有理数的乘方及混合运算(基础).pdf

地址：北京市西城区新德街 20 号 4 层 电话：[phone] 传真：[phone] 第 1 页 共 9 页有理数的乘方、混合运算及科学记数法（基础）有理数的乘方、混合运算及科学记数法（基础）撰稿：吴婷婷 审稿：常春芳【学习目标学习目标】1理解有理数乘方的定义；2.掌握有理数乘方运算的符号法则，并能熟练进行乘方运算；3.进一步掌握有理数的混合运算.4.会用科学记数法表示大数.【要点梳理要点梳理】要点一、有理数的乘方要点一、有理数的乘方定义：求 n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂(power)即有：.在中，叫做底数，n 叫做指数na aaang gg1 4 2 4 3个naa要点诠释：要点诠释：（1）乘方与幂不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幂是乘方运算的结果（2）底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来（3）一个数可以看作这个数本身的一次方例如，5 就是 51，指数 1 通常省略不写 要点二、乘方运算的符号法则要点二、乘方运算的符号法则（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（3）0 的任何正整数次幂都是 0；（4）任何一个数的偶次幂都是非负数，如 0na要点诠释：要点诠释：(1)有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值(2)任何数的偶次幂都是非负数要点三、有理数的混合运算要点三、有理数的混合运算有理数混合运算的顺序：(1)先乘方，再乘除，最后加减；(2)同级运算，从左到右进行；(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行要点诠释：要点诠释：(1)有理数运算分三级，并且从高级到低级进行运算，加减法是第一级运算，乘除法是第二级运算，乘方和开方(以后学习)是第三级运算；（2）在含有多重括号的混合运算中，有时根据式子特点也可按大括号、中括号、小括号的顺序进行(3)在运算过程中注意运算律的运用要点四、科学记数法要点四、科学记数法把一个大于 10 的数表示成的形式（其中是整数数位只有一位的数，10naal|10，是正整数），这种记数法叫做科学记数法，如.an42 000 00074.2 10要点诠释：要点诠释：（1）负数也可以用科学记数法表示，“”照写，其它与正数一样，如=；-300033 10 地址：北京市西城区新德街 20 号 4 层 电话：[phone] 传真：[phone] 第 2 页 共 9 页（2）把一个数写成形式时，若这个数是大于 10 的数，则 n 比这个数的整数位数少10na1.【典型例题典型例题】类型一、有理数乘方类型一、有理数乘方【高清课堂：有理数的乘方及混合运算高清课堂：有理数的乘方及混合运算 356849356849 有理数乘方的性质有理数乘方的性质】1计算：（1）（2）34 （3）4(3)（4）433(4)（5）（6）（7）（8）335（3352（23（22 3【答案与解析】（1）；3(4)(4)(4)(4)64 （2）34；4 4 464 （3）4(3)；(3)(3)(3)(3)81 （4）43；3 3 3 381 （5）；335（33327555125（6）；3353 3 32755（7）；2（23（2636（8）22 3 2 918【总结升华】与不同，而()nana()()()nnaaaa ggg1 4 44 2 4 4 43个表示的 n 次幂的相反数nnaaaa ggg1 44 2 4 4 3个a举一反三：举一反三：【变式】比较与的异同3-5（）3-5【答案】相同点：它们的结果相同，指数相同；不同点：表示-5 的 3 次方，即(-5)(-5)(-5)-125，而表示 5 的 3 次方的3-5（）3-5相反数，即-(555)因此，它们的底数不同，表示的意义不同3-5地址：北京市西城区新德街 20 号 4 层 电话：[phone] 传真：[phone] 第 3 页 共 9 页类型二、乘方的符号法则类型二、乘方的符号法则2不做运算，判断下列各运算结果的符号(-2)7，(-3)24，(-1.0009)2009，-(-2)2010553【思路点拨】理解乘方的意义，掌握乘方的符号法则【答案与解析】根据乘方的符号法则直接判断，可得：(-2)7运算的结果是负；(-3)24运算的结果为正；(-1.0009)2009运算的结果是负；运算的结果是正；-(-2)2010运算的结果553是负【总结升华】“一看底数，二看指数”，当底数是正数时，结果为正；当底数是 0 时，结果是 0；当底数是负数时，再看指数，若指数为偶数，结果为正；若指数是奇数，结果为负类型三、有理数的混合运算类型三、有理数的混合运算【高清课堂：有理数的乘方及混合运算 356849 典型例题 1】3.计算：（1）2111 0.5233-（2）3411236（3）3201111(12.75)241238 （4）33211230.10.2【答案与解析】（1）法一：原式；517(1)(7)(7)666 法二：原式=1117(1 1)(29)(7)2366 （2）原式112276 11296-35=6-(3)原式（-24）-1-8=-32-3+66-9=22 4111()384=-(4)原式=-1000-25+11=-101411830.0010.04 =【总结升华】有理数的混合运算，确定运算顺序是关键，细心计算是运算正确的前提举一反三：举一反三：【变式】计算：（1）4211(1 0.5)2(3)3（2）2421(2)(4)12 地址：北京市西城区新德街 20 号 4 层 电话：[phone] 传真：[phone] 第 4 页 共 9 页【答案】原式111151(29)1(7)17523666 原式11116(4)11612444 类型四、科学记数法类型四、科学记数法4.用科学记数法表示：(1)；（2）亿；（3）3870 000 0003000287.6【答案与解析】（1）把写成时，它是将原数的小数点向3870 000 00010na3.87a 左移动 9 位得到的，即把原数缩小到，所以；911093870 000 0003.87 10（2）亿=300 000 000 000，把亿写成时，的值应比 300 000 3000300010na3a n000 000 的整数位少 1，因此，所以 3000 亿=；11n 113 10（3）写成时，“-”照写，其它和正数一样，所以.287.610na2287.62.876 10【总结升华】带有文字单位的数先变为原数，再写成形式，的确定：n 比这个数10nan的整数位数少 1.举一反三：举一反三：【变式】据宁波市统计局公布的第六次人口普查数据，本市常住人口 760.57 万人，其中760.57 万人用科学记数法表示为 （）A7.605 7人 B7.605 7人 510610 C7.605 7人 D 0.760 57人710710【答案】B5.把下列用科学记数法表示的数转化成原数.（1）；（2）；（3）千米33.14 1071.732 1061.392 10【答案与解析】此题是对科学记数法的逆用（1）；33.14 103140（2）；71.732 1017 320 000（3）千米=千米.61.392 101392 000【总结升华】将科学记数法表示的数转化为原数，方法简单：是几就将中的小n10naa地址：北京市西城区新德街 20 号 4 层 电话：[phone] 传真：[phone] 第 5 页 共 9 页数点向右移动几位.类型五、探索规律类型五、探索规律 6.你见过拉面馆的师傅拉面吗？他们用一根粗的面条，第 1 次把两头捏在一起抻拉得到两根面条，再把两头捏在一起抻拉，反复数次，就能拉出许多根细面条，如下图，第 3次捏合抻拉得到 根面条，第 5 次捏合抻拉得到 根面条，第次捏合抻拉得n到 根面条，要想得到 64 根细面条，需 次捏合抻拉.第 1 次 第 2 次 第 3 次【思路点拨】本题考查了有理数的乘方，解题的关键是找出每一次拉出来面条的根数的规律 第 1 次：；第 2 次：；第 3 次：；第次：.122224328n2n【答案】8；32；62n【解析】由题意可知，每次捏合后所得面条数是捏合前面条数的 2 倍，所以可得到：第 1 次：；第 2 次：；第 3 次：；第次：.122224328n2n第 3 次捏合抻拉得到面条根数：，即 8 根；第 5 次得到：，即 32 根；第次捏合抻3252n拉得到；因为，所以要想得到 64 根面条，需要 6 次捏合抻拉.2n6264【总结升华】解答此类问题的方法一般是：从所给的特殊情形入手，再经过猜想归纳，从看似杂乱的问题中找出内在的规律，使问题变得有章可循举一反三：举一反三：【变式】已知 212，224，238，2416，2532，观察上面的规律，试猜想 22008的末位数字是_【答案】6【巩固练习巩固练习】一、选择题一、选择题1下列各组数中，计算结果相等的是()A-23与(-2)3 B-22与(-2)2 C与 D与22()5225(2)2 2下列说法中，正确的是（）A一个数的平方一定大于这个数 B一个数的平方一定是正数C一个数的平方一定小于这个数 D一个数的平方不可能是负数地址：北京市西城区新德街 20 号 4 层 电话：[phone] 传真：[phone] 第 6 页 共 9 页3式子的意义是（）345A 4 与 5 商的立方的相反数 B4 的立方与 5 的商的相反数 C4 的立方的相反数除 5 D的立方454中国是严重缺水的国家之一，人均淡水资源为世界人均量的四分之一，所以我们为中国节水，为世界节水若每人每天浪费水 0.32L，那么 100 万人每天浪费的水，用科学记数法表示为（）A3.2107L B 3.2106L C3.2105L D3.2104L5计算(-1)2+(-1)3()A-2 B-1 C0 D26观察下列等式：71=7，7249，73343，742401，7516807，76117649由此可判断 7100的个位数字是()A7 B9 C3 D17一根 1 米长的绳子，第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，如此下去，第 6 次后剩下的绳子的长度为()A米 B米 C米 D米3125126121212二、填空题二、填空题8在(-2)4中，指数是_，底数是_，在-23中，指数是_，底数是_，在中底数是_，指数是_2259一个数的平方等于它本身的数是_；一个数的立方等于它本身的数是 10 ；=；3 52313 22511,3(3)_ 233(2)_ 126008000=（用科学记数法表示），=（把用科53.008 10学记数法表示的数还原）.13 ，从而猜想：21 3_21 35_ 21 357_ 1 35 22005_三、解答题三、解答题14计算下列各式：(1)-23+(3-6)2-8(-1)4；地址：北京市西城区新德街 20 号 4 层 电话：[phone] 传真：[phone] 第 7 页 共 9 页(2)；232121(3)242433 (3)；2(5)10.8(2.25)77 (4)75218 1.45 63.95 69618 15已知 x 的倒数和绝对值都是它本身，y、z 是有理数，并且，2|3|(23)0yxz求的值32525xyzxy16探索规律：观察下面三行数，2，-4，8，-16，32，-64，-2，-8，4，-20，28，-68，-1，2，-4，8，-16，32，(1)第行第 10 个数是多少？(2)第行数与第行数分别有什么关系？(3)取每行第 10 个数，计算这三个数的和【答案与解析答案与解析】一、选择题一、选择题1【答案】A【解析】-23=-8，（-2）3=-82【答案】D【解析】一个数的平方与这个数的大小不定，例如：；而；22422111()242，从而 A，C 均错；一个数的平方是正数或 0，即非负数，所以 B 错，只有 D 对2003【答案】B【解析】表示 4 的立方与 5 的商的相反数3454【答案】C 【解析】100 万人每天浪费的水为：0.32100 万=0.321 000 000=3.2105L5【答案】C 【解析】(-1)21，(-1)3-16【答案】D 地址：北京市西城区新德街 20 号 4 层 电话：[phone] 传真：[phone] 第 8 页 共 9 页【解析】个位上的数字每 4 个一循环，100 是 4 的倍数，所以的个位数字应为 1 10077【答案】C二、填空题二、填空题8【答案】4，-2，3，2，2，2 【解析】依据乘方的定义解答9【答案】0，1；0，1，-1；10【答案】3，-32，14,27 511【答案】-27，7212【答案】6.008106；300 800；13【答案】21003【解析】，21 3221 353 21 3574 从而猜想：每组数中，右边的幂的底数与左边的最后一个数的关系是：an12na所以1 35 22120052005()10032三、解答题三、解答题14【解析】(1)-23+(3-6)2-8(-1)4-8+9-8-7；(2)232121(3)242433 4412744993 ；164444033 (3)2(5)10.8(2.25)77 9491(5)()7547 ；7491519547 (4)75218 1.45 63.95 69618 地址：北京市西城区新德街 20 号 4 层 电话：[phone] 传真：[phone] 第 9 页 共 9 页7521818186(1.453.95)9618 14 1526 2.51 1516 15【解析】因为 x 的倒数和绝对值都是它本身，所以 x1，又因为|y+3|+(2x+3z)20，所以 y+30 且 2x+3z0所以 y-3当 x1 时，2x+3z0，23z 把 x1，y-3，代入得：23z 3232252(3)52541351(3)51 953xyzxy 16【解析】（1）2,-4，8，-16，32，-64，第行可以改写为：2，,由-2 的指数规律，可以知道 n=10 时，即=-1024 为第 行第 10 个数（2）第行数是第行相应的数减 4；第行数是第行相应的数的-0.5 倍；（3）第行第 10 个数为-1024-4=-1028 第行第 10 个数为（-0.5）（-1024）=512所以第行、第行、第行第 10 个数字之和为-1024+（-1028）+512=-1540