数学分析--函数的连续性(课堂PPT).ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2,*,2,1,第 四 章,函数的连续性,2,2,1,函数连续的概念,y,=(,x,),A,g,(,x,0,),A,g,(,x,0,),引例,2,3,一、函数的连续性,1.,连续的定义,和极限存在的区别,2,4,函数的连续的等价定义,2.,函数的增量,y,=(,x,),2,5,2,6,例,1,证,由定义,1,知,2,7,3.,单侧连续,定理,2,8,左、右极限存在且与函数值相等,.,2,9,例,2,解,右连续但不左连续,2,10,4.,函数的区间连续,在区间,(a,b),上每一点都连续的函数,叫做区间,(a,b),上的,连续函数,或者说函数在区间,(a,b),上连续,.,连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线,.,例如,记为：,2,11,例,3,证,2,12,o,y,x,o,y,x,o,y,x,二、函数的间断点,o,y,x,2,13,二、函数的间断点,连续,间断,2,14,例,4,解,这种情况称,x=0,为震荡间断点,.,2,15,例,5,符号函数,1,-1,x,y,o,2,16,例,6,解,2,17,可去间断点,注意,可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义,则可使其变为连续点,.,2,18,2,19,解,例,8,2,20,2,21,例,9,解,2,22,间断点分类：,第,类间断点：,都存在,第,类间断点：,不全存在,2,23,可去型,第一类间断点,o,y,x,跳跃型,无穷型,振荡型,第二类间断点,o,y,x,o,y,x,o,y,x,2,24,例,10,解,2,25,三、小结,1.,函数在一点连续必须满足的三个条件,;,3.,间断点的分类与判别,;,2.,区间上的连续函数,;,第一类间断点,:,跳跃型,可去型,.,第二类间断点,:,无穷型,振荡型,.,间断点,2,26,思考题,2,27,思考题解答,且,2,28,但反之不成立,.,例,但,2,29,练 习 题,2,30,2,31,练习题答案,2,32,2,33,三、一致连续性,f,(,x,),在某个区间,I,（或开，或闭）连续，指得是,f,(,x,),在,I,中每一点都连续，即,这就是函数在区间上的一致连续性问题。,2,34,定义（一致连续）,设,f,(,x,),为定义在区间,I,上 的函数，若,则称,f,在,I,上一致连续。,f,在,I,上一致连续,f,在,I,上连续。,反之不然。,一致连续是整体概念。,2,35,连续：,一致连续：,2,36,一般说来对,I,上无穷多个点，存在无穷多个,d,这无穷多个,d,的下确界,可能为零，也可能大于零。,如果这无穷多个,d,的下确界为零，则,不,存在适合,I,上所有点的公共的,大于,0,的,d,，,这种情况,f,(,x,),在,I,上一致连续。,如果这无穷多个,d,的下确界大于零，,则,必,存在对,I,上每一点都适用的公共的,d,，,这种情况,f,(,x,),在,I,上不一致连续，,2,37,不一致连续：,定理（,Contor,定理，一致连续性定理）,若,f,在,a,b,连续，则,f,在,a,b,一致连续。,一致连续：,2,38,例,1,证,2,39,例,2,证,（,1,）,2,40,2,41,第二节 连续函数的运算与初等函数的连续性,一、连续函数的和、积及商的连续性,二、反函数与复合函数的连续性,三、初等函数的连续性,四、小结,2,42,一、连续函数的和、积及商的连续性,定理,1,例如,2,43,二、反函数与复合函数的连续性,定理,2,严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数,.,例如,反三角函数在其定义域内皆连续,.,2,44,定理,3,意义,1.,极限符号可以与函数符号互换,;,2,45,例,1,解,定理,3,定理,3,2,46,例,2,解,2,2,47,定理,4,注意,定理,4,是定理,3,的特殊情况,.,例如,2,48,三、初等函数的连续性,三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的,.,定理,5,基本初等函数在定义域内是连续的,.,只要证明 连续即可,2,49,(,可以证明，幂函数均在其定义域内连续,),定理,6,一切初等函数在其,定义区间,内都是连续的,.,定义区间是指包含在定义域内的区间,.,2,50,(,均在其定义域内连续,),2,51,例,3,例,4,解,解,初等函数求极限的方法,代入法,2,52,例,1,解,2,53,例,2,2,54,四、小结,连续函数的和差积商的连续性,.,复合函数的连续性,.,初等函数的连续性,.,两个定理,;,两点意义,.,反函数的连续性,.,2,55,练 习 题,2,56,2,57,2,58,练习题答案,2,59,第三节 闭区间上连续函数的性质,一、最值定理,二、介值定理,三、小结,2,60,一、最值定理,定义,:,最大、最小值定义,2,61,定理,1(,最值定理,),在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值,.,注意：,1.,若区间是开区间,定理不一定成立,;,2.,若区间内有间断点,定理不一定成立,.,2,62,注意：,1,.,若区间是开区间,定理不一定成立,;,2,.,若区间内有间断点,定理不一定成立,.,2,63,定理,2(,有界性定理,),在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界,.,2,64,定理,2(,有界性定理,),在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界,.,证,则,f,(,x,),在,a,b,上有最大值,M,，最小值,m,.,2,65,二、零点定理、介值定理,定义,:,定理,3,（零点定理）,2,66,几何解释,:,B,C,A,a,b,2,67,B,C,A,a,b,证,由零点定理,用零点定理证,2,68,推论,在闭区间上连续的函数必取得介于最大值 与最小值 之间的任何值,.,x,1,x,2,2,69,例,1,证,由零点定理,代数应用,:,零点存在定理给了大家一个判定方程在某个区间上是否有根的方法,.,2,70,例,2,证,由零点定理,2,71,三、小结,四个定理,有界性定理,;,最值定理,;,介值定理,;,根的存在性定理,.,注意,1,闭区间；,2,连续函数,这两点不满足上述定理不一定成立,解题思路,1.,直接法,:,先利用最值定理,再利用介值定理,;,2.,辅助函数法,:,先作辅助函数,F,(,x,),再利用零点定理,;,2,72,思考题,下述命题是否正确？,2,73,思考题解答,不正确,.,例函数,2,74,练 习 题,2,75,2,76,补充 极限计算：,解,例,1,2,77,例,2,解,计算,2,78,解,故原式,=0,。,2,79,解,例,3,有界量,无穷小,2,80,例,4,解,利用有理分式的极限性质,