三角换元(高二).doc

三角换元（一）
三角换元是一种用三角函数中的角度θ代替问题中的字母参数，然后利用三角函数之间的关系而达到解题目的的一种换元方法，此方法应用非常广泛，本文主要介绍利用三角恒等式sin2⁡θ+cos2⁡θ=1及其变形形式，来处理多元代数式的最值或取值范围问题．

例1　已知实数x,y满足−4=4，则|x|−|y|的最小值是______．
分析　题中代数式−4=4是平方差为常数的形式，可以考虑利用三角代换处理．
解　题中代数式可变形为−=1，令
x=,y=tanθ,
其中θ∈[0,π2)，则
|x|−|y|=−tanθ=,
表示点(0,2)与单位圆+=1,x∈(0,1]上的点连线的斜率的相反数，如下图：
因此，可计算得斜率的范围为(−∞,−3]，故题中所求代数式的最小值为3．
例2　设 x,y为实数，若−xy+=1，求x+2y的取值范围．
分析　联想到⁡+=1，考虑将题中−xy+=1变形，然后用三角换元进行求解．
解　题中等式可化为
+=1,
进行三角换元，令
x=+cosθ,y=,
其中θ∈[0,2π)，解得
x=sinθ+cosθ,y=,,
所以
x+2y=sinθ+cosθ=sin(θ+φ),
其中sinφ=,cosφ=．
因此，x+2y的取值范围为[−,]．
总结
(1)常用于三角换元的三角恒等式有
sinθ+cosθ=1,−tanα=1,
(2) 利用三角恒等式，可将多元代数式的变元用θ代替，进而使变元减少，然后再结合辅助角公式等方式求最值或范围即可．
(3)三角换元是换元法的一种，换元后一定注意新变元的范围，也就是需要根据题意给出θ的合理范围；
练习
1．设x,y为实数，若4++xy=1，则2x+y的最大值是______．
2．已知非零实数x,y恒满足 3+4xy≦λ(+)，则实数λ的最小值为______．
3．已知实数x,y满足+−xy=2，则++xy的取值范围为______．
答案
1．；
2．4；
3．[,6]．
三角换元（二）
例　函数f(x)=+的值域为( )
A．[1,]
B．[1,]
C．[1]
D．[1,2]
分析　考虑到(x−3)+(4−x)=1，可用三角换元对原题进行变形求解．
解　
题中函数可变形为f(x)=+
由(x−3)+(4−x)=1，可令
=sinθ,=cos⁡θ,
其中θ∈[0,]，此时题中函数化为
f(θ)=sinθ+cosθ,
其中θ∈[0,]，结合辅助角公式，得
f(θ)=2sin(θ+),
其中 θ∈[0,]，因此，f(θ)的取值范围为[1,2]，故原函数的值域为[1,2]．
总结　
(1)当题中出现两个无理式相加减的形式，且其“平方和”或“平方差”为定值时，可根据三角恒等式进行换元；
(2)三角换元是换元法的一种，换元后一定注意新变元的范围，也就是需要根据题意给出θ的合理范围；
练习
1．求函数y=+的值域．

2．设a,b>0且a+b=5，则＋+的最大值为______．

3．若不等式x+y⩽≤ k对任意正实数x,y成立，求k的最小值．

答案
1．[,]；
2．3；
3．．