江苏省南通市2017届高三第一次模拟考试数学含答案.doc

江苏省南通市2017届高三第一次模拟考试数学含答案

南通市2017届高三第一次调研测试
数学Ⅰ
注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1． 本试卷共4页，包含填空题（共14题）、解答题（共6题），满分为160分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将答题卡交回。
2． 答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上。
3． 作答试题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效。如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚。

参考公式：
样本数据，，…，的方差，其中．
棱锥的体积公式：，其中为棱锥的底面积，为高．
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
1． 函数的最小正周期为 ▲ ．
输出n
结束
（第5题）
开始

N
Y
2． 设集合，，，则 ▲ ．
3． 复数，其中为虚数单位，则的实部为 ▲ ．
4． 口袋中有若干红球、黄球和蓝球，从中摸出一只球．已知摸出
红球的概率为0.48，摸出黄球的概率为0.35，则摸出蓝球的概
率为 ▲ ．
5． 如图是一个算法的流程图，则输出的的值为 ▲ ．
6． 若实数x，y满足 则z＝3x＋2y的最大值为 ▲ ．
7． 抽样统计甲、乙两名学生的5次训练成绩（单位：分），结果如下：
学生
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
甲
65
80
70
85
75
乙
80
70
75
80
70
则成绩较为稳定（方差较小）的那位学生成绩的方差为 ▲ ．
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
（第8题）
8． 如图，在正四棱柱ABCD–A1B1C1D1中，，
，则三棱锥D1–A1BD的体积为 ▲ ．
9． 在平面直角坐标系中，直线为双曲线
的一条渐近线，则该双曲线
的离心率为 ▲ ．
10．《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，
上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则该竹子最上面一节的容积为 ▲ 升．
11．在△ABC中，若，则的值为 ▲ ．
12．已知两曲线，，相交于点P．若两曲线在点P处的切线
互相垂直，则实数的值为 ▲ ．
13．已知函数，则不等式的解集用区间表示为 ▲ ．
14．在平面直角坐标系xOy中，已知B，C为圆上两点，点，且AB⊥AC，则
线段BC的长的取值范围为 ▲ ．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、
证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分14分）
如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴正半轴为始边作锐角，其终边及单位圆交于点A．
以OA为始边作锐角，其终边及单位圆交于点B，AB=．
x
y
A
1
B
（第15题）
β
α
O
（1）求cos的值；
（2）若点A的横坐标为，求点B的坐标．

16．（本小题满分14分）
（第16题）
A
B
C
O
D
P
E
如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，AC，BD相交于点O，点E为PC的中点，OP=OC，PA⊥PD．
求证：（1）直线PA∥平面BDE；
（2）平面BDE⊥平面PCD．

17．（本小题满分14分）
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，焦点到
x
y
Q
O
P
（第17题）

相应准线的距离为1．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若P为椭圆上的一点，过点O作OP的垂线交直线
于点Q，求的值．

18．（本小题满分16分）
如图，某机械厂要将长6 m，宽2 m的长方形铁皮ABCD进行裁剪．已知点F为AD的中点，
点E在边BC上，裁剪时先将四边形CDFE沿直线EF翻折到MNFE处（点C，D分别落在
直线BC下方点M，N处，FN交边BC于点P），再沿直线PE裁剪．
（1）当∠EFP=时，试判断四边形MNPE的形状，并求其面积；
（2）若使裁剪得到的四边形MNPE面积最大，请给出裁剪方案，并说明理由．A
B
C
D
F
E
P
M
N
（第18题）

19．（本小题满分16分）
已知函数，．
（1）当时，求函数的最小值；
（2）若，证明：函数有且只有一个零点；
（3）若函数有两个零点，求实数a的取值范围．

20．（本小题满分16分）
已知等差数列的公差不为0，且…，…(……)成等比数列，
公比为．
（1）若，，，求的值；
（2）当为何值时，数列为等比数列；
（3）若数列为等比数列，且对于任意，不等式恒成立，求的取值
范围．

南通市2017届高三第一次调研测试
数学Ⅱ（附加题）
注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1．本试卷共2页，均为非选择题（第21~23题）。本卷满分为40分，考试时间为30分钟。
考试结束后，请将答题卡交回。
2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在
答题卡上，并用2B铅笔正确填涂考试号。
3．作答试题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置
作答一律无效。如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚。

21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．
若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
O
A
B
E
D
C
（第21-A题）
A．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）
已知圆O的直径，C为AO的中点，弦DE过
点C且满足CE=2CD，求△OCE的面积．

B．[选修4-2：矩阵及变换]（本小题满分10分）
已知向量是矩阵A的属于特征值–1的一个特征向量．在平面直角坐标系xOy中，点
在矩阵A对应的变换作用下变为，求矩阵A．

C．[选修4-4：坐标系及参数方程]（本小题满分10分）
在极坐标系中，求直线被曲线所截得的弦长．
D．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）
求函数的最大值．
【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出
文字说明、证明过程或演算步骤．
22．（本小题满分10分）
B
A
D
C1
（第22题）
A1
D1
B1
C
Q
P
如图，在棱长为2的正方体ABCD–A1B1C1D1中，P为棱C1D1的中点，Q为棱BB1上的点，
且．
（1）若，求AP及AQ所成角的余弦值；
（2）若直线AA1及平面APQ所成的角为45°，
求实数的值．

23．（本小题满分10分）
在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线上的点到焦点F的距离为2．
（1）求抛物线的方程；
（2）如图，点E是抛物线上异于原点的点，抛物线在点E处的切线及x轴相交于点P，直
（第23题）
y
O
x
F
A
B
P
E
线PF及抛物线相交于A，B两点，求△EAB面积的最小值．

南通市2017届高三第一次调研测试
数学学科参考答案及评分建议
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．
1． 函数的最小正周期为 ▲ ．
【答案】
2． 设集合，，，则 ▲ ．
【答案】
输出n
结束
（第5题）
开始

N
Y
3． 复数，其中为虚数单位，则的实部为 ▲ ．
【答案】
4． 口袋中有若干红球、黄球和蓝球，从中摸出一只球．摸出红球
的概率为0.48，摸出黄球的概率为0.35，则摸出蓝球的概率为
▲ ．
【答案】0.17
5． 如图是一个算法的流程图，则输出的的值为 ▲ ．
【答案】5
6． 若实数x，y满足 则z＝3x＋2y的最大值为 ▲ ．
【答案】7
7． 抽样统计甲、乙两名学生的5次训练成绩（单位：分），结果如下：
学生
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
甲
65
80
70
85
75
乙
80
70
75
80
70
则成绩较为稳定（方差较小）的那位学生成绩的方差为 ▲ ．
【答案】20
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
（第8题）
8． 如图，在正四棱柱ABCD–A1B1C1D1中，，
，则三棱锥D1–A1BD的体积为 ▲ ．
【答案】
9． 在平面直角坐标系中，直线为双曲
线的一条渐近线，则该双曲线的离心率为 ▲ ．
【答案】
10．《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，
上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则该竹子最上面一节的容积为 ▲ 升．
【答案】
11．在△ABC中，若，则的值为 ▲ ．
【答案】
12．已知两曲线，，相交于点P．若两曲线在点P处的切线
互相垂直，则实数的值为 ▲ ．
【答案】
13．已知函数，则不等式的解集用区间表示为 ▲ ．
【答案】
14．在平面直角坐标系xOy中，已知B，C为圆上两点，点，且AB⊥AC，则
线段BC的长的取值范围为 ▲ ．
【答案】

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．
15．（本小题满分14分）
如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴正半轴为始边作锐角，其终边及单位圆交于点A．
以OA为始边作锐角，其终边及单位圆交于点B，AB=．
x
y
A
1
B
（第15题）
β
α
O
（1）求cos的值；
（2）若点A的横坐标为，求点B的坐标．
【解】（1）在△AOB中，由余弦定理得，
，所以
……………2分
，
即． ………………………………………………………………………6分
（2）因为，，
所以． …………………………………………8分
因为点的横坐标为，由三角函数定义可得，，
因为为锐角，所以． ……………………10分
所以，………………12分
．
所以点． …………………………………………………………14分
16．（本小题满分14分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，AC，BD相交于点O，点E为PC的中点，OP=OC，PA⊥PD．
（第16题）
A
B
C
O
D
P
E
求证：（1）直线PA∥平面BDE；
（2）平面BDE⊥平面PCD．
【证明】（1）连结，因为为平行四边形对
角线的交点，所以为中点．
又因为为的中点，
所以∥． ……………………4分
又因为平面，平面，
所以直线∥平面． ……………………………………………………6分
（2）因为∥，，所以． ………………………………8分
因为，为的中点，所以． …………………………10分
又因为平面，平面，，
所以平面． …………………………………………………………12分
又因为平面，所以平面平面． ……………………14分
17．（本小题满分14分）
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，焦点到
x
y
Q
O
P
（第17题）

相应准线的距离为1．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若P为椭圆上的一点，过点O作OP的垂线交直线
于点Q，求的值．
【解】（1）由题意得，，， …………2分
解得，，．
所以椭圆的方程为． …………………………………………………4分
（2）由题意知的斜率存在．
当的斜率为0时，，，所以． …………6分
当的斜率不为0时，设直线方程为．
由得，解得，所以，
所以． ………………………………………………………………9分
因为，所以直线的方程为．
由得，所以． ………………………………12分
所以．
综上，可知． ……………………………………………………14分
18．（本小题满分16分）
如图，某机械厂要将长6 m，宽2 m的长方形铁皮ABCD进行裁剪．已知点F为AD的中点，
点E在边BC上，裁剪时先将四边形CDFE沿直线EF翻折到MNFE处（点C，D分别落在
直线BC下方点M，N处，FN交边BC于点P），再沿直线PE裁剪．
（1）当∠EFP=时，试判断四边形MNPE的形状，并求其面积；
（2）若使裁剪得到的四边形MNPE面积最大，请给出裁剪方案，并说明理由．A
B
C
D
F
E
P
M
N
（第18题）

【解】（1）当∠EFP=时，由条件得
∠EFP=∠EFD=∠FEP=．
所以∠FPE=．所以FN⊥BC，
四边形MNPE为矩形．…… 3分
所以四边形MNPE的面积
=2 m2．………… 5分
（2）解法一：
设，由条件，知∠EFP=∠EFD=∠FEP=．
所以，
，
． ………………………………………………………………8分
由得
所以四边形MNPE面积为

………………………………………………………12分
  ．
当且仅当，即时取“=”．………………14分
此时，成立．
答：当时，沿直线PE裁剪，四边形MNPE面积最大，
最大值为 m2． …………………………………………………………16分
解法二：
设 m，，则．
因为∠EFP=∠EFD=∠FEP，所以PE=PF，即．
所以，． ………8分
由得
所以四边形MNPE面积为

…………………………………………………………12分

当且仅当，即时取“=”． ………14分
此时，成立．
答：当点E距B点 m时，沿直线PE裁剪，四边形MNPE面积最大，
最大值为 m2． …………………………………………………………16分
19．（本小题满分16分）
已知函数，．
（1）当时，求函数的最小值；
（2）若，证明：函数有且只有一个零点；
（3）若函数有两个零点，求实数a的取值范围．
【解】（1）当时，．
所以，（x>0）． ……………………………2分
令，得，
当时，；当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增．
所以当时，有最小值．………………………………4分
（2）由，得．
所以当时，，
函数在上单调递减，
所以当时，函数在上最多有一个零点．……………………6分
因为当时，，，
所以当时，函数在上有零点．
综上，当时，函数有且只有一个零点． ………………………8分
（3）解法一：
由（2）知，当时，函数在上最多有一个零点．
因为函数有两个零点，所以． ………………………………………9分
由，得，令．
因为，，
所以函数在上只有一个零点，设为．
当时，；当时，．
所以函数在上单调递减；在上单调递增．
要使得函数在上有两个零点，
只需要函数的极小值，即．
又因为，所以，
又因为函数在上是增函数，且，
所以，得．
又由，得，
所以． ……………………………………………………………………13分
以下验证当时，函数有两个零点．
当时，，
所以．
因为，且．
所以函数在上有一个零点．
又因为（因为），且．
所以函数在上有一个零点．
所以当时，函数在内有两个零点．
综上，实数a的取值范围为． ……………………………………………16分
下面证明：．
设，所以，（x>0）．
令，得．
当时，；当时，．
所以函数在上单调递减，在上单调递增．
所以当时，有最小值．
所以，得成立．
解法二：
由（2）知，当时，函数在上最多有一个零点．
因为函数有两个零点，所以． ………………………………………9分
由，得关于x的方程，（x>0）有两个不等
的实数解．
又因为，
所以，（x>0）．
因为x>0时，，所以．
又当时，，即关于x的方程有且只有一个实数解．
所以． ……………………………………………………………………13分
（以下解法同解法1）
20．（本小题满分16分）
已知等差数列的公差不为0，且…，…(……)成等比数列，
公比为．
（1）若，，，求的值；
（2）当为何值时，数列为等比数列；
（3）若数列为等比数列，且对于任意，不等式恒成立，求的取值
范围．
【解】（1）由已知可得：，，成等比数列，所以， ………2分
整理可得：．因为，所以． ……………………………4分
（2）设数列为等比数列，则．
又因为，，成等比数列，
所以．
整理，得．
因为，所以．
因为，所以，即．………………………………………6分
当时，，所以．
又因为，所以．
所以，数列为等比数列．
综上，当时，数列为等比数列．………………………………………8分
（3）因为数列为等比数列，由（2）知，．
，．
因为对于任意，不等式恒成立．
所以不等式，
即，恒成立．……………………10分
下面证明：对于任意的正实数，总存在正整数，使得．
要证，即证．
因为，则，
解不等式，即，
可得，所以．
不妨取，则当时，原式得证．
所以，所以，即得的取值范围是． ……………16分
21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．
若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）
已知圆O的直径，C为AO的中点，弦DE过点C且满足CE=2CD，求△OCE的面积．
O
A
B
E
D
C
（第21-A题）
H
【解】设，则．
因为，，
由相交弦定理，得，
所以，所以．…………2分
取中点，则．
因为，
所以．…………………………………………………………………………6分
又因为，
所以△OCE的面积． …………………………10分
B．[选修4-2：矩阵及变换]（本小题满分10分）
已知向量是矩阵A的属于特征值–1的一个特征向量．在平面直角坐标系xOy中，点
在矩阵A对应的变换作用下变为，求矩阵A．
【解】设，
因为向量是矩阵A的属于特征值–1的一个特征向量，
所以．所以 ………………………………4分
因为点在矩阵A对应的变换作用下变为，
所以．所以 …………………………………………………8分
解得，，，，所以．………………………………10分
C．[选修4-4：坐标系及参数方程]（本小题满分10分）
在极坐标系中，求直线被曲线所截得的弦长．
【解】解法一：
在中，令，得，即=． …………………10分
解法二：
以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系．
直线的直角坐标方程为①， ………………………………………3分
曲线的直角坐标方程为②． ……………………………6分
由①②得或 ……………………………………………………………8分
所以，
所以直线被曲线所截得的弦长=． ………………10分
D．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）
求函数的最大值．
【解】 …………………………………………2分
由柯西不等式得
，……………………………8分
所以，此时．
所以函数的最大值为5． …………………………………10分
【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出
文字说明、证明过程或演算步骤．
22．（本小题满分10分）
如图，在棱长为2的正方体ABCD–A1B1C1D1中，P为棱C1D1的中点，Q为棱BB1上的点，
B
A
D
C1
（第22题）
A1
D1
B1
C
Q
P
y
x
z
且．
（1）若，求AP及AQ所成角的余弦值；
（2）若直线AA1及平面APQ所成的角为45°，
求实数的值．
【解】以为正交基底，建立如图所示空
间直角坐标系．
（1）因为，，
所以．
所以及所成角的余弦值为．………………………………………4分
（2）由题意可知，，．
设平面的法向量为n，
则即
令，则，．
所以n．…………………………………………………………6分
又因为直线及平面所成角为45°，
所以|cos<n，>|=，
可得，又因为，所以． ……………………………10分
23．（本小题满分10分）
在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线上的点到焦点F的距离为2．
（1）求抛物线的方程；
（2）如图，点E是抛物线上异于原点的点，抛物线在点E处的切线及x轴相交于点P，直
（第23题）
y
O
x
F
A
B
P
E
线PF及抛物线相交于A，B两点，求△EAB面积的最小值．
【解】（1）抛物线的准线方程为
，
因为，由抛物线定义，知
，
所以，即，
所以抛物线的方程为．……………………………………………………3分
（2）因为，所以．
设点，则抛物线在点处的切线方程为．
令，则，即点．
因为，，所以直线的方程为，即．
则点到直线的距离为．…………………5分
联立方程消元，得．
因为，
所以，，
所以． ………………7分
所以△EAB的面积为．
不妨设，则．
因为时，，所以在上单调递减；
上，，所以在上单调递增．
所以当时，．
所以△EAB的面积的最小值为．……………………………………………10分

- 31 - / 31- 31 - / 31