小升初图形专题——五大模型.doc

小升初图形专题训练——五大模型
一、等积变换模型
（1）等底等高的两个三角形面积相等；

（2）两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；
两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。

（3）夹在一组平行线之间的等积变形，如下图；

反之，如果，则可知直线平行于。

（4）正方形的面积＝边长×边长
＝对角线×对角线÷2

S正方形＝a×a S正方形＝b×b÷2

（5）三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；

二、鸟头定理（共角定理）模型
【共角三角形】
定义：两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。
规律：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。
如图，在中，分别是上的点(如图1)或在的延长线上，在上(如图2)，则

图1 图2

三、蝴蝶定理模型
任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：

①或者
②

蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。
通过构造模型：一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；
另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。

梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)

①
②；
③梯形的对应份数为。

四、相似模型
相似三角形性质：

金字塔模型 沙漏模型

①； ②。

所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：
（1）相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；
（2）相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。

五、燕尾定理模型

S△ABG∶S△AGC＝S△BGE∶S△EGC＝BE∶EC
S△BGA∶S△BGC＝S△AGF∶S△FGC＝AF∶FC
S△AGC∶S△BCG＝S△ADG∶S△DGB＝AD∶DB

典型例题精讲
例1、一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积是长方形面积的0.15倍，黄色三
角形的面积是21平方厘米。长方形的面积是__________平方厘米。

例2、如图，三角形田地中有两条小路AE和CF，交叉处为D，张大伯常走这两条小路，他知
道DF＝DC，且AD＝2DE 。则两块地ACF和CFB的面积比是__________。

【举一反三】
两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形，如图所示， 三个三角形的面积分别是
3，7，7，则阴影四边形的面积是多少？

【拓展】
如图，已知长方形ADEF的面积16，三角形ADB的面积是3，三角形ACF的面积是4，那
么三角形ABC的面积是多少？

例3、如图，将三角形ABC的AB边延长1倍到D，BC边延长2倍到E，CA边延长3倍到F。如果三角形ABC的面积等于1，那么三角形DEF的面积是__________。

【拓展】
如图，在△ABC中，延长AB至D，使BD＝AB,延长BC至E，使，F是AC的中点，若△ABC的面积是2，则△DEF的面积是多少？

例4、如图，在△ABC中，已知M、N分别在边AC、BC上，BM与AN相交于O，若△AOM、△ABO
和△BON的面积分别是3、2、1，则△MNC的面积是__________。

【变式】
四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O。如果三角形ABD的面积等于三角BCD
的面积的，且AO＝2，DO＝3, 那么CO的长度是DO的长度的__________倍。

例5、如图，四边形EFGH的面积是66平方米，EA＝AB，CB＝BF，DC＝CG，HD＝DA，求四边形ABCD的面积。

例6、如右图长方形ABCD中，EF＝16，F＝9，求AG的长。

【铺垫】
图中四边形 ABCD是边长为12cm的正方形，从 G到正方形顶点C、D 连成一个三角形，
已知这个三角形在 AB上截得的 EF长度为4cm，那么三角形GDC的面积是多少？

例7、如图，长方形ABCD中，E为AD中点，AF与BE、BD分别交于G、H，已知AH＝5cm，HF
＝3cm，求AG。

例8、如右图，三角形ABC中，BD∶DC＝4∶9，CE∶EA＝4∶3，求AF∶FB。

【拓展】
如图，三角形ABC的面积是1，BD＝DE＝EC， CF＝FG＝GA，三角形ABC被分成9部分，
请写出这9部分的面积各是多少?

例9、如右图，△ABC中，G是AC的中点，D、E、F是BC边上的四等分点，AD与BG交于M，
AF与BG交于N，已知△ABM的面积比四边形FCGN的面积大7.2平方厘米，则△ABC的面积是
多少平方厘米？

例10、如图，在正方形ABCD中，E、F分别在BC与CD上，且CE＝2BE，CF＝2DF，连接BF，
DE，相交于点G，过G作MN，PQ得到两个正方形MGQA和正方形PCNG，设正方形MGQA的面积
为S1，正方形PCNG的面积为S2，则S1：S2＝______。

【巩固练习】
1、如图，已知△ABC的面积为1平方厘米，且BD＝DC，AD＝3DF，那么四边形CDFE的面积是多少平方厘米？

2、如图，三角形ABC面积为60，BE∶CE＝1∶2，AD∶CD＝3∶1，四边形DOEC的面积是多少？

3、如图，三角形ABC中，已知AF∶FC＝1∶2，BE∶EC＝2∶3，若三角形ABC的面积是9平方厘米，三角形GBE的面积是多少平方厘米？

4、如图，在梯形ABCD中，三角形AOD的面积为9平方厘米，三角形BOC的面积为25平方厘米，求梯形ABCD的面积是多少？

5、图中四边形土地的总面积是45公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角形的面积分别是2公顷和3公顷。那么最大的一个三角形的面积是多少公顷？

6、四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O(如图所示)。如果三角形BCD的面积等于三角形ABD的面积的4倍，且AO=3，DO=4，那么CO的长度是DO的长度的（ ）倍。

7、如图，梯形ABCD中，AB∶CD＝4∶5，△AOB的面积为1.6，求梯形ABCD的面积。

8、长方形ABCD中，△AFB是直角三角形且面积为16，FD的长是12，FB的长是3。那么，四边形FECD的面积是多少？

9、长方形ABCD的面积为24平方分米，且AE=ED，四边形CDEO的面积是多少？

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