三角不等式.doc

第23讲 三角不等式
竞赛热点
含有未知数的三角函数的不等式叫做三角不等式。
在高中数学竞赛内容中，涉及三角不等式的问题有三类：一是三角不等式的证明，二是解三角不等式，三是应用三角不等式求最值。
处理三角不等式的问题一方面要有扎实的三角变形能力，另一方面还需要有三角函数的图象和性质的认识。同时，对不等式的有关性质和证明方法要能灵活运用。
解题示范
例1：已知，，求证：
思路分析：本题从三角变形入手不易，不可考虑利用放缩，转化为代数不等式。
证明：因为
所以
又
所以

即
点评：此题应用三角函数中重要的不等式：若，则此结论的应用，将三角不等式转化为代数不等式，叠乘即证得。
例2：当时，求证：
思路分析；利用和差化积公式和变为乘积的形式，再放缩证明。
证明：因为

所以
引申：此证明中利用进行放缩，从证明过程中可以看出，等号当且仅当时成立。
因为在内上凸，所以我们很容易推广此不等式为
特殊地，在中，有成立。
例3：已知，证明：
思路分析：原不等式等价为 ，再考虑利用几何意义构造证明。
证明：因为原不等式等价为
，
即
如图，
①
②
③
，
，
··，
①、②、③分别表示图中阴影矩形的面积，而表示单位圆在第一象限的面积。
所以成立。
即
点评：此题巧妙地利用三角线几何意义，构造矩形的面积证明，有较强的技巧性。
例4：已知，求证：
思路分析：所证不等式中涉及三个变量，结合结构特征，考虑一元二次方程构造证明。
证明：当时，原不等式显然成立。
当时，构造一元二次方程
因为，
所以所作方程必有一根，从而
即
点评：三角不等式的证明常通过代数方法去解决。
例5：在中，求 的整数部分。
思路分析：利用三角形内角和的特点考虑。
证明：在中，，
所以···
由幂平均不等式，则

又当时，
所以，
，

故
即S的整数部分为4。
点评：证明过程中利用了幂平均不等式和时，1 ，既考虑了三角特点，又结合了代数不等式知识。
例6：求实数的取值范围，使不等式 ，在恒成立。
思路分析：对题中与关系换元解决。
解：设，由可得
原不等式可化为，
即
因为，所以
即
记，易知在上单调递减。
所以
故
点评：换元之后，将三角不等化为代数不等式解决，既转化了形式，又简化了不等式。
例7：已知，若对于一切实数，都有 ，求证：
思路分析：分析题中结构，考虑引入辅助角方法证明。
证明：若，则结论显然成立。
若，
令，
于是， ①
②
由①+②得，
即
所以对一切都成立。
取，
即有
又 ③
由①+③得
即
取时，，即
点评：此题在恒成立的不等式中，通过赋值得②、③是关键的技巧。
例8：已知··…·，若对任意一组满足上述条件的，都有，求的最小值。
思路分析：先退到特殊形式考虑，再进一步处理一般形式。
解：当时，；
当时，由得
可证，且时等号成立，带入所以；
当时，得证
事实上，不妨，则，
只需证 ①
因为··，
所以
即
又，
，
所以
（1）若，则
所以
（2）若，
即
即
所以
所以
另外，当时，

故
点评：当时，将问题转化为①，从而使问题得到解决。