南京市、盐城市2017届高三年级第二次模拟考试数学试卷.doc

南京市、盐城市2017届高三年级第二次模拟考试数学试卷
南京市、盐城市2017届高三年级第二次模拟考试
数 学 2017．03
注意事项：
1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．
2．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
1．函数f(x)＝ln的定义域为 ▲ ．
2．若复数z满足z(1－i)＝2i（i是虚数单位），是z的共轭复数，则z·＝ ▲ ．
3．某校有三个兴趣小组，甲、乙两名学生每人选择其中一个参加，且每人参加每个兴趣小组的可能性相同，则甲、乙不在同一兴趣小组的概率为 ▲ ．
4．下表是关于青年观众的性别及是否喜欢戏剧的调查数据，人数如表所示：

不喜欢戏剧
喜欢戏剧
男性青年观众
40
10
女性青年观众
40
60
（第5题图）
S←1
I←1
While I≤8
S←S＋I
I←I＋2
End While
Print S
现要在所有参及调查的人中用分层抽样的方法抽取n个人做进一步的调研，若在“不喜欢戏剧的男性青年观众”的人中抽取了8人，则n的值为 ▲ ．
5．根据如图所示的伪代码，输出S的值为 ▲ ．
6．记公比为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn．若a1＝1，S4－5S2＝0，
则S5的值为 ▲ ．
7．将函数f(x)＝sinx的图象向右平移个单位后得到函数y＝g(x)的图象，
则函数y＝f(x)＋g(x)的最大值为 ▲ ．
8．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝6x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．若直线AF的斜率k＝－，则线段PF的长为 ▲ ．
9．若sin(α－)＝，α∈(0，)，则cosα的值为 ▲ ．
10．α，β为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，下列命题中正确的是 ▲ （填上所有正确命题的序号）．
①若α∥β，mÌα，则m∥β； ②若m∥α，nÌα，则m∥n；
③若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥β； ④若n⊥α，n⊥β，m⊥α，则m⊥β．
11．在平面直角坐标系xOy中，直线l1：kx－y＋2＝0及直线l2：x＋ky－2＝0相交于点P，则当实数k变化时，点P到直线x－y－4＝0的距离的最大值为 ▲ ．
12．若函数f(x)＝x2－mcosx＋m2＋3m－8有唯一零点，则满足条件的实数m组成的集合为 ▲ ．
13．已知平面向量＝(1，2)，＝(－2，2)，则•的最小值为 ▲ ．
14．已知函数f(x)＝lnx＋(e－a)x－b，其中e为自然对数的底数．若不等式f(x)≤0恒成立，则的最小值为 ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分14分）
如图，在△ABC中，D为边BC上一点，AD＝6，BD＝3，DC＝2．
A
B
C
D
（第15题图2）
（第15题图1）
D
C
B
A
（1）若AD⊥BC，求∠BAC的大小；
（2）若∠ABC＝，求△ADC的面积．

16．（本小题满分14分）
如图，四棱锥P－ABCD中，AD⊥平面PAB，AP⊥AB．
（第16题图）
P
D
C
B
A
（1）求证：CD⊥AP；
（2）若CD⊥PD，求证：CD∥平面PAB；

17．（本小题满分14分）
在一张足够大的纸板上截取一个面积为3600平方厘米的矩形纸板ABCD，然后在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒（如图）．设小正方形边长为x厘米，矩形纸板的两边AB，BC的长分别为a厘米和b厘米，其中a≥b．
（1）当a＝90时，求纸盒侧面积的最大值；
（2）试确定a，b，x的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值．
（第17题图）
D
C
B
A

18．（本小题满分16分）
如图，在平面直角坐标系xOy中，焦点在x轴上的椭圆C：＋＝1经过点(b，2e)，其中e为椭圆C的离心率．过点T(1，0)作斜率为k(k＞0)的直线l交椭圆C于A，B两点(A在x轴下方)．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点O且平行于l的直线交椭圆C于点M，N，求 的值；
x
y
O
A
B
P
T
M
N
（第18题图）
（3）记直线l及y轴的交点为P．若＝，求直线l的斜率k．

19．（本小题满分16分）
已知函数f (x)＝ex－ax－1，其中e为自然对数的底数，a∈R．
（1）若a＝e，函数g (x)＝(2－e)x．
①求函数h(x)＝f (x)－g (x)的单调区间；
②若函数F(x)＝的值域为R，求实数m的取值范围；
（2）若存在实数x1，x2∈[0，2]，使得f(x1)＝f(x2)，且|x1－x2|≥1，
求证：e－1≤a≤e2－e．

20．（本小题满分16分）
已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}，{cn}满足 (n＋1) bn＝an＋1－，
(n＋2) cn＝－，其中n∈N*．
（1）若数列{an}是公差为2的等差数列，求数列{cn}的通项公式；
（2）若存在实数λ，使得对一切n∈N*，有bn≤λ≤cn，求证：数列{an}是等差数列．

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数学附加题 2017．03
21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修4—1：几何证明选讲
如图，△ABC的顶点A，C在圆O上，B在圆外，线段AB及圆O交于点M．
（1）若BC是圆O的切线，且AB＝8，BC＝4，求线段AM的长度；
A
C
B
M
O
A
B
C
O
M
N
（第21(A)图）
（2）若线段BC及圆O交于另一点N，且AB＝2AC，求证：BN＝2MN．

B．选修4—2：矩阵及变换
设a，b∈R．若直线l：ax＋y－7＝0在矩阵A= 对应的变换作用下，得到的直线为l′：9x＋y－91＝0．求实数a，b的值．

C．选修4—4：坐标系及参数方程
在平面直角坐标系xOy中，直线l：(t为参数)，及曲线C：(k为参数)交于A，B两点，求线段AB的长．

D．选修4—5：不等式选讲
设a≠b，求证：a4＋6a2b2＋b4＞4ab(a2＋b2)．

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．（本小题满分10分）
如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面四边形ABCD为菱形，A1A＝AB＝2，
∠ABC＝，E，F分别是BC，A1C的中点．
（1）求异面直线EF，AD所成角的余弦值；
D1
C1
B1
M
F
E
D
C
B
A
A1
（第22题图）
（2）点M在线段A1D上，＝λ ．若CM∥平面AEF，求实数λ的值．

23．（本小题满分10分）
现有（n≥2，n∈N*）个给定的不同的数随机排成一个下图所示的三角形数阵：
* ………………… 第1行
* * ………………… 第2行
* * * ………………… 第3行
……………
…………………
* * ………… * * ………………… 第n行
设Mk是第k行中的最大数，其中1≤k≤n，k∈N*．记M1＜M2＜…＜Mn的概率为pn．
（1）求p2的值；
（2）证明：pn＞．

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数学参考答案及评分标准
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.）
1．(－∞，1) 2．2 3． 4．30 5．17 6．31
7． 8． 6 9． 10．①④ 11．3 12．{2}
13．－ 14．－
二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（本小题满分14分）
解：（1）设∠BAD＝α，∠DAC＝β．
因为AD⊥BC，AD＝6，BD＝3，DC＝2，
所以tanα＝，tanβ＝， ………………… 2分
所以tan∠BAC＝tan(α＋β)＝＝＝1． ………………… 4分
又∠BAC∈(0，π)，所以∠BAC＝． ………………… 6分
（2）设∠BAD＝α．
在△ABD中，∠ABC＝，AD＝6，BD＝3．
由正弦定理得 ＝， 解得sinα＝． ………………… 8分
因为AD＞BD，所以α为锐角，从而cosα＝＝． ………………… 10分
因此sin∠ADC＝sin(α＋)＝sinαcos＋cosαsin
＝(＋)＝． ………………… 12分
△ADC的面积S＝×AD×DC·sin∠ADC
＝×6×2×＝(1＋)． ………………… 14分

16．（本小题满分14分）
证明：（1）因为AD⊥平面PAB，AP⊂平面PAB，
所以AD⊥AP． ………………… 2分
又因为AP⊥AB ，AB∩AD＝A，AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，
所以AP⊥平面ABCD． ………………… 4分
因为CD⊂平面ABCD，
所以CD⊥AP． ………………… 6分
（2）因为CD⊥AP，CD⊥PD，且PD∩AP＝P，PD⊂平面PAD，AP⊂平面PAD，
所以CD⊥平面PAD． ① ………………… 8分
因为AD⊥平面PAB，AB⊂平面PAB，
所以AB⊥AD．
又因为AP⊥AB，AP∩AD＝A，AP⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，
所以AB⊥平面PAD． ② ………………… 10分
由①②得CD∥AB， ………………… 12分
因为CD 平面PAB，AB⊂平面PAB，
所以CD∥平面PAB． ………………… 14分
17．（本小题满分14分）
解：（1）因为矩形纸板ABCD的面积为3600，故当a＝90时，b＝40，
从而包装盒子的侧面积
S＝2×x(90－2x)＋2×x(40－2x)
＝－8x2＋260x，x∈(0，20) ． ………………… 3分
因为S＝－8x2＋260x＝－8(x－)2＋，
故当x＝ 时，侧面积最大，最大值为 平方厘米．
答：当x＝ 时，纸盒的侧面积的最大值为平方厘米． ………………… 6分
（2）包装盒子的体积
V＝(a－2x)(b－2x) x＝x[ab－2(a＋b)x＋4x2]，x∈(0，)，b≤60．…………… 8分
V＝x[ab－2(a＋b)x＋4x2]≤x(ab－4x＋4x2)
＝x(3600－240x＋4x2)
＝4x3－240x2＋3600x． ………………… 10分
当且仅当a＝b＝60时等号成立．
设f (x)＝4x3－240x2＋3600x，x∈(0，30)．
则f ′ (x)＝12(x－10)(x－30)．
于是当0＜x＜10时，f ′ (x)＞0，所以f (x)在(0，10)上单调递增；
当10＜x＜30时，f ′ (x)＜0，所以f (x)在(10，30)上单调递减．
因此当x＝10时，f (x)有最大值f (10)＝16000， ……………… 12分
此时a＝b＝60，x＝10．
答：当a＝b＝60，x＝10时纸盒的体积最大，最大值为16000立方厘米．
……………… 14分
18．（本小题满分16分）
解：（1）因为椭圆 ＋＝1经过点(b，2e)，所以＋＝1．
因为e2＝＝，所以＋＝1．
因为a2＝b2＋c2，所以 ＋＝1． …………………… 2分
整理得 b4－12b2＋32＝0，解得b2＝4或b2＝8(舍) ．
所以椭圆C的方程为＋＝1． …………………… 4分
（2）设A(x1，y1)，B(x2，y2)．因为T(1，0)，则直线l的方程为y＝k(x－1)．
联立直线l及椭圆方程
消去y，得 (2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－8＝0，
所以 ……………… 6分
因为MN∥l，所以直线MN方程为y＝kx，
联立直线MN及椭圆方程
消去y得 (2k2＋1)x2＝8，解得x2＝．
因为MN∥l，所以 ＝． …………………… 8分
因为 (1－x1)·(x2－1)＝－[x1x2－(x1＋x2)＋1]＝ ，
(xM－xN)2＝4x2＝，
所以 ＝＝·＝． ………………… 10分
（3）在y＝k(x－1)中，令x＝0，则y＝－k，所以P(0，－k)，
从而 ＝(－x1,－k－y1)， ＝(x2－1，y2)．
因为 ＝，所以－x1＝(x2－1)，即x1＋x2＝．…………………… 12分
由(2)知，
由解得 x1＝，x2＝． ……………… 14分
因为x1x2＝， 所以 ×＝，
整理得 50k4－83k2－34＝0，解得k2＝2或k2＝－ (舍) ．
又因为k＞0，所以k＝． …………………… 16分
19．（本小题满分16分）
解：（1）当a＝e时，f (x)＝ex－ex－1．
① h (x)＝f (x)－g (x)＝ex－2x－1，h′ (x)＝ex－2．
由h′ (x)＞0得x＞ln2，由h′ (x)＜0得x＜ln2．
所以函数h(x)的单调增区间为 (ln2，＋∞)，单调减区间为 (－∞，ln2)．
………………… 3分
② f ′ (x)＝ex－e．
当x＜1时，f′ (x)＜0，所以f (x)在区间(－∞，1)上单调递减；
当x＞1时，f′ (x)＞0，所以f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增．
1° 当m≤1时，f (x)在(－∞，m]上单调递减，值域为[em－em－1，＋∞)，
g(x)＝(2－e)x在(m，＋∞)上单调递减，值域为(－∞，(2－e)m)，
因为F(x)的值域为R，所以em－em－1≤(2－e)m，
即em－2m－1≤0． （*）
由①可知当m＜0时，h(m)＝em－2m－1＞h(0)＝0，故（*）不成立．
因为h(m)在(0，ln2)上单调递减，在(ln2，1)上单调递增，且h(0)＝0，h(1)＝e－3＜0，
所以当0≤m≤1时，h(m)≤0恒成立，因此0≤m≤1． ………………… 6分
2° 当m＞1时，f (x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，m]上单调递增，
所以函数f (x)＝ex－ex－1在(－∞，m]上的值域为[f (1)，＋∞)，即[－1，＋∞)．
g(x)＝(2－e)x在(m，＋∞)上单调递减，值域为(－∞，(2－e)m)．
因为F(x)的值域为R，所以－1≤(2－e)m，即1＜m≤．
综合1°，2°可知，实数m的取值范围是[0，]． ………………… 9分
（2）f ′ (x)＝ex－a．
若a≤0时，f ′ (x)＞0，此时f(x)在R上单调递增．
由f(x1)＝f(x2)可得x1＝x2，及|x1－x2|≥1相矛盾，
所以a＞0，且f(x)在(－∞，lna]单调递减，在[lna，＋∞)上单调递增．…… 11分
若x1，x2∈(－∞，lna]，则由f (x1)＝f (x2)可得x1＝x2，及|x1－x2|≥1相矛盾，
同样不能有x1，x2∈[lna，＋∞)．
不妨设0≤x1＜x2≤2，则有0≤x1＜lna＜x2≤2．
因为f(x)在(x1，lna)上单调递减，在(lna，x2)上单调递增，且f (x1)＝f (x2)，
所以当x1≤x≤x2时，f (x)≤f (x1)＝f (x2)．
由0≤x1＜x2≤2，且|x1－x2|≥1，可得1∈[x1，x2]，
故f (1)≤f (x1)＝f (x2)． ……………… 14分
又f (x)在(－∞，lna]单调递减，且0≤x1＜lna，所以f (x1)≤f (0)，
所以f (1)≤f (0)，同理f (1)≤f (2)．
即解得e－1≤a≤e2－e－1，
所以 e－1≤a≤e2－e． …………………… 16分
20．（本小题满分16分）
解：（1）因为{an}是公差为2的等差数列，
所以an＝a1＋2(n－1)，＝a1＋n－1， ………………… 2分
从而 (n＋2) cn＝－(a1＋n－1)＝n＋2，即cn＝1． ……… 4分
（2）由(n＋1)bn＝an＋1－，
得n(n＋1) bn＝nan＋1－Sn，
(n＋1)(n＋2) bn＋1＝(n＋1)an＋2－Sn＋1，
两式相减，并化简得an＋2－an＋1＝(n＋2) bn＋1－nbn． ……………………… 6分
从而 (n＋2) cn＝－＝－[an＋1－(n＋1) bn]
＝＋(n＋1) bn
＝＋(n＋1) bn
＝(n＋2)( bn＋bn＋1)．
因此cn＝( bn＋bn＋1)． ……………………… 9分
因为对一切n∈N*，有bn≤λ≤cn，所以λ≤cn＝(bn＋bn＋1)≤λ，
故bn＝λ，cn＝λ． ……………………… 11分
所以 (n＋1)λ＝an＋1－， Error! Reference source not found.
(n＋2)λ＝(an＋1＋an＋2)－， Error! Reference source not found.
Error! Reference source not found.－Error! Reference source not found.，得(an＋2－an＋1)＝λ，即an＋2－an＋1＝2λ．
故an＋1－an＝2λ (n≥2)． ……………………… 14分
又2λ＝a2－＝a2－a1，则an＋1－an＝2λ (n≥1)．
所以数列{an}是等差数列． ……………………… 16分
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数学附加参考答案及评分标准
21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修4—1：几何证明选讲
解：（1）因为BC是圆O的切线，故由切割线定理得BC2＝BM·BA． …………… 2分
设AM＝t，因为AB＝8，BC＝4，
所以42＝8(8－t)，解得t＝6 ，即线段AM的长度为6． ………………………… 4分
（2）因为四边形AMNC为圆内接四边形，所以∠A＝∠MNB． …………………… 6分
又∠B＝∠B，所以△BMN∽△BCA， ……………………… 8分
所以＝．
因为AB＝2AC，所以BN＝2MN． ……………………… 10分
B．选修4—2：矩阵及变换
解：（方法一）在直线l：ax＋y－7＝0取点A(0，7)，B(1，7－a)．
因为 ＝， ＝， …………… 4分
所以A(0，7)，B(1，7－a)在矩阵A对应的变换作用下
分别得到点A′(0，7b)，B′(3，b(7－a)－1)．
由题意，知A′，B′在直线l′：9x＋y－91＝0上，
所以 …………… 8分
解得a＝2，b＝13． …………… 10分
（方法二）设直线l上任意一点P(x，y)，点P在矩阵A对应的变换作用下得到点Q(x′，y′)．
因为 ＝，所以 …………… 4分
又因为点Q(x′，y′)在直线l′上，所以9x′＋y′－91＝0．
即27x＋(－x＋by)－91＝0，也即26x＋by－91＝0，
又点P(x，y)在直线l上，所以有ax＋y－7＝0． …………… 8分
所以＝＝，解得a＝2，b＝13． …………… 10分
C．选修4—4：坐标系及参数方程
解：（方法一）直线l的参数方程化为普通方程得4x－3y＝4，
将曲线C的参数方程化为普通方程得y2＝4x． ……………… 4分
联立方程组 解得 或
所以A(4，4)，B(，－1)． ……………… 8分
所以AB＝＝． ……………… 10分
（方法二）将曲线C的参数方程化为普通方程得y2＝4x． ……………… 2分
直线l的参数方程代入抛物线C的方程得 (t)2＝4(1＋)，即4t2－15t－25＝0，
所以 t1＋t2＝，t1t2＝－． ……………… 6分
所以AB＝|t1－t2|＝ ＝＝． ……………… 10分
D．选修4—5：不等式选讲
证明： a4＋6a2b2＋b4－4ab(a2＋b2)＝(a2＋b2)2－4ab(a2＋b2)＋4a2b2
＝(a2＋b2－2ab)2＝(a－b)4． ……………… 5分
因为a≠b，所以(a－b)4＞0，
所以a4＋6a2b2＋b4＞4ab(a2＋b2)． …………… 10分
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．（本小题满分10分）
解：因为四棱柱ABCD－A1B1C1D1为直四棱柱，所以A1A⊥平面ABCD．
又AEÌ平面ABCD，ADÌ平面ABCD，所以A1A⊥AE，A1A⊥AD．
x
z
y
D1
C1
B1
M
F
E
D
C
B
A
A1
(第22题图)
在菱形ABCD中∠ABC＝，则△ABC是等边三角形．
因为E是BC中点，所以BC⊥AE．
因为BC∥AD，所以AE⊥AD．
以{，，}为正交基底建立空间直角坐标系．
则A(0，0，0)，C(，1，0)，D(0，2，0)，
A1(0，0，2)，E(，0，0)，F(，，1)．
（1）＝(0，2，0)，＝(－，，1)，所以·＝1．
从而cos＜，＞＝＝．
故异面直线EF，AD所成角的余弦值为． ……………… 4分
（2）设M(x，y，z)，由于点M在线段A1D上，且 ＝λ，
则＝λ，即(x，y，z－2)＝λ(0，2，－2)．
则M(0，2λ，2－2λ)，＝(－，2λ－1，2－2λ)． ……………… 6分
设平面AEF的法向量为n＝(x0，y0，z0)．
因为 ＝(，0，0)，＝(，，1)，
由n·＝0，n·＝0，得x0＝0，y0＋z0＝0．
取y0＝2，则z0＝－1，
则平面AEF的一个法向量为n＝(0，2，－1)． ……………… 8分
由于CM∥平面AEF，则n·＝0，即2(2λ－1)－(2－2λ)＝0，解得λ＝．…… 10分
23．（本小题满分10分）
解：（1）由题意知p2＝＝， 即p2的值为 ． ……………… 3分
（2）先排第n行，则最大数在第n行的概率为＝； ……………… 5分
去掉第n行已经排好的n个数，
则余下的－n＝个数中最大数在第n－1行的概率为＝；
……
故pn＝××…×＝＝． ……………… 7分
由于2n＝(1＋1)n＝C＋C＋C＋…＋C≥C＋C＋C＞C＋C＝C，
故＞，即pn＞． ……………… 10分

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