2018高三理科第一轮复习《空间向量》.doc

2018年高三理科第一轮复习《空间向量》
班级： 姓名： 号数： 成绩：
空间基底
空间任何三个不共面的向量都可做空间的一个基底。
共线定理
（共线存在唯一实数，。
共面定理
与、（不共线）共面存在实数对，使．
基本定理
不共面，空间任意向量存在唯一的，使
方向向量
所在直线与已知直线平行或者重合的非零向量叫做直线的方向向量。
法向量
所在直线与已知平面垂直的非零向量叫做平面的法向量。
加法
减法
;
数乘
数量积
;
垂直

平行

模, 坐标
; 终点坐标起点坐标

夹角

距离

分类
示意图
所需条件
证明原理
线线
平行

（1）直线m方向向量；
（2）直线n方向向量
∥
∥
线面
平行

（1）直线m方向向量；
（2）平面的法向量

直线∥平面
面面
平行

（1）平面的法向量
（2）平面的法向量
∥
平面∥平面
线线垂直

（1）直线m方向向量；
（2）直线n方向向量

⊥
线面
垂直

（1）直线m方向向量；
（2）平面的法向量
∥
直线⊥平面

（1）直线m方向向量；
（2）平面内两相交直线的方向向量,
=0⊥AB
=0⊥CD
⊥
AB,CD且ABCD=P
面面
垂直

（1）平面的法向量
（2）平面的法向量

平面⊥平面
分类
示意图
所需条件
证明原理
两异面直
线所成角

（0，】

（1）直线m方向向量
（2）直线n方向向量

简化：
线面角

【0，】
θ

（1）直线OA的方向
向量；
（2）平面的法向量

简化：sin=
二面角

【0，】

同进同出为互补
（1）平面的法向量
（2）平面的法向量

（1）二面角平面角是锐角
余弦就取正值
（2）二面角平面角是钝角
余弦就取负值

一进一出为相等
两异面直线间的距离

（1）直线a和直线b的公垂线的方向向量；（2）a上任意一点A，b上任意一点B，构成向量, 则
点面距离
点
面
距
离

点A到平面的距离
（1）点A和平面内任意一点B构成一个向量；
（2）平面的法向量,
则

【巩固练习题】
1、已知向量a=(3，5，-1)，b=(2，2，3)，c=(4，-1，-3)，则向量2a-3b+4c的坐标为（ ）
A、(16，0，-23) B、(28，0，-23) C、(16，-4，-1) D、(0，0，9)
2、是坐标原点，设，若，则点的坐标应为(　 )
A、 B、 C、 D、
3、点P（1，2，3）关于OZ轴的对称点的坐标为（ ）
A、(－1, －2, 3) B、(1, 2, －3) C、(－1, －2, －3) D、(－1, 2, －3)
4、下列各组向量中不平行的是（ ）
A、 B、
C、 D、
5、已知＝(2,4,5)，＝(3，x，y)，若∥，则(　　)
A、x＝6，y＝15 B、x＝3，y＝ C、x＝3，y＝15 D、x＝6，y＝
6、已知向量，，，则与的值分别为（ ）.
A、 B、 C、 D、
7、已知向量，，且与互相垂直，则k＝（ ）
A、1 B、 C、 D、
8、已知向量=（2，4，x），=（2，y，2），若||=6，⊥，则x+y的值是（　　）
A、－3或1 B、3或－1　 C、－3　　D、1
9、已知A（－1，－2，6），B（1，2，－6）,O为坐标原点，则向量的夹角（ ）A、 B、 C、0 D、
10、若向量(1,0，z)与向量(2,1,0)的夹角的余弦值为，则z等于（ ）
A、0 B、1 C、－1 D、2
11、若向量，且与的夹角余弦值为，则等于（ ）
A、 B、 C、或 D、或
12、在空间直角坐标系中，已知，，则，两点间的距离是（ ）
A、 B、 C、 D、
13、，则实数a的值为（ ）

A、3或5 B、-3或-5 C、3或-5 D、-3或5
14、已知，，则的最小值是（ ）
A、 B、 C、 D、
15、如图，空间四边形中，，，，
点在线段上，且，点为的中点，
则（ ）
A． B． C． D．
16、空间中，与向量同向共线的单位向量为（ ）
A、 B、或
C、 D、或
17、若平面、的法向量分别为，则 ( )
A、 B、 C、、 相交但不垂直 D、以上均不正确
18、若直线的方向向量为，平面的法向量为，则能使//的是( )
A、=，= B、=，=
C、=，= D、=，=

19、如图，P是正方形ABCD外一点，PA平面ABCD，PA=AB=2，且E、F分别是AB、PC的中点.
（1）求证：EF//平面PAD; （2）求证：EF平面PCD;
（3）求：直线BD与平面EFC所成角的大小.

20、如图，圆O的直径AB=5，C是圆上异于A、B的一点，BC=3， PA平面ABC，AEPC于E，且PA=2. (1) 求证：AE平面PBC; (2) 求：点A到平面PBC的距离.

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1、A 【解析】
2、B 【解析】根据题意，设点B(x,y,z),由于，
且，故可知点的坐标应为
3、A 【解析】空间点P关于OZ轴的对称点的竖坐标不变，横坐标，纵坐标互为相反数
4、D 【解析】设＝λ，又＝(0,4，－3)，则＝(0,4λ，－3λ)，
＝(4，－5,0)，＝(－4,4λ＋5，－3λ)．由·＝0，
得λ＝－，∴＝(－4，，)． ∴||＝5.
5、D 【解析】因为∥，所以，所以x＝6，y＝．
6、A【解析】向量，，
解得为与的值分别为
7、D 【解析】因为与互相垂直,所以,
所以.
8、A 【解析】
则故选A
9、A 【解析】因为A（－1，－2，6），B（1，2，－6）,O为坐标原点，
则向量，因此选A
10、A 【解析】因为向量(1,0，z)与向量(2,1,0)的夹角的余弦值为，

11、C 【解析】由已知得：，
，所以解得等于或
12、A 【解析】∵A，B两点的坐标分别是A（2，3，5），B（3，1，4），
∴|AB|=。故选A．
13、A 【解析】依题意可得，，则，解得或，故选A
14、C 【解析】解：因为，，

则
则利用二次函数的性质得到最小值为，选C
15、B 【解析】因为空间四边形OABC如图，，，，
点M在线段OA上，且OM=2MA，N为BC的中点，
所以=．所以=．故选B．
16、C 【解析】依题意可设，其中，由，
可得，解得（舍去）或，所以 .
17、A 【解析】 则，所以.选 A
18、D 【解析】D选项中，,故，因此可得//
19、（1）取PD中点M，连结AM，FM，由FM//CD,FM=CD,得FM//AE，FM=AE，
四边形AEFM是平行四边形 EF//AM，又AM面PAD，EF//面PAD
（2）PA面ABCD PACD，又ADCD CD面PAD AMCD
又PA=AB=2 AMPD AM面PCD EF面PCD
（3）过点D作DNPC交于点N，设BD与EC交于点Q，连结QN
由（2）知DQN为所求角 DN=，DQ=
RtDNQ中，sin DQN== DQN=
20、（1）证明：圆O的直径AB=5且BC=3 BCAC且AC=4
又PA面ABC BCPA BC面PAC AEBC, 又 AEPC AE面PBC
（2）解：由（1）知，AE为所求距离，在RtPAC中，AC=4，PA=2，PC=2
由等面积得 PAAC=PCAE AE=

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