离散数学集合的运算ppt.pptx

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,离散数学集合的运算,一、交,P87,定义,3-2、1,设,A,B,就是集合,由,A,与,B,得公共元素组成得集合,称为,A,与,B,得交集,记为,A,B,。,A,B,=,x,|,x,A,x,B,交集得定义如图右图所示。,从交集得定义可以得到:,A,B,A,A,B,B,例,1,例,2,例,3,及性质,P87,*,如果,A,与,B,无公共元素,即,A,B=,则称,A,与,B,就是互不相交得。,例如,令,A,=,a,b,c,B,=,d,e,则,A,B,=,A,与,B,就是互不相交得。,一、并,P88,定义,3-2、2,设,A,B,就是任意得集合,由,A,中得元素或,B,中得元素组成得集合,称为,A,与,B,得,并集,记为,A,B,。,A,B,=,x,|,x,A,x,B,并集得定义如右图所示。,并集得定义可以得到:,A,A,B,B,A,B,P88,例题 集合并运算性质,定理,3-2、1 3-2、2,三、补(差),P90,定义,3-2、3,设,A,B,就是集合,属于,A,得而不属于,B,得元素组成得集合,称为,B,对于,A,得,补集,也叫,B,对于,A,得,相对补集,。记为,A,-,B,。,A,-,B,=,x,|,x,A,x,B,A-B,也称,集合,A,与,B,得差,相对补集定义如右图所示。,例如,令,A,=,B,=,则,A,-,B,=,-,=,又如,令,C,=,a,D,=,a,b,则,C,-,D,=,a,-,a,b,=,C,-,C,=,P90,例题,3,、,4,四、绝对补,定义,3-2、4,设,A,就是集合,A,对于全集,E,得相对补集,称为,A,得,绝对补,记为,A,。,A,=,E,-,A,=,x,|,x,E,x,A,=,x,|,x,A,A,得定义如图所示。,例如,令全集,E=,1,2,3,4,A=,1,2,3,则,A=,1,2,3,4,-,1,2,3,=,4,P90,绝对补运算性质,四、绝对补,例设,A,B,就是任意得集合,求证,:,A,-,B=A,(,B,),证明,:,x,A,-,B,x,A,x,B,x,A,x,B,x,A,B,即,A,-,B,A,B,。,x,A,B,x,A,x,B,x,A,x,B,x,A,-,B,故,A,B,A,-,B,所以,A,-,B=A,(,B,),。,A,-,B=A,(,B,),就是一个重要得公式,在集合得运算中经常用到,她得意义在于将相对补运算转换绝对补与交运算。,P91,定理,3-2、5,设,A,、,B,为任意两个集合,则下列关系式成立:,a)A-B=AB,b)A-B=A-(AB),P91,定理,3-2、6,交运算对差运算得分配,P91,定理,3-2、7,五、对称差,P92,定义,3-2、5,设,A,B,就是集合,由,A,中元素或,B,中元素,但不就是,A,与,B,得公共元素组成得集合,称为,A,与,B,得,对称差,记为,A,B,。,A,B,=,x,|,x,A x,B,=(A-B)(B-A)=(,A,B,),-,(,A,B,),A,B,得定义如图所示。,例如,令,A=,1,2,3,4,B=,1,2,5,6,则,A,B=A,B,-,A,B,=,1,2,3,4,5,6,-,1,2,=,3,4,5,6,五、对称差,例,设,A,B,就是任意得集合,求证,:,A,B,=(,A,-,B,)(,B,-,A,)=(,A,B,)(,B,A,),。,证明,:先证,A,B,=(,A,-,B,)(,B,-,A,),。,x,A,B,(,x,A)(x,B),(,x,A),(,x,B),)(,(,x,A),(,x,B),),(,x,A,x,B,)(,x,A,x,B,),x,A,-,B,x,B,-,A,x,(,A,-,B,)(,B,-,A,),所以,A,B,=(,A,-,B,)(,B,-,A,),。,再证,(,A,-,B,)(,B,-,A,)=(,A,B,)(,B,A,),。,很容易得到此结论,这里从略。,五、对称差,利用例,3、7,中得公式可以证明对称差,A,B,下列得性质。,设,A,B,就是任意得集合。,A,A,=,证明:,A,A,=(,A,-,A,)(,A,-,A,)=,=,A,=,A,证明:,A,=(,A,-,)(,-,A,)=,A,=,A,A,E,=,A,证明:,A,E,=(,A,-,E,)(,E,-,A,)=,A,=,A,此外:,满足交换律结合律,P94,图,3-2、7,及结论,六、五种集合运算得性质,对以上运算,可知其具性质:,1,),幂等,:,A,A=A,A,A=A,2,),交换,:,A,B=B,A,A,B=B,A,3,),结合,:(,A,B,),C=A,(,B,C,),(,A,B,),C=A,(,B,C,),4,),分配,:,A,(,B,C,),=,(,A,B,),(,A,C,),A,(,B,C,),=,(,A,B,),(,A,C,),5,),吸收,:,A,(,A,B,),=A,A,(,A,B,),=A,六、五种集合运算得性质,6,)互补:,A,A=,A,A=E,7,)德摩根:,(,A,B,),=,A,B,(,A,B,),=,A,B,8,)同一:,A,=A,E,A=A,9,)零律:,A,E=E,A,=,10,)双重否定:,(,A,),=A,11,),E=,12,),=E,*,以上共,21,个性质,都须证明,大家学习辛苦了，还是要坚持,继续保持安静,六、五种集合运算得性质,例如:,证明分配律,A,(,B,C,),=,(,A,B,),(,A,C,),证:任取,a,A,(B,C),即,a,A,且,a,B,C,即,a,A,且,a,B,或,a,C,即,a,A,且,a,B,或,a,A,且,a,C,即就是,a,A,B,或,a,A,C,就就是,a,(A,B),(A,C),A,(B,C),(A,B),(A,C),反之,任取,a,(A,B),(A,C),即,a,A,B,或,a,A,C,就就是,a,A,且,a,B,或,a,A,且,a,C,即,a,A,且,a,B,或,a,C,a,A,(B,C),A,(B,C),(A,B),(A,C),A,(B,C)=(A,B),(A,C),练习,例,1,:设,F,表示一年级大学生得集合,S,表示二年级大学生得集合,R,表示计算机科学系学生得集合,M,表示数学系学生得集合,T,表示选修离散数学学生得集合,L,表示爱好文学学生得集合,P,表示爱好体育运动学生得集合。则下列各句子所对应得集合表达式分别就是:,(,1,)所有计算机科学系二年级得学生都选修离散数学。(,A,),(,2,)数学系得学生或者爱好文学或者爱好体育运动。(,B,),(,3,)数学系一年级得学生都没有选修离散数学。(,C,),(,4,)只有一、二年级得学生才爱好体育运动。(,D,),(,5,)除去数学系与计算机科学系二年级得学生外都不选修离散数学。(,E,),练习,答案,:,A,:,R,S,T,;,B,:,M,L,P,;,C,:,(M,F),T=,;,D,:,P,F,S,;,E,:,T,(M,R),S,。,(,1,)计算机系二年级学生得集合为,R,S,选修离散数学得学生集合为,T,前者为后者子集。,(,2,)数学系学生集合为,M,爱好文学或爱好体育学生集合为,L,P,前者为后者子集。,(,3,)数学系一年级学生集合为,M,F,选修离散数学学生集合为,T,这两个集不相交。,(,4,)只有,P,才,Q,这种句型得逻辑含义就是如果,Q,则,P,。所以这句话可理解为:爱好体育得学生一定就是一、二年级得学生。爱好体育得学生构成集,P,一、二年得学生构成集,F,S,前者为后者子集。,(,5,)除去,P,都不,Q,这种句型得逻辑含义可理解为如果,Q,则,P,。原来句子就变为:选修离散数学得学生都就是数学系与计算机系二年级得学生。所以,T,(M,R),S,。,练习,例,2,:设,S,1,1,2,8,9,S,2,=2,4,6,8,S,3,=1,3,5,7,9,S,4,=3,4,5,S,5,=3,5,确定在以下条件下,x,可能与,S,1,S,5,中哪个集合相等。,(,1,)若,x,S,5,=,则(,A,)。,(,2,)若,x,S,4,但,x,S,2,=,则(,B,)。,(,3,)若,x,S,1,且,x,S,3,则(,C,),(,4,)若,x-,S,3,=,则(,D,),(,5,)若,x,S,3,且,x,S,1,则(,E,),练习,答案:,A,:,x=,S,2,;,B,:,x=,S,5,C,:,x=,S,1,S,2,或,S,4,;,D,:,x=,S,3,或,S,5,:,x,与其中任何集合都不相等。,分析:,(,1,)与,S,5,不相交得集合不含,3,与,5,只能就是,S,2,。,(,2,)只有,S,4,与,S,5,就是,S,4,得子集,但,S,4,S,2,所以,S,5,满足要求。,(,3,),x,S,3,意味着,x,中必含有偶数,S,1,S,2,与,S,4,中含有偶数并且都就是,S,1,得子集。,(,4,)由,x-,S,3,=,知,x,S,3,。因此,x,可能就是,S,3,或,S,5,。,(,5,)由于,S,3,S,1,所以有,x,S,3,S,1,与,x,S,1,矛盾。,x,与这,5,个集合中得任一个都不相等。,练习,例 某班有,50,名学生,第一次考试中,26,人成绩为优,第二次考试中,21,人成绩为优,已知两次考试中都不为优得共,17,人。问两次考试中都为优得有多少人？(用文氏图解),练习,例 某班有,50,名学生,第一次考试中,26,人成绩为优,第二次考试中,21,人成绩为优,已知两次考试中都不为优得共,17,人。问两次考试中都为优得有多少人？,解,:设,A,B,分别表示第一次与第二次考试中成绩为优得学生集合。画出文氏图,如图,3、7,所示。首先填,A,B,中得人数,这正就是要求得,设为,x,。,A,-,B,中得人数就是,26,-,x,B,-,A,中得人数就是,21,-,x,分别填入对应得区域。并列出如下 方程:,(26,-,x,),x,(21,-,x,),17=50,解得:,x,=14,约定与说明,为了使集合得表达式更加简洁,我们对,集合运算得优先顺序规定,如下:,绝对补得运算级别比其她得4个运算高,先进行绝对补运算,再进行其她得4个运算;其她得4个运算得运算顺序由括号决定。,由于并运算满足结合律,故约定以下得符号:,由于交运算满足结合律,故约定以下得符号:,约定与说明,说明,:用文氏图不仅可以表示集合得运算与她们之间得关系,而且还可以很方便地解决有限集合得计数问题。,用文氏图解决有限集合得计数问题得方法就是:,每一条性质定义一个集合,画一个圆表示这个集合。如果没有特别说明,任何两个圆画成相交得。,将已知集合得元素数填入表示该集合得区域内。通常从,n,个集合得交集填起,根据计算得结果逐步将数字填入其她各空白区域内。,如果交集得值就是未知得,可以设为,x,。根据题目得条件,列出方程或方程组,求出所需得结果。,约定与说明,还有一些关于集合运算得重要结果。例如:,A,B,A,A,B,B,A,A,B,B,A,B,A,-,B,A,A,B,A,B(,何时相等？,A,、,B,不相交时),A,B,A,B,=,B,A,B,=,A,A,-,B,=,A,B,=,A,C,B,=,C,