高考数学专题排列组合与二项式定理复习.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,排列组合与二项式定理,第一章：计数原理,1.1：分类加法计数原理与分步乘法计数原理,1.2：排列与组合,1.3：二项式定理,1,、分类加法计数原理,：完成一件事，有,n,类办法，在第,1,类办法中有,m,1,种不同的方法,在第,2,类办法中有,m,2,种不同的方法,在第,n,类办法中,有,m,n,种不同的方法,.,那么完成这件事共有 种不同的方法,.,2,、分步乘法计数原理,：,完成一件事，需要分成,n,个步骤，做第,1,步有,m,1,种不同的方法,做第,2,步有,m,2,种不同的方法,，做第,n,步有,m,n,种不同的方法,.,那么完成这件事共有 种不同的方法,.,两个计数原理,分类计数原理,分步计数原理,完成一件事，共有,n,类办法，关键词“,分类,”,区别,1,完成一件事，共分,n,个步骤，关键词“,分步,”,区别,2,区别,3,每类办法都能独立地完成这件事情，它是独立的、一次的、且每次得到的是最后结果，,只须一种方法就可完成这件事,。,每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步也不能完成这件事，,只有各个步骤都完成了，才能完成这件事,。,各类办法是互相独立的。,各步之间是互相关联的。,类类独立，不重不漏；,步步关联，步骤完整,。,经典例子来区分,现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画。,（1）从中任选一幅画布置房间，有几种不同的选法？,（2）从国画 油画 水彩画里各选一幅布置房间，有几种不同的选法？,（3）从这些画中选两幅不同种类的画布置房间，有几种不同的选法？,解析,（,1,）,分类原理,：,5,（国画）,+2,（油画）,+7,（水彩）,=14,（,2,）,分步原理,：,5,（国画）,2,（油画）,7,（水彩）,=70,（,3,）先分类再分步：,第一类：一幅国画一幅油画,52=10,第二类：一幅国画一幅水彩画,57=35,第三类：一幅油画一幅水彩画,27=14,所以，共有,10+35+14=59,种不同的方案,现在问题来了，还有没有其他方法呢？,假设现有,A,，,B,两名多面手，会英语的有,A,，,B,，,a,，,b,，,c,；会日语的有,A,，,B,，,d,，,e,，,f,A,B,a,b,c,A,B,d,e,f,对于会英语的,A,，,B,，,a,，,b,，,c,它们各有五种选择：,A,，,B,，,d,，,e,，,f,。可是,A,选择,A,，,B,选择,B,是不符合挑两个人的条件的，所以这两种情况不可取。还有,A,选择,B,和,B,选择,A,重复。所以,5*5-3=22,会,A,的乘于会,B,的,-,（,n+,（,n-1,）,+1,）,直接法：在处理有限制条件的排列，,优先排特殊元素,，后再排其他元素。,定元定位优先排,间接法：先不考虑特殊元素，而列出所有元素的全排列数，从中减去不满足特殊元素要求的排列数。,注意：,不重不漏,排列问题里的,“直接法”,VS“,间接法”,成才后翻,P56 T13,六个人从左到右排成一行，最左端只能排甲或已，最右端不能排甲，则不同的排法？,直接法：最左端排甲，则剩下的随便排。,最左边排乙，则甲有四个位置选择，剩,下的随便排,共,216,种。,间接法：,全排列数,-,右端站甲,-,最左端站的不是甲乙,+,右端站甲左端不站乙,共,216,种。,排列与组合,排列,：一般地，从,n,个不同元素中取出,m(mn),个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从,n,个不同元素中取出,m,个元素的一个排列。,排列数,：从,n,个不同元素中取出,m(mn),个元素的所有不同排列的个数叫做从,n,个不同元素中取出,m,个元素的排列数。用符号 表示.,排列数公式,：,排列数公式的推导,我们可以把排序过程分解为,m,个程序：第一个程序决定排于第一位的数字，第二个程序决定排于第二位的数字,.,第,m,个程序决定排于第,m,位的数字。在进行第一个程序时，有,n,个数字可供选择，因此有,n,种选法。在进行第二个程序时，,由於在前一程序已选定了一个数字,，现在可供选择的数字只剩下,n-1,个，因此有,n-1,种选法。在进行第三个程序时，由於在前一程序已选定了一个数字，现在可供选择的数字只剩下,n-2,个，因此有,n-2,种选法。按照这样直至第,m,个程序，这时可供选择的数字只剩下,n-m+1,个，因此只有,n-m+1,种选择。由於以上各程序是,各自独立,的，我们可以运用,分步乘法计数原理,求得答案为,n(n-1)(n-2).(n-m+1),即,排列数的另一个公式,阶乘：一个正整数的阶乘是所有小于及等于该数的正整数的积，并且规定,0,的阶乘为,1,。自然数,n,的阶乘写作,n!,。,亦即,n!=123.n,排列数的计算,化简,:,解,:,解方程,解方程：,解,:,由 得,化简得 ，解得,解不等式,解不等式:,解：,组合,组合,：一般地，从,n,个不同元素中取出,m(mn),个元素合成一组，叫做从,n,个不同元素中取出,m,个元素的一个组合。,组合数,：从,n,个不同元素中取出,m(mn),个元素的所有不同组合的个数叫做从,n,个不同元素中取出,m,个元素的组合数。用符号 表示.,组合数公式,：,组合数性质：,判断一个具体问题是否为组合问题,关键是看取出的元素是否与顺序有关,有关就是排列,无关便是组合,.,判断时要弄清楚“事件是什么”,.,组合数的计算,算一算：求m的值,解：m!(5-m)!/75!-m!(6-m)!/76!,=m!(7-m)!/107!,(m-21)(m-2)=0,m=21（舍去）或m=2,m=2,排列组合应用题的常用方法,1,、基本原理法,2,、特殊优先法,3,、捆绑法,4,、,插空法,5,、直接,间接法,6,、隔板,法,7,、穷举,法,1,对有约束条件的排列问题，应注意如下类型：,某些元素,不能在,或必须排列,在,某一位置；某些元素要求,连排,（即必须相邻）；某些元素要求,分离,（即不能相邻）；,2,基本的解题方法：,（）有特殊元素或特殊位置的排列问题，通常是先排特殊元素或特殊位置，称为优先处理特殊元素（位置）法（优先法）；,特殊元素,特殊位置优先安排策略,（）某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看作一个元素，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排列，这种方法称为“捆绑法”；,相邻问题捆绑处理的策略,（）某些元素不相邻排列时，可以先排其他元素，再将这些不相邻元素插入空挡，这种方法称为,“,插空法,”,；,不相邻问题插空处理的策略,习题,1.,7,人排一列，若,7,人中,甲乙丙相邻，另外,4,人也相邻，共有几种排法。,习题,2.,7,人排一列，若甲在中间，乙丙相邻，共有几种排法。,相邻问题，常用“捆绑法”,习题,3.,7,人排一列，若,7,人中,甲,，,乙,相邻，但都不与,丙,相邻,，共有几种,不同,排法,？,不相邻问题，常用“插空法”,分组问题,问题,1,：,3,个不同的小球分成两堆，有多少种分法？,问题,2,：,4,个不同的小球分成两堆，有多少种分法？,问题,3,：,6,个不同的小球分成,3,堆，有多少种分法？,平均分成,m,组要除以,分配问题,分堆问题的变式,问题,1,变式,：,3,个不同的小球放进两个盒子，每个盒子至少一个，有多少种放法？,问题,3,变式,：三名教师教六个班的课，每人至少教一个班，每班只配一名教师，则分配方案共有多少种？,问题,2,变式,：,4,本不同的书分给两个同学，每人至少一本，有多少种放法？,多个分给少个时，采用,先分组再分配,的策略,例,1,、从,6,个学校中选出,30,名学生参加数学竞赛,每校至少有,1,人,这样有几种名额分配方法？,分析,:,问题相当于把个,30,相同球放入,6,个不同盒子,(,盒子不能空的,),有几种放法,?,这类问题可用“隔板法”处理,.,解,:,采用“隔板法”得,:,分配问题,隔板法,类似练习：,1,、将,8,个学生干部的培训指标分配给,5,个不同的班级，共有多少种不同的分配方法？,2,、从一楼到二楼的楼梯有,17,级，上楼时可以一步走一级，也可以一步走两级，若要求,11,步走完，则有多少种不同的走法？,3,、方程,x+y+z=12,的非负整数解的个数为多少？,正整数解的个数呢？,一般地，对于,n N*,有,1,、二项式定理,:,通项公式,T,r+1,=,1.3：二项式定理,一般地，展开式的二项式系数,有如下性质：,（,1,）,（,2,）,（,4,）,（,3,）当,n,为偶数时，最大,当,n,为奇数时，,=,且最大,（对称性）,1.3：二项式定理,例,1.,在,(1+x),3,+(1+x),4,+,+,（,1+x,）,50,的展开式中，求含,x,3,项的系数。,解法一：,分析：可将此式看成首项为（,1+x)3,公比为（,1+x,）的等比数列，,原式,=,要在展开式中取得,x,3,项，必须在（,1+x,）,51,取得,x,4,项,故其原式的展开式中,x,3,的系数为,C,51,4,解法二：,二项式定理的应用,特定项,若 展开式中的偶数项,系数和为,-256,，求,n,例,2,n=9,二项式定理的应用,奇偶项,解：（,1,）求,a,1,+a,2,+a,3,+a,4,+a,5,+a,6,+a,7,+a,8,设,f,（,x,）,=(,3,x-1),8,分别赋予,x=1,，,0,a,1,+a,2,+a,3,+a,4,+a,5,+a,6,+a,7,+a,8,=f(1)-f(0),例：,(3x-1),8=,a,0,+a,1,x+a,2,x,2,+a,3,x,3,+a,4,x,4,+a,5,x,5,+a,6,x,6,+a,7,x,7,+a,8,x,8,变式：即对（,3x+1,）,8,进行赋值,x=1,可得,二项式定理的应用,赋值法,（,1,）求,a,1,+a,2,+a,3,+a,4,+a,5,+a,6,+a,7,+a,8,变式：求,|a,0,|+|a,1,|+|a,2,|,+|a,3,|,+|a,4,|,+|a,5,|+|a,6,|+|a,7,|+|a,8,|,（,2,）求,a,0,+a,2,+a,4,+a,6,+a,8,；,解：,（2）,设,f,（,x,）,=(,3,x-1),8,分别赋予,x=1,，,-1,a,0,+a,2,+a,4,+a,6,+a,8,=,f(1)+f(-1)/2,(3x-1),8=,a,0,+a,1,x+a,2,x,2,+a,3,x,3,+a,4,x,4,+a,5,x,5,+a,6,x,6,+a,7,x,7,+a,8,x,8,一般来说,多项式,f,（,x,）各项系数和为,f,（,1,）,奇数项系数和为,1/2,f(1)-f(-1),偶数项系数和为,1/2,f(1)+f(-1),二项式定理的应用,赋值法,求值、等式与不等式证明问题,（,3,）求证：,（,2,）求证：,55,55,+1,能被,8,整除；,课堂小结,1.,正确区分“分类”与“分步”，恰当地进行分类，使分类后不重、不漏,2,正确区分是组合问题还是排列问题，要把“定序”和“有序”区分开来,3,正确区分分堆问题和分配问题,.,4,二项式定理的通项公式,T,k,1,是第,k,1,项，而不是第,k,项，注意其指数规律,5,求二项式展开式中的特殊项,(,如：系数最大的项、二项式系数最大的项、常数项、含某未知数的次数最高的项、有理项,),时，要注意,n,与,k,的取值范围,6,注意区分,“,某项的系数,”,与,“,某项的二项式系数,”,，展开式中,“,二项式系数的和,”,与,“,各项系数的和,”,，,“,奇,(,偶,),数项系数的和,”,与,“,奇,(,偶,),次项系数的和,”,谢谢聆听,