17-18版附加题部分第6章第74课绝对值不等式.doc

第七章　不等式选讲
第74课 绝对值不等式
[最新考纲]
内容
要求
A
B
C
不等式的基本性质

√

含有绝对值的不等式的求解

√

1．绝对值不等式的性质
(1)如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．
(2)如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．
2．绝对值不等式的解法
(1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解法：
不等式
a>0
a＝0
a<0
|x|<a
{x|－a＜x＜a}
∅
∅
|x|>a
{x|x＞a或x＜－a}
{x∈R|x≠0}
R
(2)|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解法：
①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；
②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.
(3)|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法
①利用绝对值不等式的几何意义求解；
②利用零点分段法求解；
③构造函数，利用函数的图象求解．

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)|x－a|＋|x－b|的几何意义是表示数轴上的点x到点a，b的距离之和．(　　)
(2)不等式|a|－|b|≤|a＋b|等号成立的条件是ab≤0.(　　)
(3)不等式|a－b|≤|a|＋|b|等号成立的条件是ab≤0.(　　)
(4)当ab≥0时，|a＋b|＝|a|＋|b|成立．(　　)
[答案]　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√
2．(教材改编)若关于x的不等式|ax－2|＜3的解集为，则实数a＝________.
－3　[依题意，知a≠0.
又|ax－2|＜3⇔－3＜ax－2＜3，
∴－1＜ax＜5.
由于|ax－2|＜3的解集为，
∴a＜0，＝－且－＝，则a＝－3.]
3．(教材改编)若关于x的不等式|a|≥|x＋1|＋|x－2|存在实数解，则实数a的取值范围是________．
(－∞，－3]∪[3，＋∞)　[由于|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，
∴|x＋1|＋|x－2|的最小值为3，
要使|a|≥|x＋1|＋|x－2|有解，
只需|a|≥3，∴a≥3或a≤－3.]
4．解不等式x＋|2x＋3|≥2.
[解]　当x≥－时，原不等式化为3x＋3≥2，
解得x≥－.
当x＜－时，原不等式化为－x－3≥2，
解得x≤－5.
综上，原不等式的解集是.
5．(2016·江苏高考)设a>0，|x－1|<，|y－2|<，求证：|2x＋y－4|<a.
[证明]　因为|x－1|<，|y－2|<，
所以|2x＋y－4|＝|2(x－1)＋(y－2)|≤2|x－1|＋|y－2|<＋＝a.
故原不等式得证．

绝对不等式的解法
　(2016·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝|x＋1|－|2x－3|.
(1)画出y＝f(x)的图象；
(2)求不等式|f(x)|>1的解集．

图­­
[解]　(1)由题意得f(x)＝
故y＝f(x)的图象如图所示．

(2)由f(x)的函数表达式及图象可知，
当f(x)＝1时，可得x＝1或x＝3；
当f(x)＝－1时，可得x＝或x＝5.
故f(x)＞1的解集为{x|1＜x＜3}，
f(x)＜－1的解集为.
所以|f(x)|＞1的解集为.
[规律方法]　1.本题用零点分段法画出分段函数的图象，结合图象的直观性求出不等式的解集，体现数形结合思想的应用．
2．解绝对值不等式的关键是去绝对值符号，零点分段法操作程序是：找零点，分区间，分段讨论．此外还常利用绝对值的几何意义求解．
[变式训练1]　设函数f(x)＝|x－a|.
(1)当a＝2时，解不等式f(x)≥4－|x－1|；
(2)若f(x)≤1的解集为[0,2]，＋＝a(m＞0，n＞0)，求证：m＋2n≥4.
[解]　(1)当a＝2时，不等式为|x－2|＋|x－1|≥4，
①当x≥2时，不等式可化为x－2＋x－1≥4，解得x≥；
②当＜x＜时，不等式可化为2－x＋x－1≥4，
不等式的解集为∅；
③当x≤时，不等式可化为2－x＋1－x≥4，
解得x≤－.
综上可得，不等式的解集为∪.
(2)证明：因为f(x)≤1，即|x－a|≤1，
解得a－1≤x≤a＋1，而f(x)≤1的解集是[0,2]．
所以解得a＝1，
所以＋＝1(m＞0，n＞0)，
所以m＋2n＝(m＋2n)
＝2＋＋≥2＋2＝4，
当且仅当m＝2，n＝1时取等号.

绝对值三角不等式性质的应用
　对于任意的实数a(a≠0)和b，不等式|a＋b|＋|a－b|≥M·|a|恒成立，记实数M的最大值是m.
(1)求m的值；
(2)解不等式|x－1|＋|x－2|≤m. 【导学号：62172382】
[解]　(1)不等式|a＋b|＋|a－b|≥M·|a|恒成立，
即M≤对于任意的实数a(a≠0)和b恒成立，只要左边恒小于或等于右边的最小值．
因为|a＋b|＋|a－b|≥|(a＋b)＋(a－b)|＝2|a|，
当且仅当(a－b)(a＋b)≥0时等号成立，
|a|≥|b|时，≥2成立，
也就是的最小值是2，即m＝2.
(2)|x－1|＋|x－2|≤2.
法一：利用绝对值的意义得：≤x≤.
法二：①当x＜1时，不等式为－(x－1)－(x－2)≤2，
解得x≥，所以x的取值范围是≤x＜1.
②当1≤x≤2时，不等式为(x－1)－(x－2)≤2，
得x的取值范围是1≤x≤2.
③当x＞2时，原不等式为(x－1)＋(x－2)≤2,2＜x≤.
综上可知，不等式的解集是.
[规律方法]　1.(1)利用绝对值不等式性质定理要注意等号成立的条件：当ab≥0时，|a＋b|＝|a|＋|b|；当ab≤0时，|a－b|＝|a|＋|b|；当(a－b)(b－c)≥0时，|a－c|＝|a－b|＋|b－c|.
(2)对于求y＝|x－a|＋|x－b|或y＝|x＋a|－|x－b|型的最值问题利用绝对值三角不等式更方便．
2．第(2)问易出现解集不全或错误．对于含绝对值的不等式，不论是分段去绝对值符号还是利用几何意义，都要不重不漏．
[变式训练2]　对于任意实数a，b，已知|a－b|≤1，|2a－1|≤1，且恒有|4a－3b＋2|≤m，求实数m的取值范围．
[解]　因为|a－b|≤1，|2a－1|≤1，
所以|3a－3b|≤3，≤，
所以|4a－3b＋2|＝
≤|3a－3b|＋＋≤3＋＋＝6，
则|4a－3b＋2|的最大值为6，
所以m≥|4a－3b＋2|max＝6，m的取值范围是[6，＋∞).

绝对值不等式的综合应用
　已知函数f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a＞0.
(1)当a＝1时，求不等式f(x)＞1的解集；
(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围.
【导学号：62172383】
[解]　(1)当a＝1时，f(x)>1化为|x＋1|－2|x－1|－1>0.
当x≤－1时，不等式化为x－4>0，无解；
当－1<x<1时，不等式化为3x－2>0，解得<x<1；
当x≥1时，不等式化为－x＋2>0，解得1≤x＜2.
所以f(x)>1的解集为.
(2)由题设可得f(x)＝
所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A，B(2a＋1,0)，C(a，a＋1)．因此△ABC的面积为(a＋1)2.
由题设得(a＋1)2>6，故a>2.
所以a的取值范围为(2，＋∞)．
[规律方法]　1.研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，转化为分段函数，然后数形结合解决是常用的思维方法．
2．第(2)问求解要抓住三点：(1)分段讨论，去绝对值符号，化f(x)为分段函数；(2)数形结合求△ABC的三个顶点坐标，进而得出△ABC的面积；(3)解不等式求a的取值范围．
[变式训练3]　(2016·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝|2x－a|＋a.
(1)当a＝2时，求不等式f(x)≤6的解集；
(2)设函数g(x)＝|2x－1|.当x∈R时，恒有f(x)＋g(x)≥3，求a的取值范围．
[解]　(1)当a＝2时，f(x)＝|2x－2|＋2.
解不等式|2x－2|＋2≤6得－1≤x≤3.
因此f(x)≤6的解集为{x|－1≤x≤3}．
(2)当x∈R时，f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋a＋|1－2x|≥|(2x－a)＋(1－2x)|＋a＝|1－a|＋a，
当x＝时等号成立，所以当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3等价于|1－a|＋a≥3.　①
当a≤1时，①等价于1－a＋a≥3，无解．
当a>1时，①等价于a－1＋a≥3，解得a≥2.
所以a的取值范围是[2，＋∞)．

[思想与方法]
1．绝对值不等式的三种常用解法：零点分段法，几何法(利用绝对值几何意义)，构造函数法．前者体现了分类讨论思想，后者体现了数形结合思想的应用．
2．不等式恒成立问题、存在性问题都可以转化为最值问题解决．
[易错与防范]
1．利用绝对值三角不等式定理|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|求函数最值，要注意其中等号成立的条件．
2．形如|x－a|＋|x－b|≥c(c＞0)的不等式，在讨论时应注意分类讨论点处的处理及c的符号判断，若c≤0，则不等式解集为R.
课时分层训练(十八)
A组　基础达标
(建议用时：30分钟)
1．已知|2x－3|≤1的解集为[m，n]．
(1)求m＋n的值；
(2)若|x－a|＜m，求证：|x|＜|a|＋1.
[解]　(1)由不等式|2x－3|≤1可化为－1≤2x－3≤1，
得1≤x≤2，
∴m＝1，n＝2，m＋n＝3.
(2)证明：若|x－a|＜1，则|x|＝|x－a＋a|≤|x－a|＋|a|＜|a|＋1.
2．若函数f(x)＝|x＋1|＋2|x－a|的最小值为5，求实数a的值.
【导学号：62172384】
[解]　当a＝－1时，f(x)＝3|x＋1|≥0，不满足题意；
当a＜－1时，f(x)＝
f(x)min＝f(a)＝－3a－1＋2a＝5，
解得a＝－6；
当a＞－1时，f(x)＝
f(x)min＝f(a)＝－a＋1＋2a＝5，
解得a＝4.
综上所述，实数a的值为－6或4.
3．已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|.
(1)当a＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集；
(2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1,2]，求a的取值范围．
[解]　(1)当a＝－3时，
不等式f(x)≥3化为|x－3|＋|x－2|≥3.(*)
若x≤2时，由(*)式，得5－2x≥3，∴x≤1.
若2＜x＜3时，由(*)式知，解集为∅.
若x≥3时，由(*)式，得2x－5≥3，∴x≥4.
综上可知，f(x)≥3的解集是{x|x≥4或x≤1}．
(2)原不等式等价于|x－4|－|x－2|≥|x＋a|，(**)
当1≤x≤2时，(**)式化为4－x－(2－x)≥|x＋a|，
解得－2－a≤x≤2－a.
由条件，[1,2]是f(x)≤|x－4|的解集的子集，
∴－2－a≤1且2≤2－a，则－3≤a≤0，
故满足条件的实数a的取值范围是[－3,0]．
4．(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝＋，M为不等式f(x)＜2的解集．
(1)求M；
(2)证明：当a，b∈M时，|a＋b|＜|1＋ab|.
[解]　(1)f(x)＝
当x≤－时，由f(x)＜2得－2x＜2，解得x＞－1；
当－＜x＜时，f(x)＜2；
当x≥时，由f(x)＜2得2x＜2，解得x＜1.
所以f(x)＜2的解集M＝{x|－1＜x＜1}．
(2)证明：由(1)知，当a，b∈M时，－1＜a＜1，－1＜b＜1，从而(a＋b)2－(1＋ab)2＝a2＋b2－a2b2－1＝(a2－1)(1－b2)＜0.
因此|a＋b|＜|1＋ab|.

B组　能力提升
(建议用时：15分钟)
1．求不等式|x＋3|－|2x－1|＜＋1的解集. 【导学号：62172385】
[解]　①当x＜－3时，原不等式化为－(x＋3)－(1－2x)＜＋1，
解得x＜10，∴x＜－3.
②当－3≤x＜时，原不等式化为(x＋3)－(1－2x)＜＋1，解得x＜－，
∴－3≤x＜－.
③当x≥时，原不等式化为
(x＋3)－(2x－1)＜＋1，
解得x＞2，∴x＞2.
综上可知，原不等式的解集为.
2．已知函数f(x)＝|x＋3|－|x－2|.
(1)求不等式 f(x)≥3的解集；
(2)若f(x)≥|a－4|有解，求a的取值范围．
[解]　(1)f(x)＝|x＋3|－|x－2|≥3，
当x≥2时，有x＋3－(x－2)≥3，解得x≥2；
当x≤－3时 ，有－x－3＋(x－2)≥3，解得x∈∅；
当－3＜x＜2时，有2x＋1≥3，解得1≤x＜2.
综上，f(x)≥3的解集为.
(2)由绝对值不等式的性质可得，
||x＋3|－|x－2||≤|(x＋3)－(x－2)|＝5，
则有－5≤|x＋3|－|x－2|≤5.
若f(x)≥|a－4|有解，则|a－4|≤5，
解得－1≤a≤9.
即a的取值范围为[－1,9]
3．已知正实数a，b满足：a2＋b2＝2.
(1)求＋的最小值m；
(2)设函数f(x)＝|x－t|＋(t≠0)，对于(1)中求得的m是否存在实数x，使得f(x)＝成立，说明理由．
[解]　(1)∵2＝a2＋b2≥2ab，
∴≥ab(a＞0，b＞0)，则≤1.
又＋≥≥2，
当且仅当a＝b时取等号，
∴＋的最小值m＝2.
(2)函数f(x)＝|x－t|＋≥＝＝|t|＋≥2.
对于(1)中的m＝2，＝1＜2.
∴满足条件的实数x不存在．
4．已知函数f(x)＝|3x＋2|.
(1)解不等式|x－1|＜f(x)；
(2)已知m＋n＝1(m，n＞0)，若|x－a|－f(x)≤＋(a＞0)恒成立，求实数a的取值范围．
[解]　(1)依题设，得|x－1|＜|3x＋2|，
所以(x－1)2＜(3x＋2)2，则x＞－或x＜－，
故原不等式的解集为.
(2)因为m＋n＝1(m＞0，n＞0)，
所以＋＝(m＋n)＝2＋＋≥4，
当且仅当m＝n＝时，等号成立．
令g(x)＝|x－a|－f(x)＝|x－a|－|3x＋2|
＝
则x＝－时，g(x)取得最大值＋a，
要使不等式恒成立，只需g(x)max＝＋a≤4.
解得a≤.
又a＞0，因此0＜a≤.