2025《重庆市初中学业水平考试》数学答案.docx

[机密]2025年
6月13日11:00前
重庆市2025年初中学业水平暨高中招生考试
数 学 试 题
(全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟)
注意事项：
1. 试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答；
2. 作答前认真阅读答题卡上的注意事项：
3. 作图(包括作辅助线)请一律用黑色2B 铅笔完成；
4. 考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回.
参考公式：抛物线y=ax²+bx+c(a≠0) 的顶点坐标为( ),对称轴为
一、选择题(本大题10个小题，每小题4分，共40分)在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其 中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑.

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● 1 . 6的相反数是(A)
A.-6
● 2.下列图案中，是轴对称图形的是(B)
A.9 B.O



C

c.β


D.6

D.&

● 3.下列调查中最适合采用全面调查(普查)的是(D)
A. 调查某种柑橘的甜度情况 B. 调查某品牌新能源汽车的抗撞能力
C. 调查某市垃圾分类的情况 D. 调查全班观看电影《哪吒2》的情况
●4.如图，点A,B,C 在 ⊙O 上，∠AOB=100°,∠C 的度数是(B)
A.40° B.50° C.80° D.100°
●5.按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有4个圆点，第②个图中有8个圆点，第③个图中有12个圆点，第 ④个图中有16个圆点……按照这一规律，则第⑥个图中圆点的个数是(C)

A.32 B.28 C.24 D.20

●6.反比例函数的图象一定经过的点是(D)
A.(2,6) B.(-4,-3) C.(-3,-4) D.(6,-2)
● 7.下列四个数中，最大的是(D)
A.6.18×108 B.6.28×10⁸ C.6.18×10⁹ D.6.28×10⁹
● 8.某景区2022年接待游客25万人，经过两年加大旅游开发力度，该景区2024年接待游客达到36万人，那么该 景区这两年接待游客的年平均增长率为(B)
A.10% B.20% C.22% D.44%
●9.如图，正方形ABCD 的边长为2,点E 是BC 边的中点，连接DE,将△DCE 沿直线DE 翻折到正方形ABCD 所在 的平面内，得△DFE, 延长DF 交AB于点G.∠ADG 和∠DAG的平分线DH,AH 相交于点H, 连接GH, 则△DGH的 面积为(A)
A C D
【解析】
“12345”模型：t

●10.已知整式 M:a₀+ax+ax²+…+a„x", 其中a₀为自然数，n,a,a₂,…,a 为正整数，且a₀+a₁+…+a₀=4. 下
列说法：
①满足条件的所有整式M 中有且仅有1个单项式：
②当n=3 时，满足条件的所有整式M 的和为4x³+4x²+4x+1;
③满足条件的所有二次三项式中，当x 取任意实数时，其值一定为非负数的整式M 共有3个， 其中正确的个数是(C)
A.0 B.I C.2 D.3
【解析】n=Iao+a₁=4=(0.4):(1,3):(2,2):(3.1);
n=2:a+a₁+a₂=4=(0,1.3);(0,2.2):(0,3,1):(1,1,2):(1,2.1):(2.1.1);
n=3:a₀+a₁+a₂+a₃=4→(0,1,1,2):(0,1,2,1):(0,2,1.1);
①:单项式只有一个，当且仅当n=1 时 ，M=4x: 正确；
②:n=3 时，和为4x³+4x²+4x: 错误；
③:二次三项式：则n=2, 此时的M有：3x²+x:2x²+2x:x²+3x:2x²+x+1:x²+2x+1:x²+x+2: 非负
的有2x²+x+1:x²+2x+1:x²+x+2: 共三个，正确；

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二、填空题(本大题6个小题，每小题4分，共24分)请将下列每小题的正确答案直接填在答题卡中对应的横线上.
11. 不透明袋子中有1个红球、3个白球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出1个球，则摸出红球的 1
概 率 是 本

● 12 . 如图，ABI/CD, 直 线EF 分别与AB,CD 交于点E,F. 若∠1=70°,则∠2的度数是 70° .

● 1 3 . 若n 为正整数，且满足 n< √26<n+1,
则n=_ 5

● 14 . 若实数x,y 同时满足x-L=2,x|-y=4,
则 x”的值为
【解析】x=3;y=-1;

● 15 .)如图，AB 是 ◎O 的直径，点C 在◎0上，连接AC. 以AC 为边作菱形ACDE,CD 交 ⊙O 于 点F,AB⊥CD,

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垂足为G. 连 接AD, 交 ⊙ 0 于 点H, 连 接EH. 若 AG=12,GF=5,

【解析】(1)垂径定理：CG=GF=5;CD=AC=√CG²+AG²=13;
→DF=CD-CF=13-10=3;
(2)AD=√AG²+DG²=4√13;
割线定理：DF·DC=DH·AD

→解△ AHE:


则 DF 的 长 度 为 3 ,EH 的 长 度 为

● 16.我们规定： 一个四位数M=abed, 若满足a+b=c+d=10. 则称这个四位数为“十全数”。例如：四位数
1928,因为1+9=2+8=10,所以1928是“十全数”.按照这个规定，最小的“十全数” 是 1919 “ 十全数”
M=abcd, 将其千位数字与个位数字调换位置，百位数字与十位数字调换位置，得到一个新的数M'=dcba, 记 F(M)
. 若与均是整数，则满足条件的M的 值 是 3782 【解析】∵a+b=10,c+d=10;
∴F(M)=a-d:G(M)=81(a+d)+200;
为整数；
∴a+c+6=17;→a+c=11;
为整数；
.6a+d+6 是 1 3 的 倍 数
根据 a+c=11, 枚举可得：
①a=2,c=9 时 ，b=8,d=1:6a+d+6=19 (舍);
②a=3,c=8 时 ，b=6,d=2;6a+d+6=26=13×2
… (其余均舍去)
. 满足条件的M 的值是3782 .

三、解答题(本大题9个小题，其中第17,18题8分，其余每题10分，共86分)解答时每小题必须给出必要的演算过程
或推理步骤，画出必要的图形(包括作辅助线),请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
●17 . 求不等式组： 的所有整数解.
【解析】解：由①得：x<2; 由 ② 得 ：x≥-1;
解集在数轴上表示为：
→ 则该不等式组的所有整数解为x=-1,0,1.
●18.)学习了角平分线和尺规作图后，小红进行了拓展性研究，她发现了角平分线的另一种作法，并与她的同伴进行
交流，现在你作为她的同伴，请根据她的想法与思路，完成以下作图和填空：
第一步：构造角平分线，
小红在∠AOB 的 边OA 上任取 一 点E, 并 过 点E 作 了OA 的垂线(如图)。请你利用尺规作图，在OB 边上截取OF=
OE, 过 点F 作 OB 的垂线与小红所作的垂线交于点P, 作射线OP,OP 即为∠AOB 的平分线(不写作法，保留作图痕
迹) .
第二 步：利用三角形全等证明她的猜想.
证明：∵PE⊥OA,PF⊥OB, ∴∠OEP=∠OFP=90°.
在 R△OEP 和 RI△OFP 中 ， ①_ OE=OF ②_ OP=OP
∴RrAOEP≌ RIAOFP(HL).
∴③ ZAOP=ZBOP ∴OP 平分∠AOB.

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19. 学校开展了航天知识竞赛活动，从七、八年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩(成绩为百分制且为整 数)进行整理、描述和分析(成绩均不低于60分，用x 表示，共分四组：A.90≤x≤100;B.80≤x<90;C.70≤x
<80;D.60≤x<70), 下面给出了部分信息：
七年级20名学生竞赛成绩在B 组中的数据是：83,84,84,84,85,87,88.八年级20名学生竞赛成绩是：62,63, 65,71,72,72,75,78,81,82,84,86,86,86,89,96,97,98,98,99.
七、八年级所抽取学生竞赛成绩统计表 七年级所抽取学生竞赛成绩扇形统计图

年级
七年级
八年级
平均数
82
82
中位数
a
83
众数
84
b
根据以上信息，解答下列问题：
(1)上述图表中a=_ 84 ,b=_ 86 ,m=_ 30 ;
(2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生航天知识竞赛的成绩较好?请说明理由(写出一条理由即 可);
(3)该校七年级有学生560人，八年级有学生500人，请估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人 数共是多少?
【解析】(2)我认为该校七年级学生航天知识竞赛的成绩较好；理由如下：七年级学生航天知识竞赛成绩中位数为
84大于八年级学生航天知识竞赛成绩中位数83:因此该校七年级学生航天知识竟赛的成绩较好。

答：估计该校七、八年级参加此次竟赛成绩不低于90分的学生人数共是293人.
●20.先化简，再求值：( ),其中x=|-3|+(π-4)°
【解析】解：
x=|-3|+(π-4)°=3+1=4;
带入得：原
●21.列方程解下列问题：
某厂生产甲、乙两种文创产品.每天生产甲种文创产品的数量比每天生产乙种文创产品的数量多50个，3天时间生产 的甲种文创产品的数量比4天时间生产的乙种文创产品的数量多100个.
(1)求该厂每天生产的甲、乙文创产品数量分别是多少个?
(2)由于市场需求量增加，该厂对生产流程进行了改进，改进后，每天生产乙种文创产品的数量较改进前每天生产的 数量增加同样的数量，且每天生产甲种文创产品的数量较改进前每天增加的数量是乙种文创产品每天增加数量的2
倍。若生产甲、乙两种文创产品各1400个，乙比甲多用10天，求每天生产的乙种文创产品增加的数量。
【解析】解：(1)设每天生产x 个甲文创产品，则乙文创产品每天生产(x-50) 个；
3x-100=4(x-50)
解得：x=100
答：设每天生产100个甲文创产品；50个乙文创产品

得：y=20, 经检验，符合题意且符合实际
答：每天增加生产20个乙文创产品.

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●22.)如图，点O 为矩形ABCD 的对角线AC 的中点，AB=3,BC=4.E,F 是AC 上的点(E,F 均不与A,C 重合), 且AE=CF, 连接BE,DF. 用x 表示线段AE的长度，点E 与点F 的距离为 y. 矩形 ABCD的面积为S,△ABE的面积
为 S,△CDF 的面积为S₂
(1)请直接写出y,y 分别关于x 的函数表达式，并写出自变量x 的取值范围：
(2)在给定的平面直角坐标系中画出函数y,y₂ 的图象，并分别写出函数y,y₂ 的一条性质；
(3)结合函数图象，请直接写出y₁<n₂ 时x 的取值范围(近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2).
【解析】解；

时 ，y 随x 的增大而减小；
5时，y 随x 的增大而增大； 0<x<5 时 ，y 随x 的增大而减小；
(3)0<x<3.2

●23.)为加强森林防火，某林场采用人工瞭望与无人机巡视两种方式监测森林情况.如图，A,B,C,D 在同一平面 内 . A 是兼望台，某一时刻，观测到甲无人机位于A的正东方向10千米的B 处，乙无人机位于A的南偏西30°方向20
千米的D处。两无人机同时飞往C 处巡视，D 位于C 的正西方向上，B 位于C 的北偏西30°方向上， (参考数据： √2≈141, √3≈1.73, √5≈2.24, √7≈2.65)
(1)求BD 的长度(结果保留小数点后一位);
(2)甲、乙两无人机同时分别从B,D 出发沿BC,DC 往C 处进行巡视，乙无人机速度为甲无人机速度的2倍，当两无 人机相距20千米时，它们可以开始相互接收到信号.请问甲无人机飞离B 处多少千米时，两无人机可以开始相互接收
到信号(结果保留小数点后一位)?
【解析】(1)BD=√DN²+BN²=√20²+(10√3)²=10√7≈26.5km
(没有证明矩形—1分：没有用勾股定理或者解三角形—1分)
(2)设甲无人机在T 处，乙无人机在S 处时，相距20km 设BT=x;DS=2x;TC=20-x;SC=30-2x;

Rtars:TR+SR²=TS

解得：x=15-5 √5 (舍大)≈3.8km
∴甲无人机飞离B 处3.8千米时，两无人机可以开始相互接收到信号

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●24.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x²+bx+c 与x 轴交于A,B(6,0) 两点，与y 轴交于点C, 抛物线的对称
轴是直线
(1)求抛物线的表达式：
(2)点P 是射线BC 下方抛物线上的一动点，连接OP 与射线 BC 交于点Q, 点 D,E 为抛物线对称轴上的动点(点E 在 点D 的下方),且DE=4, 连 接BD,PE. 当 取得最大值时，求点P 的坐标及 BD+PE 的最小值：
(3)在(2)中 取得最大值的条件下，将抛物线y=x²+bx+c 沿射线BC 方向平移2 √ 2个单位长度得到抛物线y, 点 M 为 点P 的对应点，点N 为抛物线y 上的一动点，若∠NAB=∠OPM-45°, 请直接写出所有符合条件的点N 的 坐
标，并写出求解点N 的坐标的其中一种情况的过程.
【解析】(1)y=x²-5x-6;

(2)作PT⊥x 轴 交BC 于T 点

→PT 取得最大值时，有最大值：
设P(L.F-51-6),T(1.1-6)
PT=1-6-(r²-5t-6)=-P+67=-(1-3)²+9≥9,
当且仅当t=3 时等号成立，此时P(3,-12)
将 BD 沿 DE 方向平移4个单位长度得B₁E, 此时B₁(6,-4)
作 B₁ 关于直线的对称点B₂(-1,-4), 连 接PB₂; 则(BD+PE) 灬 =PB₂=√(-1-3)²+(-4+12)²=4√5;

(3)y²=x²-x-14:
①联立

①联立

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●25.)在△ABC中 ，AB=AC, 点 D 是 BC 边上一点(不与端点重合),连接AD. 将线段AD 绕点 A 逆时针旋转α得到 线段AE, 连接DE.
(1)如图1,α=∠BAC=60°,∠CAE=20°, 求∠ADB的度数：
(2)如图2,α=∠BAC=90°,BD<CD, 过点D 作DG⊥BC,DG 交CA的延长线于 G, 连接BG. 点 F 是DE 的中点， 点H 是BG的中点，连接FH,CF. 用等式表示线段FH 与CF 的数量关系并证明；
(3)如图3,∠BAC=120°,α=60°,AB =8, 连接BE,CE. 点 D 从 点B 移动到点C 过程中，将BE 绕点B 逆时针旋转 60°得线段BM, 连接EM, 作MN⊥CA 交CA的延长线于点N. 当 CE 取最小值时，在直线AB 上取一点P, 连接PE, 将△PE 沿PE 所在直线翻折到△ABC所在的平面内，得△QPE, 连接 BQ,MQ,NQ, 当BQ 取最大值时，请直接写出
△MNQ的面积.
【解析】(1)易知：△ABD≌△ACE;
LADB=180°-∠B-∠BAD=180°-60°-20°= 100;

(2)连接CE,DH.
手拉手：△4BD≌△ACE;
→ ∠ACE=∠ABD=45°,BD=CE;
→ ∠ECD=90°→RlAECD
∵ 点F 是DE 的中点
∴CF=DF=EF (斜中半)
同理：Rlac 中 ：DH=BH=HG
易证：△BDG≌ECD(S4S)
→BG=DE;
→DH=DF=CF ;
→倒角知：∠ HDF=90°;
→等腰直角△HDF;
→HF=√2DH=√2CF

③
(轨迹线+隐圆，过程略)

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