中考数学专题训练-旋转模型几何变换的三种模型手拉手、半角、对角互补.pdf

几何变换的三种模型手拉手、半角、对角互补几何变换的三种模型手拉手、半角、对角互补知识关联图知识关联图等腰三角形手拉手模型等腰直角三角形（包含正方形）等边三角形（包含费马点）特殊角旋转变换 对角互补模型一般角特殊角角含半角模型一般角等线段变换（与圆相关）真题演练真题演练【练 1】（2013 北京中考）在中，（），将线ABCABACBAC060段绕点逆时针旋转 60得到线段BCBBD（1）如图 1，直接写出的大小（用含的式子表示）；ABD（2）如图 2，判断的形状并加以证明；15060BCEABE，ABE（3）在（2）的条件下，连结，若，求的值DE45DEC 【练 2】（2012 年北京中考）在中，是的中点，ABCBABCBAC，MAC是线段上的动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段PPAP2PQ（1）若且点与点重合（如图 1），线段的延长线交射线于点 PMCQBM，请补全图形，并写出的度数；DCDB（2）在图 2 中，点不与点重合，线段的延长线与射线交于点，猜PBM，CQBMD想的大小（用含的代数式表示），并加以证明；CDB（3）对于适当大小的，当点在线段上运动到某一位置（不与点，重合）PBMBM时，能使得线段的延长线与射线交于点，且，请直接写出的范CQBMDPQQD围例题精讲例题精讲考点 1：手拉手模型：全等和相似包含：包含：等腰三角形、等腰直角三角形（正方形）、等边三角形伴随旋转出全等，处于各种位置的旋转模型，及残缺的旋转模型都要能很快看出来（1）等腰三角形旋转模型图（共顶点旋转等腰出伴随全等）（2）等边三角形旋转模型图（共顶点旋转等边出伴随全等）（3）等腰直角旋转模型图（共顶点旋转等腰直角出伴随全等）（4）不等边旋转模型图（共顶点旋转不等腰出伴随相似）【例 1】（14 年海淀期末）已知四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，且ABCE（1）如图1，连接BG、DG求证：BGDE；（2）如图2，如果正方形ABCD的边长为2，将正方形CEFG绕着点C旋转到某一位置时恰好使得CGBD，BGBD求BDE的度数；请直接写出正方形CEFG的边长的值【题型总结题型总结】手拉手模型是中考中最常见的模型，突破口常见的有哪些信息？常见的考试方法有哪些？【例 2】（2014 年西城一模）四边形是正方形，是等腰直角三角形，ABCDBEF，连接，为的中点，连接，。90BEFBEEFDFGDFEGCGEC（1）如图 24-1，若点在边的延长线上，直接写出与的位置关系及ECBEGGC的值；ECGC（2）将图 24-1 中的绕点顺时针旋转至图 24-2 所示位置，请问（1）中BEFB所得的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；ACDGEFB图111124-1图24-2ACDGEFB【题型总结题型总结】此类型题目方法多样，你还能找到其他的解题方法吗？另外涉及到的中点辅助线你还能说出几种？【例 3】（2015 年海淀九上期末）如图 1，在 中，以线段为边作ABC4BC AB，使得，连接，再以为边作，使得，ABDADBDDCDCCDEDCDECDEADB（1）如图 2，当且时，用等式表示线段之间的数45ABC90ADDE，量关系；EABCD（2）将线段沿着射线的方向平移，得到线段，连接若 CBCEEFBFAF，依题意补全图 3，求线段的长；请直接写出线段的长（用含90AFAF的式子表示）EABCDEABCDEABCD 图 2 图 3 备用图图 1【例 4】（13 年房山一模）（1）如图 1，和都是等边三角形，且、三点共线，联结ABCCDEBCD、相交于点，求证：ADBEPBEAD（2）如图 2，在中，分别以、和为边在BCD120BCDoBCCDBD外部作等边、等边和等边，联结、和交BCDABCCDEBDFADBECF于点，下列结论中正确的是_（只填序号即可）；PADBECF；BECADC 60DPEEPCCPA o（3）如图 2，在（2）的条件下，求证：PBPCPDBEPPFDECADECABB图 1图 2PPFDECADECABB【题型总结题型总结】到三个定理的三条线段之和最小，夹角都为旋转与最短路程问题主要是利用旋转的性质转化120为两点之间线段最短的问题，同时与旋转有关路程最短的问题，比较重要的就是费马点问题 费尔马问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用旋转变换 考点 2：角含半角模型：全等秘籍：角含半角要旋转：构造两次全等FEDCBAGFEDCBAABCDEFFEDCBAGABCDEFGABCDEABCDEF【例 1】（2012 年西城期末）已知：如图，正方形的边长为 a，分别平ABCDBMDN分正方形的两个外角，且满足，连结，猜想线段45MANMCNCMN，和之间的等量关系并证明你的结论 BMDNMN【例 2】（2014 年平谷一模）（1）如图 1，点EF、分别是正方形ABCD的边BCCD、上的点，45EAF，连接EF，则EFBEFD、之间的数量关系是：EFBEFD连结BD，交AEAF、于点MN、，且 MNBMDN、满足222DNBMMN，请证明这个等量关系；（2）在中，ABAC，点DE、分别为BC边上的两点ABC如图 2，当60BAC，30DAE时，BDDEEC、应满足的等量关系是_；如图 3，当BAC，(090)，DAE21时，BDDEEC、应满足的等量关系是_【参考：1cossin22】ABCDEF图 1BCDE图 2ABCDE图 3AMN【题型总结题型总结】角含半角的特点有哪些，哪些是不变的量？由角含半角产生的数量关系都是有哪些？如何描述这类题目的辅助线？考点 3：对角互补模型常和角平分线性质一起考，一般有两种解题方法（全等型90）OABCEDNOMABCED（全等型120）（全等型任意角）OEDCBAOFEDCBA OEDCBA【例 1】四边形ABCD被对角线BD分为等腰直角三角形ABD和直角三角形CBD，其中A和C都是直角，另一条对角线AC的长度为2，求四边形ABCD的面积DCBA【例 2】已知：点P是MON的平分线上的一动点，射线PA交射线OM于点A，将射线PA绕点P逆时针旋转交射线ON于点B，且使180APBMONo（1）利用图 1，求证：；PAPB（2）如图 1，若点C是AB与OP的交点，当3POBPCBSS时，求与的比PBPC值；CAOPBMNT TNMBPOAC图 1 图 2 【题型总结题型总结】对角互补模型经常在哪里题目里出现，题目中有哪些提示信息？经常和哪种图形同时出现？【例 3】(初二期末)已知：如图，在中，ABCABACBAC且为内部一点，且，60120PABCPCAC120PCA（1）用含的代数式表示，得=_；APCAPC（2）求证：；BAPPCB（3）求的度数PBCBCPA 【题型总结题型总结】一般涉及到线段的旋转都可以和圆联系起来，根据圆的相关性质解题是一种比较便捷的方法。（全能突破全能突破【练 1】（2015 年昌平九上期末）如图，已知和都是等腰直角三角形，ABCVADEV，连接交于,连接交 90BACDAE ABACADAEBDAEMCE于，与交点为，连接ABNBDCEFAF（1）如图 1，求证：；BDCE（2）如图 1，求证：是的平分线；AFCFD（3）如图 2，当，时，求的长.2AC 15BCECFFEDCBA图 1NM 图 2ABCDEFMN 【练 2】（2014 西城九上期末）已知：，都是等边三角形，是与ABCDEFMBC的中点，连接，.EFADBE（1）如图 1，当与在同一条直线上时，直接写出与的数量关系和EFBCADBE位置关系；（2）固定不动，将图 1 中的绕点顺时针旋转ABCDEFVM（）角，如图 2 所示，判断（1）中的结论是否仍然成立，o0o90若成立，请加以证明；若不成立，说明理由；（3）ABC 固定不动，将图 1 中的绕点旋转（o0o90）角，DEFVM作于点设，线段，所围成的图DHBCHBHxABBEEDDA形面积为当，时，求关于的函数关系式，并写出相应S6AB2DESx的的取值范围 x图2备用图图1【练 3】（2014 年朝阳一模 24 题）在中，在中，ABCACBCAEDADED点、分别在、上，DECAAB（1）图，若，则与的数量关系是90ACBADE CDBE_；（2）若，将绕点旋转至如图所示的位置，则120ACBADE AEDA与的数量关系是_；CDBE（3）若，将绕点旋转至如图所示的2(090)ACBADE AEDA位置，探究线段与的数量关系，并加以证明（用含的式子表示）CDBE【练 4】（2015 年燕山九上期末）小辉遇到这样一个问题：如图 1，在中，RtABC，点，在边上，若，90BACABAC，EBC45DAE3BD，求的长1CEDED图 1ABCDE图 2FABCDE图 3EFDABC小辉发现，将绕点按逆时针方向旋转 90，得到，连接（如图 2），AACFVEF由图形旋转的性质和等腰直角三角形的性质以及，可证45DAE，得解，可求得(即)的长FAEDAEVVFEDEFCEVEFDE请回答：在图中，的度数是_，的长为2FCEDE_Rt ABCV参考小辉思考问题的方法，解决问题：如图 3，在四边形ABCD中，分别是边ABAD180BDEF，上的点，且猜想线段之间的数量关系并BCCD，12EAFBADBEEFFD，说明理由 【练 5】（11 年石景山一模）已知：如图，正方形ABCD中，AC,BD为对角线，将BAC绕顶点A逆时 针旋转(045oo)，旋转后角的两边分别交BD于点P、点Q，交BC,CD于点E、点F，联结EF、EQ（1）在BAC的旋转过程中，AEQ的大小是否改变，若不变写出它的度数，若改变，写出它的变化范围（直接在答题卡上写出结果，不必证明）；（2）探究APQ与AEF的面积的数量关系，写出结论并加以证明QFCDBAPE【练 6】（2015 年延庆九上期末）已知：是的内接三角形，在ABCOeABAC所对弧上，任取一点，连接，BACACDADBDCD，（1）如图 1，BAC，直接写出的大小（用含的式子表示）；ADB（2）如图 2，如果，求证：；60BAC BDCDAD （3）如图 3，如果，那么与之间的数量关系是什120BAC BDCDAD么？写出猜测并加以证明；（4）如果BAC，直接写出与之间的数量关系.BDCDADAOBCD AOBCD DCBOA 图 1图 2图 3【练 7】（1)如图，在四边形ABCD中，90ABADBD，EF、分别是边BCCD、上的点，且12EAF=BAD求证：EFBEFD;(2)如图在四边形ABCD中，180ABADB+D，EF、分别是边BCCD、上的点，且12EAFBAD，(1)中的结论是否仍然成立？不用证明 (3)如图，在四边形ABCD中，ABAD，180BADC，E F，分别是边BC CD，延长线上的点，且12EAFBAD，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明EFDCBAEFDCBAEFDCBA【练 8】小华遇到这样一个问题，如图 1,中，30，在ABCVACB65BCAC，ABCV内部有一点，连接，求的最小值PPAPBPC、PAPBPC小华是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可以求出这三条线段和的最小值了他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题他的做法是，如图2，将绕点顺时针旋转 60，得到，连接，则的长即APCVCEDCVPDBE、BE为所求（1）请你写出图 2 中，的最小值为_；PAPBPC（2）参考小华的思考问题的方法，解决下列问题：如图 3，菱形中，60，在菱形内部有一点，请在图 3ABCDABCABCDP中画出并指明长度等于最小值的线段（保留画图痕迹，画出一条即PAPBPC可）；若中菱形的边长为 4，请直接写出当值最小时的ABCDPAPBPCPB长ACBP图 1DEACBP图 2DACB图 3 【练 9】（2014 年西城二模）在，为锐角，平分交ABCVBACABACADBAC于点BCD（1）如图 1，若是等腰直角三角形，直接写出线段，之间的ABCVACCDAB数量关系；（2）的垂直平分线交延长线于点，交于点BCADEBCF如图 2，若，判断，之间有怎样的数量关系并加60ABEACCEAB以证明；如图 3，若，求的度数3ACABAEBAC【练 10】(2014 年 1 月西城八年级期末试题附加题)已知：如图，为锐角，MAN平分，点，点分别在射线和上，.ADMANBCAMAN ABAC （1）若点在线段上，线段的垂直平分线交直线于点，直线交直线ECAECADFBE于点，求证：；ADGEBFCAG （2）若（1）中的点运动到线段的延长线上，（1）中的其它条件不变，猜想ECA与的数量关系并证明你的结论.EBFCAG 备用图 1 备用图 2【练 11】（2014 海淀一模）在中，将线段绕着点逆时针旋转ABCABACACC得到线段，旋转角为，且，连接，CD0180 ADBD（1）如图，当，时，的大小为_；1100BAC60CBD（2）如图 2，当，时，求的大小；100BAC20M（3）已知的大小为（），若的大小与（）中的结果相同，BACm60120m M2请直接写出的大小图 1ABCD图 2DCBA小结与复习小结与复习1 1、旋转的基本模型特征、旋转的基本模型特征2 2、费马点问题、费马点问题3 3、角平分线和垂直平分线辅助线，中点辅助线、角平分线和垂直平分线辅助线，中点辅助线4 4、线段旋转的特点、线段旋转的特点