江苏省泰州中学2025届高三上学期一模试题 数学 含答案.docx

江苏省泰州中学高三模拟一考试数学试题
考试时间120分钟分值：150分

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．
1．已知集合，，则（）
A．B．C．D．
2．已知是虚数单位，复数、在复平面内对应的点坐标分别为、，则为（）
A. B. C. D.
3．已知曲线与曲线在交点处有相同的切线，则（）
A．1B．C．D．
4．已知直线l经过点，则“直线l的斜率为”是“直线l与圆C：相切”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．在四边形ABCD中，，，，，则四边形ABCD的面积为（）
A. 2B. 3C. 4D. 5
6．已知，则（）
A．B．C．D．
7．已知抛物线C：的焦点为F，坐标原点为O，过点F的直线与C交于A，B两点，且点O到直线AB的距离为，则△OAB的面积为（）
A．B．C．D．
8．某软件研发公司对某软件进行升级，主要是软件程序中的某序列重新编辑，编辑新序列为，它的第项为，若序列的所有项都是2，且，，则（）
A.B.C..D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知实数a，b满足，则( )
A．B．C．D．
10．在某学校开展的“防电信诈骗知识竞赛”活动中，高三级部派出甲、乙、丙、丁四个小组参赛，
每个小组各有10位选手．记录参赛人员失分（均为非负整数）情况，若该组每位选手失分都
不超过7分，则该组为“优秀小组”，已知选手失分数据信息如下，则一定为“优秀小组”的
　是（）
A．甲组中位数为3，极差为4B．乙组平均数为2，众数为2
C．丙组平均数为3，方差为2D．丁组平均数为3，第65百分位数为6
11．已知菱形的边长为2，，E，F，G分别为AD、AB、BC的中点，将沿着对角线AC折起至，连结，得到三棱锥.设二面角的大小为，则下列说法正确的是（）
A.
B.当平面截三棱锥的截面为正方形时，
C.三棱锥的体积最大值为1
D.当时，三棱锥的外接球的半径为
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 请把答案填在答题卡的相应位置上．
12．在正四棱锥P-ABCD中，，则该棱锥的体积为．
13．已知函数（）的最小正周期不小于，且恒成立，则的值为______________________．
14．设为双曲线的一个实轴顶点，为的渐近线上的两点，满足，，则的渐近线方程是______．
四、解答题: 本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（本小题满分13分）已知的内角，，的对边分别为，，，的面积为，．
（1）求角的大小；（2）若，求的周长．

16.（本小题满分15分）已知三棱柱的棱长均为.
（1）证明：平面平面；
（2）若，且直线与平面所成角的正弦值为，求点到直线的距离.

17.（本小题满分15分）设等差数列的公差，且，记为数列的前项和.
（1）若成等比数列，且的等差中项为，求数列的通项公式；
（2）若且，比较的大小.

18.（本小题满分17分）已知椭圆，直线与椭圆相交于两点，为线段的中点.
（1）设直线的斜率为，已知，求证：；
（2）直线不与坐标轴重合且经过的左焦点，直线与椭圆相交于两点，且，求直线的方程.

19.（本小题满分17分）已知函数，证明：
（1）在上单调递减，在上单调递增；
（2）若的两个零点为，，则
（i）；（ii）.

参考答案
一、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1-5 CDBCD 6-8ABB
二、 多项选择题：本题共3小题。每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. BD 10. AC 11.BCD
题号
9
10
11
答案
BD
AC
BCD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分、共20分．
12．；13．２；14．．
四、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．解：（1）由题意知：，所以，
因为，所以，
所以，
因为，所以，
因为，所以；
（2）由正弦定理得：，
由（1）知：，所以，
由余弦定理得：
即，所以，
所以的周长为．
16．解：（1）取的中点，连接，所以，
由题设可知，为边长为2的等边三角形，所以，
由，所以，
又因为平面，
所以平面，
又因为平面，所以平面平面；
（2）以所在直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系.

所以，
.
因为，则，
设平面的法向量为，
则即
取，

所以是平面的一个法向量.
设直线与平面所成角为，
，
解得，所以，
又因为，所以.
所以点到直线的距离.
17.解：（1）由已知得，即，化简得，
，，
又，即，所以，故；
（2）易知等差数列的首项，不妨设，
，，
又，所以，，，
，

，；

18．解：（1）设，
由，得，变形得，
即，故，又，解得，故.
（2）由题意，直线不与轴重合，设直线的方程为，

联立，得，，
设，则，
可得.
，
则弦的中点的坐标为，
故的方程为.联立，得，
由对称性，不妨设，则，其中.

可得.
由题意，
且，
故，即
代入，得，
解得，故直线的方程为.
19.解：（1），令，
则，，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
当时，；
当时，.
故在上单调递减，在上单调递增.
（2）（i），当时，，
故在内没有零点.
当；当时，，
根据函数零点存在定理，在区间和内各有一个零点.
因此，.
令，则，
令，则，，，
故在上单调递减，在上单调递增，.
因此，当时，，
即在上单调递增.
于是，即.
又因为在上单调递增，故，即.
（ii）令，则.
当时，，故在上单调递减，，即.
因此，，即①.
当时，，
故，即②，
根据不等式的同向可加性①②得.

如图，在四棱雉中，平面，，，，．点在棱上且与，不重合，平面交棱于点．
（1）求证：；
（2）若为棱的中点，求二面角的正弦值；
（3）记点，到平面的距离分别为，，求的最小值．

【小问1解析】
因为，平面，平面，
所以平面.
又平面，平面平面.
所以.
【小问2解析】
如图：

取中点，连接.
因为平面，平面，所以.
在四边形中，，且，
所以四边形为矩形.所以平面.
又在和中，，，.
所以（）.
所以，.
故，，两两垂直，所以以为原点，建立如图空间直角坐标系.
当为中点时，，，，，.
所以，，.
设平面的法向量为，
则，取.
设平面的法向量为，
则，取.
所以.
所以二面角的正弦值为：.
【小问3解析】
设，（），则，，.
设平面的法向量为，则
，取.
则到平面的距离为：，
到平面的距离为：，
所以

设，则
那么（当且仅当即时取“”）
所以.