数学物理方程第四章-积分变换法(课堂PPT).ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第四章 积分变换法傅立叶变换与拉普拉斯,变换,数学物理方程,1,1777,年以前，人们普遍采用多项式函数,P,(,x,),来对信号,f,(,x,),进行表征：。,1777,年，数学家,Euler,在研究天文学时发现某些函数可以通过余弦函数之和来表达。,1807,年，法国科学家傅里叶进一步提出周期为,2,的函数,f,(,x,),可以表示为系列三角函数之和，即,2,傅里叶级数在应用上有以下优点：,能够表示不连续的函数、周期函数，能够对任意函数作调和分析,若函数 以 为周期，即,则可取三角函数族,1,，,cos ,cos ,cos,，,sin ,sin ,sin,，,作为基本函数族，将 展开为级数,=+cos +cos ),4.1,傅里叶级数,3,其中,周期函数,f,(,x,),可以理解为由正弦波（含余弦与正弦函数）叠加而成，其中,a,n,，,b,n,为叠加的权值，表示信号在不同频率时刻的谱幅值大小。,4,显然，当信号具有对称性（偶）特征时，,b,k,=0,，,而当信号具有反对称性（奇）特征时，,a,k,=0,，,5,在研究热传导方程的过程中，为了简化原问题，傅里叶建议将热导方程从时间域变换到频率域，为此他提出了著名的傅里叶变换的概念。信号,f,(,x,),的傅里叶变换定义为：,傅里叶变换建立了信号时域与频域之间的关系，频率是信号的物理本质之一。,6,设,f,(,x,),为,-,上的有限信号，则,f,(,x,),的傅里叶变换可简化为：,对于只在有限区间，例如在上有定义的函数,可采取延拓的方法，使其成为某种周期函数，而在上，。然后再对作傅里叶级数展开，其级数和在区间上代表,f(x),由于,f(x),在,x=0,和,x=l,无定义，因此可以有无数种延拓方式，因而有无数种展开式，它们在上均代表,.,有时，对函数在边界（区间的端点）上的行为提出限制，即满足一定的边界条件，这常常就决定了如何,延拓,。,7,如要求,这时应延拓为奇的周期函数，因为,如要求,这时应延拓为偶的周期函数，因为余弦级数的和的导数在 和 为零,sin,=0,sin,=0;,8,对于函数,u(x,t),-lxl,t0,展开为傅里叶级数时，可将,t,视为参数，仅关于,x,展开为傅里叶级数,u(x,t)=a,(t)+,),其中展开系数不是常数，而是关于,t,的函数，,9,4.2,傅里叶变换,一般说来，定义在区间（,-x0,，,L,f(t)=F(s),則,L,u(t-a)f(t-a),33,Laplace,变换的周期,若,函数,f(t),的周,期,为,T,，,則,F(t+T)=f(t),，,T0,34,周期函数的,Laplace,变换,35,例,1,：,求,的,Laplace,变换,.,.,解一：利用定义求解,解二：表示为单位阶跃函数来求解,.,可表示为,由,以及延迟性质得,.,函数,36,例,2,：,求函数,的,Laplace,变换,解：已知,，由延迟性质有,，再由位移性质得,37,例,3,已知,，求,解：由,以及,有,再由积分性质得,38,例,4,已知,，求,解：由,以及微分性质有,再由积分性质得,.,39,例,5,已知,，求,解：利用部分分式求解,.,首先将函数,分解为部分分式得,再由,有,的,Laplace,逆变换,.,40,例,7,分别求下列函数的,Laplace,逆变换,（,1,）,（,2,）,解：（,1,）先将函数,求导变为有理分式并进行,再由微分性质有,（,2,）按上面同样的方法有,部分分式分解得,41,例,8,已知,，求,分析：函数,分解比较繁琐，可考虑利用卷积定理来求解,.,的分母中含有二阶复零点，用部分分式,解：根据卷积定理有,42,例,9,已知,，求,分析：本题可以用多种方法求解，希望通过本题的求解，,对各种方法作一个总结和比较,.,解一：利用部分分式求解,.,由,得,解二：利用卷积求解,.,根据卷积定理有,解三：利用积分性质求解,.,43,44,4.5,积分的,Laplace,变换,45,由导数的,Laplace,变换得到,注意到,g,(0)=0,有：,即,:,重复上述运算，可以得到,F(t),的多,重积分的,Laplace,变换。,46,4.5.1,比例变换,已知 是,F(t),的,Laplace,变换，那么，,F(at),和,(,式中,a,是正的实常数）的,Laplace,变换为,:,47,48,4.5.2,位移定理（替换性质）,函数 的,Laplace,变换，其中,a,是常数，即,:,49,4.5.3,位移（延迟）函数的,Laplace,变换,单位阶跃函数,U(t),和,U(t-a),的定义,:,50,图,5,单位阶跃函数,U(t),和,U(t-a),的定义,51,位移函数：,52,位移函数的,Laplace,变换,：,53,结果表明，位移函数,U(t-a)F(t-a),的,Laplace,变换等于函数,F(t),的,Laplace,变换,乘以,.,54,单位阶跃函数,U(t-a),的,Laplace,变换：,（因为,F(t-a)=,1),55,（三）,F(t),的,Laplace,变换式,56,4.5.4,利用,Laplace,变换表进行反变换,在热传导问题中，,Laplace,变换一般用于对时间变量的变换上。因此，最重要的一步是把,Laplace,变换得到的像函数从,Laplace,变量,s,的区域变换到实际的时间变量,t,的区域的反变换。,Laplace,变换的反变换列成表格表,1,。,57,原 来 函 数 拉普拉斯变换后的函数,（,n,阶导数）,（,n,重积分）,58,原 来 函 数 拉普拉斯变换后的函数,59,原 来 函 数 拉普拉斯变换后的函数,(-1),m,s,n,L,(,m,),(,s,),（,n,重积分）,60,原 来 函 数 拉普拉斯变换后的函数,f,(,t,2,),t,v-,1,f,(,t,)(Re,v,-1),61,原 来 函 数 拉普拉斯变换后的函数,L,(ln,s,),62,原 来 函 数 拉普拉斯变换后的函数,63,f,(,t,),L,(,s,),（已知函数查其拉普拉斯变换用此表方便）,(,c,0),1,e,c s,1,t,t,n,64,f,(,t,),L,(,s,),t,v,(Re,v,-1),(,a,0),65,f,(,t,),L,(,s,),(,a,0),(,a,0),66,f,(,t,),L,(,s,),ln,t,(,为欧拉常数）,67,f,(,t,),L,(,s,),(Re,v,-1),68,函数,f,(,x,y,),的二重拉普拉斯变换为,二重拉普拉斯变换的反演公式为,其中,:,69,Example 1,求解半无限大物体的温度场。,控制方程：,边界条件和初始条件：,70,边界条件和初始条件：,71,72,根据初始条件,和边界条件,73,(4),式的解为,74,4.6,用回路积分法对,Laplace,变换进行反变换,由像函数反映的原函数的公式：,75,上式的意义：,1,，该积分是在复平面,s=x+i y,上,进行的；,2,，且沿着,x=,的无限长直线进行的；,3,，注意选取常数,使得,全部奇点都在,x=,的左边。,76,图,(5-3),在反变换公式中的积分路径,77,The End,78,