情境资料．
教学过程
一、创设问题情境，引入新课
活动1
问题：某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片十几米宽的烂泥湿地，为了安全，迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺垫了若干块木板，构筑成一条临时通道，从而顺利完成了任务的情境．
(1)请你解释他们这样做的道理．
(2)当人和木板对湿地的压力一定时，随着木板面积S(m2)的变化，人和木板对地面的压强p(Pa)将如何变化?
(3)如果人和木板对湿地的压力合计600N，那么?
①用含S的代数式表示p，P是S的反比例函数吗?为什么?
②当木板面积为0.2m2时，压强是多少?
③如果要求压强不超过6000Pa，木板面积至少要多大?
④在直角坐标系中，作出相应的函数图象．
⑤请利用图象对(2)(3)作出直观解释，并与同伴交流．
设计意图：
展示反比例函数在实际生活中的应用情况，激发学生的求知欲和浓厚的学习兴趣．
师生行为：
学生分四个小组进行探讨、交流．领会实际问题的数学煮义，体会数与形的统一．
教师可以引导、启发学生解决实际问题．
在此活动中，教师应重点关注学生：
①能灵活列反比例函数表达式解决一些实际问题；
②能积极地与小组成员合作交流；
③是否有强烈的求知欲．
生：在物理中，我们曾学过，当人和木板对湿地的压力一定时，随着木板面积S的增大，人和木板对地面的压强p将减小．
生：在(3)中，①p＝(S＞0)p是S的反比例函数；②当S＝0.2m2时．p＝3000Pa；③如果要求压强不超过6000Pa，根据反比例函数的性质，木板面积至少0.1m2；那么，为什么作图象在第一象限作呢?因为在物理学中，S＞O，p＞0．
师：从此活动中，我们可以发现，生活中存在着大量的反比例函数的现实．从这节课开始我们就来学习“17．2实际问题与反比例函数”，你会发现有了反比例函数，很多实际问题解决起来会很方便．
二、讲授新课
活动2
[例1]市煤气公司要在地下修建一个容积为104m3的圆柱形煤气储存室．
(1)储存室的底面积S(单位：m2)与其深度d(单位：m)有怎样的函数关系?
(2)公司决定把储存室的底面积S定为500m2，施工队施工时应该向下挖进多深?
(3)当施工队按(2)中的计划挖进到地下15m时，碰上了坚硬的岩石，为了节约建设资金，公司临时改变计划把储存室的深改为15m，相应的，储存室的底面积应改为多少才能满足需要(保留两位小数)。
设计意图：
让学生体验反比例函数是有效地描述现实世界的重要手段，让学生充分认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具，此活动让学生从实际问题中寻找变量之间的关系．而关键是充分运用反比例函数分析实际情况，建立函数模型，并且利用函数的性质解决实际问题．
师生行为：
先由学生独立思考，然后小组内合作交流，教师和学生最后合作完成此活动．
在此活动中，教师有重点关注：
①能否从实际问题中抽象出函数模型；
②能否利用函数模型解释实际问题中的现象；
③能否积极主动的阐述自己的见解．
生：我们知道圆柱的容积是底面积×深度，而现在容积一定为104m3，所以S·d＝104．
变形就可得到底面积S与其深度d的函数关系，即S＝．
所以储存室的底面积S是其深度d的反比例函数．
生：根据函数S＝，我们知道给出一个d的值就有唯一的S的值和它相对应，反过来，知道S的一个值，也可求出d的值．
题中告诉我们“公司决定把储存室的底面积5定为500m2，即S＝500m2，”施工队施工时应该向下挖进多深，实际就是求当S＝500m2时，d＝?m．根据S＝,得500＝，解得d＝20．
即施工队施工时应该向下挖进20米．
生：当施工队按(2)中的计划挖进到地下15m时，碰上了坚硬的岩石．为了节约建设资金，公司临时改变计划，把储存室的深度改为15m，即d＝15m，相应的储存室的底面积应改为多少才能满足需要；即当d＝15m，S＝?m2呢?
根据S＝，把d＝15代入此式子，得
S＝≈666.67．
当储存室的探为15m时，储存室的底面积应改为666.67m2才能满足需要．
师：大家完成的很好．当我们把这个“煤气公司修建地下煤气储存室”的问题转化成反比例函数的数学模型时，后面的问题就变成了已知函数值求相应自变量的值或已知自变量的值求相应的函数值，借助于方程，问题变得迎刃而解，
三、巩固提高
活动3
练习：
如图，某玻璃器皿制造公司要制造一种窖积为1升(1升＝1立方分米)的圆锥形漏斗．

(1)漏斗口的面积S与漏斗的深d有怎样的函数关系?
(2)如果漏斗口的面积为100厘米2，则漏斗的深为多少?
设计意图：
让学生进一步体验反比例函数是有效地描述现实世界的重要手段，让学生充分认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具，更进一步激励学生学习数学的欲望．
师生行为：
由两位学生板演，其余学生在练习本上完成，教师可巡视学生完成情况，对“学困生”要提供一定的帮助，此活动中，教师应重点关注：
①学生能否顺利建立实际问题的数学模型；
②学生能否积极主动地参与数学活动，体验用数学模型解决实际问题的乐趣；
③学生能否注意到单位问题．
生：解：(1)根据圆锥体的体积公式，我们可以设漏斗口的面积为Scm，，漏斗的深为dcm，则容积为1升＝l立方分米＝1000立方厘米．
所以，S·d＝1000，
S＝．
(2)根据题意把S＝100cm2代入S＝,中，得
100＝．
d＝30(cm)．
所以如果漏斗口的面积为100cm2，则漏斗的深为30cm．
活动4
练习；
(1)已知某矩形的面积为20cm2，写出其长y与宽x之间的函数表达式。
(2)当矩形的长为12cm时，求宽为多少?当矩形的宽为4cm，求其长为多少?
(3)如果要求矩形的长不小于8cm，其宽至多要多少?
设计意图：
进一步让学生体会从实际问题中建立函数模型的过程，即将实际问题置于已有的知识背景之中，然后用数学知识重新理解这是什么?可以看成什么?
师生行为
由学生独立完成，教师根据学生完成情况及时给予评价．
生：解：(1)根据矩形的面积公式，我们可以得到20＝xy．
所以y＝，
即长y与宽x之间的函数表达式为y＝．
(2)当矩形的长为12cm时求宽为多少?即求当y＝12cm时，x＝?cm，则把y＝12cm代入y＝中得
12＝，
解得x＝(cm)．
当矩形的宽为4cm，求长为多少?即当x＝4cm时，y＝?cm，则
把x＝4cm代入y＝中，
y＝＝5(cm)．
所以当矩形的长为12 cm时，宽为cm；当矩形的宽为4cm时，其长为5cm．
(3)y＝此反比例函数在第一象限y随x的增大而减小，如果矩形的长不小于8cm，
即y≥8 cm，所以≥8 cm，因为x＞0，所以20≥8x．x≤(cm)．
即宽至多是m．
四、课时小结
本节课是用函数的观点处理实际问题，并且是蕴含着体积、面积这样的实际问题，而解决这些问题，关键在于分析实际情境，建立函数模型，并进一步明确数学问题，将实际问题置于已有的知识背景之中，用数学知识重新解释这是什么?可以是什么?逐步形成考察实际问题的能力，在解决问题时，应充分利用函数的图象，渗透数形结合的思想．

实际生活中的反比例函数(二)
三维目标
一、知识与技能
1．能灵活列反比例函数表达式解决一些实际问题．
2．能综合利用工程中工作量，工作效率，工作时间的关系及反比例函数的性质等知识解决一些实际问题．
二、过程与方法
1．经历分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数的模型，进而解决问题的过程．
2．体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高运用代数方法解决问题的能力．
三、情感态度与价值观
1．积极参与交流，并积极发表意见．
2．体验反比例函数是有效地描述现实世界的重要手段，认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具．
教学重点
掌握从实际问题中建构反比例函数模型．
教学难点
从实际问题中寻找变量之间的关系．关键是充分运用所学知识分析实际情况，建立函数模型，教学时注意分析过程，渗透数形结合的思想．
教具准备
多媒体课件(课本例2“码头卸货”问题)
教学过程
一、创设问题情境，引入新课
活动1
某商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发现此商品的日销售单价x元与日销售量y之间有如下关系：
x(元)
3
4
5
6
y(个)
20
15
12
10
(1)根据表中的数据在平面直角坐标系中描出实数对(x，y)的对应点；
(2)猜测并确定y与x之间的函数关系式，并画出图象；
(3)设经营此贺卡的销售利润为W元，试求出w与x之间的函数关系式，若物价局规定此贺卡的售价最高不能超过10元／个，请你求出当日销售单价x定为多少元时，才能获得最大日销售利润?
设计意图：
进一步展示现实生活中两个变量之间的反比例函数关系，激发学生学习数学的兴趣和强烈的求知欲．
师生行为：
学生亲自动手操作，并在小组内合作交流．
教师巡视学生小组讨论的结果．
在此活动中，教师应重点关注：
①学生动手操作的能力；
③学生数形结合的意识；
③学生数学建模的意识；
④学生能否大胆说出自己的见解，倾听别人的看法．
生：(1)根据表中的数据在平面直角坐标系中描出了对应点(3，20)，(4，15)，(5，12)，(6，10)．
(2)由下图可猜测此函数为反比例函数图象的一支，设y＝，把点(3，20)代人y＝，得k＝60．

所以y＝．
把点(4，15)(5，12)(6，10)代人上式均成立．
所以y与x的函数关系式为y＝．
生：(3)物价局规定此贺卡的售价最高不能超过10元／个，即x≤10，根据y＝在第一象限y随x的增大而减小，所以
≤10，y＞1O，∴1Oy≥60，y≥6．
所以W＝(x－2)y＝(x－2)×＝60－
当x＝10时，W有最大值．
即当日销售单价x定为10元时，才能获得最大利润．
师：同学们的分析都很好，除了能用数学模型刻画现实问题外，还能用数学知识解释生活中的问题．
下面我们再来看又一个生活中的问题．
二、讲授新课
活动2
[例2]码头工人以每天30吨的速度往一艘轮船上装载货物，把轮船装载宪毕恰好用了8天时间．
(1)轮船到达目的地后开始卸货，卸货速度v(单位：吨／天)与卸货时间t(单位：天)之间有怎样的函数关系?
(2)由于遇到紧急情况，船上的货物必须在不超过5日内卸载完毕，那么平均每天至少要卸多少吨货物?
设计意图：
进一步分析实际情境，建立函数模型，并进一步明确数学问题，将实际问题置于已有的知识背景之中，用数学知识重新解释是什么?可以看作什么?逐步形成考察实际问题的能力．在解决问题时，还应充分利用函数的图象，渗透数形结合的思想．
师生行为：
学生先独立思考，然后小组交流合作．
教师应鼓励学生运用数形结合，用多种方法来思考问题，充分利用好方程，不等式，函数三者之间的关系，在此活动中，教师应重点关注：
①学生能否自己建构函数模型，
②学生能否将函数，方程、不等式的知识联系起来；
③学生面对困难，有无克服困难的勇气和战胜困难的坚强意志．
师：从题设中，我们不难发现：v和t之间的函数关系，实际上是卸货速度与卸货时间之间的关系．根据卸货速度＝货物的总量÷卸货时间，就可得到v和t的函数关系．但货物的总量题中并未直接告诉，如何求得．
生：中告诉了我们码头工人以每天30吨的速度往一艘轮船上装载货物，把轮船装载完毕恰好用了8天时间，根据装货速度×装货时间＝货物的总量，可以求出轮船装载货物的总量，即货物的总量为30×8＝240吨．
师：很好!下面同学们就来自己完成．
生：解：(1)设轮船上的货物总量为k吨，则根据已知条件有：k＝3×80＝240．
所以v与t的函数式为
v＝．
(2)由于遭到紧急情况，船上的货物必须在不超过5日内卸载完毕，求平均每天至少卸多少吨货物?即当t≤5时，v至少为多少呢?
由v＝得t＝，
t≤5，所以≤5，
又∵v＞O，所以240≤5v
解得v≥48．
所以船上的货物要在不超过5日内卸载完毕，平均每天至少却4.8吨货物．
生：老师，我认为得出v与t的函数关系后，借助于图象也可以完成第(2)问．
画出v＝在第一象限内的图象(因为t＞O)．如下图．

当t＝5时，代入v＝，得v＝48
根据反比例函数的性质．v＝在第一象限，v随t的增大而减小．所以当0＜t≤5时，v≥48．即若货物不超过5天内卸完，则平均每天至少要卸货48吨．
生：我认为还可以用方程来解．
把t＝5代入v＝，得
v＝＝48，
从结果可以看出，如果全部货物恰好5天卸完，则平均每天要卸货48吨．若货物在不超过5天内卸完，则平均每天至少要卸货48吨．
师：同学们的思维非常敏捷，竟想出这么多的办法来解决这个实际问题，太棒了!
我们不妨再来看一个题，肯定能做得更好!
三、巩固提寓
活动3
一辆汽车往返于甲、乙两地之间，如果汽车以50千米／时的平均速度从甲地出发，则经过6小时可到达乙地．
(1)甲、乙两地相距多少千米?
(2)如果汽车把速度提高到v(千米／时)那么从甲地到乙地所用时间t(小时)将怎样变化?
(3)写出t与v之间的函数关系式；
(4)因某种原因，这辆汽车需在5小时内从甲地到达乙地，则此时汽车的平均速度至少应是多少?
(5)已知汽车的平均速度最大可达80千米／时，那么它从甲地到乙地最快需要多长时间?
设计意图：
本题可以通过计算解决以上问题，也可以根据函数的图象对问题进行解释，通过两种方法的比较，可以加深对这类问题的理解．
师生行为：
先由学生独立完成，后在小组内讨论交流．
教师可巡视，对“学围生”以适当的帮助．
解：(1)50×6＝300(千米)；
(2)t将减小；
(3)t＝；
(4)由题意可知≤5，
∴v≥60(千米／时)；
(5)t＝＝3.75小时
四、课时小结
本节课是继续用函数的观点处理实际问题，关键在于分析实际情境，建立函数模型，并进一步明确数学问题，将实际问题置于已有的知识背景之中，用数学知识重新解释这是什么? 可以看到什么?逐步形成考察实际问题的能力，在解决问题时不仅要充分利用函数的图象，渗透数形结合的思想，也要注意函数不等式、方程之间的联系

实际生活中的反比例函数(三)

三维目标
一、知识与技能
1．能灵活列反比例函数表达式解决一些实际问题．
2．能综合利用物理杠杆知识、反比例函数的知识解决一些实际问题．
二、过程与方法
1．经历分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型，进而解决问题．
2．体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高运用代数方法解决问题的能力．
三、情感态度与价值观
1．积极参与交流，并积极发表意见．
2．体验反比例函数是有效地描述物理世界的重要手段，认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具．
教学重点
掌握从物理问题中建构反比例函数模型．
教学难点
从实际问题中寻找变量之间的关系，关键是充分运用所学知识分析物理问题，建立函数模型，教学时注意分析过程，渗透数形结合的思想．
教具准备
多媒体课件．
教学过程
一、创设问题情境，引入新课
活动1
问属：在物理学中，有很多量之间的变化是反比例函数的关系，因此，我们可以借助于反比例函数的图象和性质解决一些物理学中的问题，这也称为跨学科应用．下面的例子就是其中之一．
[例1]在某一电路中，保持电压不变，电流I(安培)和电阻R(欧姆)成反比例，当电阻R＝5欧姆时，电流I＝2安培．
(1)求I与R之间的函数关系式；
(2)当电流I＝0.5时，求电阻R的值．
设计意图：
运用反比例函数解决物理学中的一些相关问题，提高各学科相互之间的综合应用能力．
师生行为：
可由学生独立思考，领会反比例函数在物理学中的综合应用．
教师应给“学困生”一点物理学知识的引导．
师：从题目中提供的信息看变量I与R之间的反比例函数关系，可设出其表达式，再由已知条件(I与R的一对对应值)得到字母系数k的值．