旋转中的角度-线段的长度-面积问题.doc

旋转中的角度，线段长度，面积问题导学案
一、复习导入 自主发现
1、旋转的三要素：_______ 、________ 、__________ ；

2.如图，△ABO的顶点坐标分别为A（1，4）、B（2，1）、O（0，0），如果将△ABO绕点O按逆时针方向旋转90°，得到△A′B′O′，那么点A′、B′的对应点的坐标是___________________,线段AB扫过的面积为________________.

二、问题剖析背景
如右图，正方形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 相交点 O,请完成以下填空：
(1)线段 AC 与 BD 位置、数量关系：_______________ ；
(2)图中共有_______ 个等腰直角三角形；
(3)图中有哪些三角形全等。
(3)S△DOC： S 正方形 ABCD=__________ 。

【问题剖析】如图 1，正方形 ABCD 中的对角线 AC 与 BD 相交点 O，分别延长 OD 到点 M， OC 到点 N，以 O 为直角顶点作等腰直角三角形 OMN. 将正方形 ABCD 固定，将△OMN 绕点 O 逆时针旋转α。
探究 1： 如图 2．若 OM 与 AD 交于点 E， ON 与 DC 交于点 F，请观察思考解决下列问题：
（ 1）找出图中新出现的全等三角形___________；
（ 2） S 四边形 OEDF： S 正方形 ABCD=________；

探究 2：若 ON=OM=2OA 如图 4，连接 AM、 DN，请解决下列问题：
（ 1）找出图中新出现的全等三角形_____________________________；
（ 2）①在旋转过程中（ 0°＜α＜90°），当∠OAM 是直角时，求α的度数；
②若 0°＜α＜180°时，还有∠OAM 是直角的情况出现吗？若有，请在备用图中画出符合条件的△OAM（不要求尺规作图），并求α角的度数，若没有，说明理由；

探究3：若 ON=OM=2OA：如图 4,若0°＜α＜90°时且正方形 ABCD 边长为 m（ m 为常数），旋转过程中当△OAM为等腰三角形时，求△OAM的面积？

探究4：若 ON=OM=2OA：如图 4,若0°≤α≤180°时且正方形 ABCD 边长为 m（ m 为常数），在旋转过程中，点M，D两点之间的最大距离和最小距离是多少？

探究5： 如图 5,连接 EF，正方形 ABCD 边长为 2，请解决下列问题：
（ 1）若旋转角α为 15°，求此时 DE:AE 的值；

（ 2）若0°＜α＜90°，在旋转过程中当△AOE 与△EDF 的面积之和最大时，求此时 DE:AE 的值。

（3）：在（2）的条件下，线段EF,OD交于点P, 求S △EPO :S △DPF的值

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三、回顾反思 总结归纳
四、迁移应用 深化提高
1.在△ABC中，AB=AC=2，∠A=90°，取一块含45°角的直角三角尺，将直角顶点放在斜边BC边的中点O处（如图1），绕O点顺时针方向旋转，使90°角的两边与Rt△ABC的两边AB，AC分别相交于点E，F（如图2）．设BE=x，CF=y．
（1）探究：在图2中，线段AE与CF之间有怎样的大小关系？试证明你的结论；
（2）若将直角三角尺45°角的顶点放在斜边BC边的中点O处（如图3），绕O点顺时针方向旋转，其他条件不变．
①试写出y与x的函数解析式，以及x的取值范围；
②将三角尺绕O点旋转（如图4）的过程中，△OEF是否能成为等腰三角形？若能，直接写出△OEF为等腰三角形时x的值；若不能，请说明理由．

2. （2016•宜昌）在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，D是△ABC内部或BC边上的一个动点（与B、C不重合），以D为顶点作△DEF，使△DEF∽△ABC（相似比k＞1），EF∥BC．
（1）求∠D的度数；
（2）若两三角形重叠部分的形状始终是四边形AGDH．
①如图1，连接GH、AD，当GH⊥AD时，请判断四边形AGDH的形状，并证明；
②当四边形AGDH的面积最大时，过A作AP⊥EF于P，且AP=AD，求k的值．

3. （2014•宜昌）在矩形ABCD中， =a，点G，H分别在边AB，DC上，且HA=HG，点E为AB边上的一个动点，连接HE，把△AHE沿直线HE翻折得到△FHE．

（1）如图1，当DH=DA时，
①填空：∠HGA=　度；
②若EF∥HG，求∠AHE的度数，并求此时a的最小值；
（2）如图3，∠AEH=60°，EG=2BG，连接FG，交边FG，交边DC于点P，且FG⊥AB，G为垂足，求a的值．