高考数学考点解读+命题热点突破专题07导数及其应用理.pdf

小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学导数及其应用【考向解读】高考将以导数的几何意义为背景，重点考查运算及数形结合能力，导数的综合运用涉及的知识面广，综合的知识点多，形式灵活，是每年的必考内容，经常以压轴题的形式出现预测2017 年高考仍将利用导数研究 方程的根、函数的零点问题、含参数的不等式恒成立、能成立、实际问题的最值等形式考查【命题热点突破一】导数的几何意义例 1、【2016 高考新课标2 理数】若直线ykxb是曲线ln2yx的切线，也是曲线ln(1)yx的切线，则b【答案】1ln2【感悟提升】函数图像上某点处的切线斜率就是函数在该点处的导数值求曲线上的点到直线的距离的最值的基本方法是“平行切线法”，即作出与直线平行的曲线的切线，则这条切线到已知直线的距离即为曲线上的点到直线的距离的最值，结合图形可以判断是最大值还是最小值【变式探究】函数 f(x)exsin x的图像在点(0，f(0)处的切线的倾斜角为()A.34 B.3C.4 D.6【答案】C【解析】因为f（x）exsin x excos x，所以 f（0）1，即曲线y f（x）在点（0，f（0）处的小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学切线的斜率为1，所以在点（0，f（0）处的切线的倾斜角为4.【命题热点突破二】函数的单调性与最值例 2、【2016 高考山东理数】(本小题满分13 分)已知221()ln,Rxf xa xxax.（I）讨论()f x的单调性；（II）当1a时，证明3()2f xfx对于任意的1,2x成立.【答案】（）见解析；（）见解析【解析】（）)(xf的定义域为),0(；223322(2)(1)()aaxxf xaxxxx.当0a，)1,0(x时，()0f x，)(xf单调递增；(1,),()0 xf x时，)(xf单调递减.当0a时，3(1)22()()()a xf xxxxaa.（1）20a，12a，当)1,0(x或x),2(a时，()0f x，)(xf单调递增；当x)2,1(a时，()0f x，)(xf单调递减；（2）2a时，12a，在x),0(内，()0f x，)(xf单调递增；（3）2a时，120a，当)2,0(ax或x),1(时，()0f x，)(xf单调递增；小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学当x)1,2(a时，()0f x，)(xf单调递减.（）由（）知，1a时，22321122()()ln(1)xf xf xxxxxxx23312ln1xxxxx，2,1x，令1213)(,ln)(32xxxxhxxxg，2,1x.则()()()()f xf xg xh x，由1()0 xg xx可得1)1()(gxg，当且仅当1x时取得等号.又24326()xxh xx，设623)(2xxx，则)(x在x2,1单调递减，因为10)2(,1)1(，所以在2,1上存在0 x使得),1(0 xx时，)2,(,0)(0 xxx时，0)(x，所以函数()h x在),1(0 x上单调递增；在)2,(0 x上单调递减，由于21)2(,1)1(hh，因此21)2()(hxh，当且仅当2x取得等号，所以3()()(1)(2)2f xf xgh，即3()()2f xf x对于任意的 2,1 x恒成立。【感悟提升】确定函数的单调区间要特别注意函数的定义域，不要从导数的定义域确定函数的单调区间，小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学在某些情况下函数导数的定义域与原函数的定义域不同【变式探究】(1)已知函数f(x)ln(x a)ax，求函数f(x)的单调区间和极值(2)已知函数f(x)(ax 2)ex在 x 1处取得极值，求函数f(x)在 m，m 1 上的最小值【解析】解：（1）f（x）ln（xa）ax，函数f（x）的定义域为（a，），f（x）1xaaaxa2 1xa.当 a0 时，f（x）1xaa0，函数 f（x）在（a，）上为增函数，无极值.当 a 0 时，令 f（x）0，解得 x a1a a，当 f（x）0 时，解得 ax a1a，函数 f（x）为增函数，当 f（x）0 时，解得 x a1a，函数 f（x）为减函数，故当 x a1a时，函数f（x）有极大值，极大值为f a1aln1aa21.综上所述，当a0时，函数f（x）在（a，）上为增函数，无极值；当a0时，函数f（x）在a，a1a上为增函数，在a1a，上为减函数，函数f（x）有极大值，极大值为ln1aa21.（2）f（x）aex（ax 2）ex（axa2）ex.由已知得f（1）0，即（2a2）e0，解得 a1，验证知，当a1 时，函数f（x）（x2）ex在 x1 处取得极小值，所以a1.f（x）（x2）ex，f（x）ex（x2）ex（x1）ex.f（x），f（x）随 x 的变化情况如下：x（，1）1（1，）f（x）0 f（x）减 e 增所以函数f（x）在（，1）上单调递减，在（1，）上单调递增.当 m 1 时，f（x）在 m，m 1 上单调递增，f（x）minf（m）（m 2）em.当 0m 1 时，m 1m 1，f（x）在 m，1 上单调递减，在1，m 1 上单调递增，f（x）minf（1）e.小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学当 m 0 时，m 11，f（x）在 m，m 1 上单调递减，f（x）minf（m 1）（m 1）em1.综上，f（x）在 m，m 1 上的最小值f（x）min（m 2）em，m 1，e，0m1，即 a12时，令 u（x）0，得 xln 2a.当 x 0，ln 2a）时，u（x）0，g（x）ex2ax 2a 在0，ln 2a）上单调递减，所以当 x0，ln 2a）时，g（x）ex2ax2ag（0）1 2a0，则 g（x）在 0，ln 2a）上单调递减，于是 g（x）g（0）0，这与 g（x）0 恒成立矛盾.综上可得，实数a 的取值范围是，12.【感悟提升】对于求不等式恒成立时的参数范围问题，一般是将参数分离出来，使不等号一边是参数，另一边是一个区间上具体的函数，这样便于解决问题但要注意的是分离参数不是万能的，如果分离参数小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，则不要分离参数【变式探究】已知函数f(x)xex2 mx，x（0，1），ln x x2，x1，），其中 e2.718 28 是自然对数的底数，m R.(1)若函数 f(x)为(0，1)上的单调增函数，求m的取值范围；(2)对任意的1ab，求证：f（b）f（a）ba1a（1a）.（2）证明：依题意知，当x1，）时，f（x）ln x x2，所以f（b）f（a）baln b ln a abb aln b ln aba1lnbaba11a1.记 g（x）xln x1（x1，），因为 g（x）11xx1x0，所以 g（x）在 1，）上单调递增，则g（x）g（1）0，从而 ln x x 1（x 1，）.（*）又因为 1a1，由（*）式，知lnbaba1，即lnbaba 11，于是，lnbaba11a11a11aa1a2a（1a）1a（1a）.故当 1ab 时，不等式f（b）f（a）bappqq pq.，（I）求使得等式F（x）=x2-2ax+4a-2 成立的x的取值范围；（II）（i）求F（x）的最小值m（a）；（ii）求F（x）在区间 0,6上的最大值M（a）.【答案】（I）2,2a；（II）（i）20,32242,22am aaaa；（ii）348,342,4aaaa小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学（）（）设函数21fxx，2242g xxaxa，则min10fxf，2min42g xg aaa，所以，由F x的定义知min1,m afg a，即20,32242,22.am aaaa，（）当02x时，max0,222F xfxffF，当26x时，max2,6max 2,348max2,6F xg xggaFF所以，348,342,4aaM aa11.【2016 高考新课标2 理数】()讨论函数xx2f(x)x2e的单调性，并证明当0 x时，(2)20 xxex；()证明：当0,1)a时，函数2x=(0)xeaxagxx（）有最小值.设()g x的最小值为()h a，求函数()h a的值域【答案】（）详见解析；（）21(,.24e.【解析】（）()f x的定义域为(,2)(2,).222(1)(2)(2)()0,(2)(2)xxxxxexex efxxx且仅当0 x时，()0fx，所以()f x在(,2),(2,)单调递增，小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学因此当(0,)x时，()(0)1,f xf所以(2)(2),(2)20 xxxexxex（II）22(2)(2)2()(),xxea xxg xf xaxx由（I）知，()f xa单调递增，对任意0,1),(0)10,(2)0,afaafaa因此，存在唯一0(0,2,x使得0()0,f xa即0()0gx，当00 xx时，()0,()0,()f xag xg x单调递减；当0 xx时，()0,()0,()f xag xg x单调递增.因此()g x在0 xx处取得最小值，最小值为000000022000(1)+()(1)().2xxxea xef xxeg xxxx于是00h()2xeax，由2(1)()0,2(2)2xxxexeexxx单调递增所以，由0(0,2,x得002201().2022224xeeeeh ax因为2xex单调递增，对任意21(,24e存在唯一的0(0,2,x0()0,1),afx使得(),h a所以()h a的值域是21(,24e综上，当0,1)a时，()g x有()h a，()h a的值域是21(,.24e12.【2016 年高考北京理数】（本小题13 分）设函数()a xf xxebx，曲线()yf x在点(2,(2)f处的切线方程为(1)4yex，（1）求a，b的值；（2）求()f x的单调区间.【答案】（）2a，be；（2）)(xf的单调递增区间为(,).小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学【解析】（1）根据题意求出()fx，根据(2)22fe，(2)1fe，求a，b的值；（2）由题意知判断)(xf，即判断11)(xexxg的单调性，知()0g x，即()0fx，由此求得()f x的单调区间.试题解析：（1）因为bxxexfxa)(，所以bexxfxa)1()(.依题设，,1)2(,22)2(efef即,1,222222ebeebeaa解得eba,2；（2）由（）知exxexfx2)(.由)1()(12xxexexf即02 xe知，)(xf与11xex同号.令11)(xexxg，则11)(xexg.所以，当)1,(x时，0)(xg，)(xg在区间)1,(上单调递减；当),1(x时，0)(xg，)(xg在区间),1(上单调递增.故1)1(g是)(xg在区间),(上的最小值，从而),(,0)(xxg.综上可知，0)(xf，),(x，故)(xf的单调递增区间为),(.1.【2015 高考江苏，19】已知函数),()(23Rbabaxxxf.（1）试讨论)(xf的单调性；（2）若acb（实数c是a与无关的常数），当函数)(xf有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是),23()23,1()3,(，求c的值.【答案】（1）当0a时，fx在,上单调递增；当0a时，fx在2,3a，0,上单调递增，在2,03a上单调递减；小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学当0a时，fx在,0，2,3a上单调递增，在20,3a上单调递减（2）1.c（2）由（1）知，函数fx的两个极值为0fb，324327afab，则函数fx有三个零点等价于32400327affbab，从而304027aab或304027aba又bca，所以当0a时，34027aac或当0a时，34027aac设3427g aaac，因为函数fx有三个零点时，a的取值范围恰好是33,31,22，则在,3上0g a，且在331,22上0g a均恒成立，从而310gc，且3102gc，因此1c此时，3221111fxxaxaxxaxa，小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学因函数有三个零点，则2110 xaxa有两个异于1的不等实根，所以2214 1230aaaa，且21110aa，解得33,31,22a综上1c2.【2015 高考四川，理21】已知函数22()2()ln22f xxaxxaxaa，其中0a.（1）设()g x是()f x的导函数，评论()g x的单调性；（2）证明：存在(0,1)a，使得()0f x在区间(1,+)内恒成立，且()0f x在(1,+)内有唯一解.【答案】（1）当104a时，()g x在区间114114(0,),(,)22aa上单调递增，在区间114114(,)22aa上单调递减；当14a时，()g x在区间(0,)上单调递增.（2）详见解析.【解析】（1）由已知，函数()f x的定义域为(0,)，()()222ln2(1)ag xfxxaxx，所以222112()2()2224()2xaag xxxx.当104a时，()g x在区间114114(0,),(,)22aa上单调递增，在区间114114(,)22aa上单调递减；当14a时，()g x在区间(0,)上单调递增.（2）由()222ln2(1)0afxxaxx，解得11ln1xxax.小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学令2211111ln1 ln1ln1ln()2()ln2()2()1111xxxxxxxxxxxxxxxxx.则211(2)2(1)10,()2()011e eeeee，.故存在0(1,)xe，使得0()0 x.令000101ln,()1ln(1)1xxau xxx xx，.由1()10u xx知，函数()u x在区间(1,)上单调递增.所以001110()(1)()2011 1111u xuu eeaxee.即0(0,1)a.当0aa时，有000()0,()()0fxf xx，.由（1）知，函数()fx在区间(1,)上单调递增.故当0(1,)xx时，有0()0fx，从而0()()0f xf x；当0(,)xx时，有0()0fx，从而0()()0f xf x；所以，当(1,)x时，()0f x.综上所述，存在(0,1)a，使得()0f x在区间(1,+)内恒成立，且()0f x在(1,+)内有唯一解.3.【2015 高考广东，理19】设1a，函数aexxfx)1()(2(1)求)(xf的单调区间；(2)证明：)(xf在,上仅有一个零点；(3)若曲线()yf x=在点P处的切线与x轴平行，且在点(,)M m n处的切线与直线OP平行（O是坐标原点）,证明：123eam【答案】（1）,；（2）见解析；（3）见解析小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学（3）证明：f（x）=ex（x+1）2，设点 P（x0，y0）则）f（x）=ex0（x0+1）2，y=f（x）在点 P处的切线与x 轴平行，f（x0）=0，即：ex0（x0+1）2=0，x0=1 将 x0=1 代入 y=f（x）得 y0=，10 分令；g（m）=em（m+1）g（m）=em（m+1），则 g（m）=em1，由 g（m）=0得 m=0 当 m（0，+）时，g（m）0 当 m（，0）时，g（m）0 g（m）的最小值为g（0）=012 分g（m）=em（m+1）0emm+1em（m+1）2（m+1）3即：m 14 分4.【2015 高考新课标2，理 12】设函数()fx是奇函数()()f xxR的导函数，(1)0f，当0 x时，()()0 xfxf x，则使得()0f x成立的x的取值范围是（）小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学A(,1)(0,1)B(1,0)(1,)C(,1)(1,0)D(0,1)(1,)【答案】A【解析】记函数()()f xg xx，则2()()()xfxf xgxx，因为当0 x时，()()0 xfxf x，故当0 x时，()0g x，所以()g x在(0,)单调递减；又因为函数()()fx xR是奇函数，故函数()g x是偶函数，所以()g x在(,0)单调递减，且(1)(1)0gg当01x时，()0g x，则()0f x；当1x时，()0g x，则()0f x，综上所述，使得()0f x成立的x的取值范围是(,1)(0,1)，故选 A 5.【2015 高考新课标1，理 12】设函数()f x=(21)xexaxa,其中a1，若存在唯一的整数0 x，使得0()f x0，则a的取值范围是（）(A)-32e，1）(B)-32e，34）(C)32e，34）(D)32e，1）【答案】D【解析】设()g x=(21)xex，yaxa，由题知存在唯一的整数0 x，使得0()g x在直线yaxa的下方.因为()(21)xg xex，所以当12x时，()gx0，当12x时，()g x 0，所以当12x时，max()g x=12-2e，当0 x时，(0)g=-1，(1)30ge，直线yaxa恒过（1,0）斜率且a，故(0)1ag，且1(1)3geaa，解得32ea 1，故选 D.小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学6.【2015 高考新课标2，理 21】设函数2()mxf xexmx()证明：()f x在(,0)单调递减，在(0,)单调递增；（）若对于任意12,1,1x x，都有12()()1f xf xe，求m的取值范围【答案】()详见解析；（）1,1【解析】()()(1)2mxfxm ex若0m，则当(,0)x时，10mxe，()0fx；当(0,)x时，10mxe，()0fx若0m，则当(,0)x时，10mxe，()0fx；当(0,)x时，10mxe，()0fx所以，()f x在(,0)单调递减，在(0,)单调递增（）由()知，对任意的m，()f x在 1,0单调递减，在0,1单调递增，故()f x在0 x处取得最小值所以对于任意12,1,1x x，12()()1f xf xe的充要条件是：(1)(0)1,(1)(0)1,ffeffe即1,1,mmemeeme，设函数()1tg tete，则()1tg te当0t时，()0g t；当0t时，()0g t故()g t在(,0)单调递减，在(0,)单调递增又(1)0g，1(1)20gee，故当 1,1t时，()0g t当 1,1m时，()0g m，()0gm，即式成立当1m时，由()g t的单调性，()0g m，即1meme；当1m时，()0gm，即1meme综上，m的取值范围是 1,17.【2015 江苏高考，17】（本小题满分14 分）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为12ll，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到12ll，的距离分别为5千米和 40 千米，点N到12ll，的距离分别为20 千米和 2.5 千米，以12ll，所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数2ayxb（其中a，b为常数）模型.小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学（1）求a，b的值；（2）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.请写出公路l长度的函数解析式f t，并写出其定义域；当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度.【答案】（1）1000,0;ab（2）6249 109(),4f ttt定义域为5,20，min102,()15 3tf t千米【解析】（1）由题意知，点，的坐标分别为5,40，20,2.5将其分别代入2ayxb，得40252.5400abab，解得10000ab（2）由（1）知，21000yx（520 x），则点的坐标为21000,tt，设在点处的切线l交x，y轴分别于，点，32000yx，则l的方程为2310002000yxttt，由此得3,02t，230000,t小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学故2262243300034 1022tftttt，5,20t8.【2015 高考新课标2，理 12】设函数()fx是奇函数()()f xxR的导函数，(1)0f，当0 x时，()()0 xfxf x，则使得()0f x成立的x的取值范围是（）A(,1)(0,1)B(1,0)(1,)C(,1)(1,0)D(0,1)(1,)【答案】A【解析】记函数()()f xg xx，则2()()()xfxf xgxx，因为当0 x时，()()0 xfxf x，故当0 x时，()0g x，所以()g x在(0,)单调递减；又因为函数()()fx xR是奇函数，故函数()g x是偶函数，所以()g x在(,0)单调递减，且(1)(1)0gg当01x时，()0g x，则()0f x；当1x时，()0g x，则()0f x，综上所述，使得()0f x成立的x的取值范围是(,1)(0,1)，故选 A 9.【2015 高考新课标1，理 12】设函数()f x=(21)xexaxa,其中a1，若存在唯一的整数0 x，使得0()f x0，则a的取值范围是（）(A)-32e，1）(B)-32e，34）(C)32e，34）(D)32e，1）【答案】D 小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学【解析】设()g x=(21)xex，yaxa，由题知存在唯一的整数0 x，使得0()g x在直线yaxa的下方.因为()(21)xg xex，所以当12x时，()gx0，当12x时，()g x 0，所以当12x时，max()g x=12-2e，当0 x时，(0)g=-1，(1)30ge，直线yaxa恒过（1,0）斜率且a，故(0)1ag，且1(1)3geaa，解得32ea 1，故选 D.10.【2015 高考新课标2，理 21】（本题满分12 分）设函数2()mxf xexmx()证明：()f x在(,0)单调递减，在(0,)单调递增；（）若对于任意12,1,1x x，都有12()()1f xf xe，求m的取值范围【答案】()详见解析；（）1,1【解析】()()(1)2mxfxm ex若0m，则当(,0)x时，10mxe，()0fx；当(0,)x时，10mxe，()0fx若0m，则当(,0)x时，10mxe，()0fx；当(0,)x时，10mxe，()0fx所以，()f x在(,0)单调递减，在(0,)单调递增（）由()知，对任意的m，()f x在 1,0单调递减，在0,1单调递增，故()f x在0 x处取得最小值所以对于任意12,1,1x x，12()()1f xf xe的充要条件是：(1)(0)1,(1)(0)1,ffeffe即小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学1,1,mmemeeme，设函数()1tg tete，则()1tg te当0t时，()0g t；当0t时，()0g t故()g t在(,0)单调递减，在(0,)单调递增又(1)0g，1(1)20gee，故当 1,1t时，()0g t当 1,1m时，()0g m，()0gm，即式成立当1m时，由()g t的单调性，()0g m，即1meme；当1m时，()0gm，即1meme综上，m的取值范围是 1,1