基本不等式知识点和基本题型.doc

基本不等式专题辅导

一、知识点总结
1、基本不等式原始形式
（1）若，则 （2）若，则
2、基本不等式一般形式（均值不等式） 若，则
3、基本不等式的两个重要变形
（1）若，则 （2）若，则
总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值； 当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值；
特别说明：以上不等式中，当且仅当时取“=”
4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”
5、常用结论
（1）若，则 (当且仅当时取“=”）
（2）若，则 (当且仅当时取“=”）
（3）若，则 (当且仅当时取“=”）
（4）若，则
（5）若，则
特别说明：以上不等式中，当且仅当时取“=”
6、柯西不等式
（1）若，则
（2）若，则有：
（3）设是两组实数，则有
二、题型分析
题型一：利用基本不等式证明不等式
1、设均为正数，证明不等式:≥
2、已知为两两不相等的实数，求证：
3、已知，求证：
4、 已知，且，求证：
已知，且，求证：
6、选修4—5：不等式选讲
设均为正数,且,证明:(Ⅰ); (Ⅱ).

7、选修4—5：不等式选讲： 已知，求证:

题型二：利用不等式求函数值域
1、求下列函数的值域
（1） （2） （3） （4）

题型三：利用不等式求最值 （一）（凑项）
1、已知，求函数的最小值；

变式1：已知，求函数的最小值；
变式2：已知，求函数的最大值；
练习：1、已知，求函数的最小值；

2、已知，求函数的最大值；

题型四：利用不等式求最值 （二）（凑系数）
1、当时，求的最大值；

变式1：当时，求的最大值；
变式2：设，求函数的最大值。

2、若，求的最大值；

变式：若，求的最大值；

3、求函数的最大值； （提示：平方，利用基本不等式）

变式：求函数的最大值；
题型五：巧用“1”的代换求最值问题
1、已知，求的最小值；
法一：
法二：
变式1：已知，求的最小值；
变式2：已知，求的最小值；
变式3：已知，且，求的最小值。

变式4：已知，且，求的最小值；
变式5：（1）若且，求的最小值；（2）若且，求的最小值；
变式6：已知正项等比数列满足：，若存在两项，使得，求的最小值；

题型六：分离换元法求最值（了解）
1、求函数的值域； 变式：求函数的值域；

2、求函数的最大值；（提示：换元法） 变式：求函数的最大值；

题型七：基本不等式的综合应用
1、已知，求的最小值

2、（2009天津）已知，求的最小值；

变式1：（2010四川）如果，求关于的表达式的最小值；

变式2：（2012湖北武汉诊断）已知，当时，函数的图像恒过定点，若点在直线上，求的最小值；

3、已知，，求最小值；

变式1：已知，满足，求范围；

变式2：（2010山东）已知，，求最大值；（提示：通分或三角换元）

变式3：（2011浙江）已知，，求最大值；

4、（2013年山东（理））设正实数满足,则当取得最大值时,的最大值为（ 1 ）（提示：代入换元,利用基本不等式以及函数求最值）

变式：设是正数，满足，求的最小值；

题型八：利用基本不等式求参数范围
1、（2012沈阳检测）已知，且恒成立，求正实数的最小值；

2、已知且恒成立，如果，求的最大值；（参考：4）
（提示：分离参数，换元法）

变式：已知满则，若恒成立，求的取值范围；

题型九：利用柯西不等式求最值
1、二维柯西不等式
若，则

2、二维形式的柯西不等式的变式
，

，
3、二维形式的柯西不等式的向量形式
，
4、三维柯西不等式
若，则有：

5、一般维柯西不等式
设是两组实数，则有:

题型分析
题型一：利用柯西不等式一般形式求最值
1、设，若，则的最小值为　　　　　时， 　　　　　
析： ，∴最小值为
此时 ，∴　，，

2、设，，求的最小值，并求此时之值。
：
3、设，，求之最小值为 ，此时
（析：）

4、（2013年湖南卷（理））已知则的最小值是 ()

5、（2013年湖北卷（理））设,且满足:,,求的值；

6、求 的最大值与最小值。（：最大值为，最小值为 -）
析：构造法：令 = (2sinq，cosq，- cosq)，= (1，sinf，cosf)