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二次函数与方程、不等式综合

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二次函数
1.能根据实际情境了解二次函数的意义；
2.会利用描点法画出二次函数的图像；
1.能通过对实际问题中的情境分析确定二次函数的表达式；
2.能从函数图像上认识函数的性质；
3.会确定图像的顶点、对称轴和开口方向；
4.会利用二次函数的图像求出二次方程的近似解；
1.能用二次函数解决简单的实际问题；
2.能解决二次函数与其他知识结合的有关问题；

知识点睛

一、二次函数与一元二次方程的联系
1. 直线与抛物线的交点
（1） 轴与抛物线得交点为.
（2） 与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点.
（3） 抛物线与轴的交点:二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：
①有两个交点抛物线与轴相交；
②有一个交点（顶点在轴上）抛物线与轴相切；
③没有交点抛物线与轴相离.
（4） 平行于轴的直线与抛物线的交点．可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是的两个实数根.
（5） 抛物线与轴两交点之间的距离．若抛物线与轴两交点为，由于、是方程的两个根，故

2. 二次函数常用的解题方法
（1） 求二次函数的图象与轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；
（2） 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；
（3） 根据图象的位置判断二次函数中，，的符号，或由二次函数中，，的符号判断图象的位置，要数形结合；
（4） 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.
（5） 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式本身就是所含字母的二次函数；以时为例，二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系如下：

抛物线与轴有两个交点
二次三项式的值可正、可零、可负
一元二次方程有两个不相等实根

抛物线与轴只有一个交点
二次三项式的值为非负
一元二次方程有两个相等的实数根

抛物线与轴无交点
二次三项式的值恒为正
一元二次方程无实数根.

3. 二次函数与一元二次方程根的分布（选讲）

所谓一元二次方程，实质就是其相应二次函数的零点（图象与轴的交点问题），因此，二次方程的实根分布问题，即二次方程的实根在什么区间内的问题，借助于二次函数及其图象利用数形结合的方法来研究是非常有益的．
设的二实根为，，，，且是预先给定的两个实数．
（1） 当两根都在区间内，方程系数所满足的充要条件：
∵，对应的二次函数的图象有下列两种情形：

当时的充要条件是：，，，．
当时的充要条件是：，，，．
两种情形合并后的充要条件是：
①
（2） 当两根中有且仅有一根在区间内，方程系数所满足的充要条件；
∵或，对应的函数的图象有下列四种情形：

从四种情形得充要条件是：
②
（3） 当两根都不在区间内方程系数所满足的充要条件：
当两根分别在区间的两旁时；
∵对应的函数的图象有下列两种情形：

当时的充要条件是：，．
当时充要条件是：，．
两种情形合并后的充要条件是：
，③
当两根分别在区间之外的同侧时：
∵或，对应函数的图象有下列四种情形：

当时的充要条件是：
，，④
当时的充要条件是：
，，⑤
（3）区间根定理
如果在区间上有，则至少存在一个，使得．
此定理即为区间根定理，又称作勘根定理，它在判断根的位置的时候会发挥巨大的威力．

例题精讲

一、二次函数与方程、不等式综合
【例1】 已知二次函数，且方程与有相同的非零实根．
（1）求的值；
（2）若，解方程.

【例2】 已知二次函数，当自变量取时，其相应的函数值小于，那么下列结论中正确的是（ ）
.的函数值小于 .的函数值大于
.的函数值等于 .的函数值与的大小关系不确定

【例3】 小明、小亮、小梅、小花四人共同探究代数式的值的情况．他们作了如下分工：小明负责找值为时的值，小亮负责找值为0时的值，小梅负责找最小值，小花负责找最大值．几分钟后，各自通报探究的结论，其中错误的是（ ）
小明认为只有当时，的值为.
小亮认为找不到实数，使的值为.
小梅发现的值随的变化而变化，因此认为没有最小值
小花发现当取大于的实数时，的值随的增大而增大，因此认为没有最大值.

【例4】 已知关于的一元二次方程有实数根，为正整数.
（1）求的值；
（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于的二次函数的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；
（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在轴下方的部分沿轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答：当直线与此图象有两个公共点时，的取值范围.

【例5】 已知函数，，为方程的两个根，点在函数的图象上．
（1）若，求函数的解析式；
（2）在（1）的条件下，若函数与的图象的两个交点为，当的面积为时，求的值；
（3）若，当时，试确定三者之间的大小关系，并说明理由．

【例6】 已知方程的两个实根一个小于，一个大于，求的取值范围．

【例7】 已知方程的两根均大于，求的关系式．

【例8】 设二次方程有一根比大，另一根比小，试确定实数的范围．

【例9】 若二次方程在区间内仅有较大实根，另一根不等于，求的取值范围．

【例10】 已知方程有两个实数根，并且．证明：
（1）；
（2）．

【例11】 若的二次方程，因为方程的解都位于的范围中，求正整数的
值．

【例12】 设有整系数二次函数，其图像开口方向朝上，且与轴有两个交点，分别在
、内，且的判别式等于，试求的值．

【例13】 已知方程有两个大于的实根，求的取值范围．

【例14】 若关于的二次方程的两根、满足，求实数的取值范围．

【例15】 方程有两实根，且两根都大于，证明．

【例16】 已知方程的两实根为、，方程的两实根为、．
（1）若、均为负整数，且，求、的值；
（2）若，，求证：．

【例17】 设是实数，二次方程的一个根属于区间，另一个根属于区间，求的取值范围．

【例18】 已知、均为正整数，若关于的方程的两个实数根都大于且小于，求、的值．

【例19】 实数在什么范围内取值时，关于的方程的一个根大于而小于，另一个根大于而小于？

【例20】 已知方程有两个不同实根，求证：方程至少有一个根，在前一个方程的两根之间．（此处）

【例21】 试证：若实数满足条件，这里时正数，那么方程有一个根介于和之间．

【例22】 阅读材料，解答问题．
例：用图象法解一元二次不等式：．
解：设，则是的二次函数．
∵，∴抛物线开口向上．
又∵当时，，解得．
∴由此得抛物线的大致图象如图所示．
观察函数图象可知：当或时，．
∴的解集是或．
（1）观察图象，直接写出一元二次不等式：的解集是____________；
（2）仿照上例，用图象法解一元二次不等式：．

【例23】 阅读下列内容后，解答下列各题：
几个不等于的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．
例如：考查代数式的值与的大小
当时，，∴
当时，，∴
当时，，∴
综上：当时，；当或时，
（1）填写下表：（用“”或“”填入空格处）

（2）由上表可知，当满足 时，；
（3）运用你发现的规律，直接写出当满足 时，．

【例24】 如图所示，抛物线与轴的两个交点分别为和，当时，的取值范围是 ．

【例25】 如下右图是抛物线的一部分，其对称轴为直线，若其与轴一交点为，则由图象可知，不等式的解集是 ．

【例26】 解不等式：．

【例27】 对于满足的所有实数，求使不等式成立的的取值范围．

【例28】 已知二次函数
（1）求证：不论为任何实数，这个函数的图象与轴总有交点，
（2）为何实数时，这两个交点间的距离最小？这个最小距离是多少？

【例29】 先阅读理解下面的例题，再按要求解答：
例题：解一元二次不等式．
解：∵，
∴．
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，有
（1）（2）
解不等式组（1），得，
解不等式组（2），得，
故的解集为或，
即一元二次不等式的解集为或．
问题：求分式不等式的解集．

【例30】 不等式的解为，求的最小值．
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