浙江省台州市2024学年第一学期高一年级期末质量评估试题数学（含答案）.docx

2024-2025学年浙江省台州市高一上学期1月期末质量评估数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若幂函数f(x)=xα经过点(2, 2)，则f(9)=(    )
A. 81B. 181C. 3D. 13
2.已知函数y=f(x)在区间[0,3]上的图象是一条连续不断的曲线，且f(0)=−1.1，f(1)=2，f(2)=1.5，f(3)=−2.35，则函数y=f(x)在区间[0,3]上的零点至少有(    )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
3.“x>1，y>2”是“x+y>3”的(    )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4.已知扇形的圆心角为1rad，面积为8，则扇形的弧长为(    )
A. 8B. 4C. 8πD. 4π
5.若α∈(0,π)，2sinα+cosα=1，则tanα=(    )
A. −45B. −54C. −34D. −43
6.将函数f(x)=sin2x的图象向左平移φ(0<φ≤π2)个单位，得到的函数图象关于y轴对称，则φ的值为(    )
A. π6B. π4C. π3D. π2
7.设a=log64，b=log86，c=log96，则(    )
A. a>c>bB. b>a>cC. b>c>aD. c>b>a
8.光从一种介质斜射入另一种介质时，传播方向通常会发生改变，这种现象称为光的折射.光在折射过程中，入射角的正弦值与折射角的正弦值的比值是一个常数.例如，一束光线从空气斜射入水时，会发生折射现象，并满足sinαsinβ=1.33(其中α是入射角，β是折射角).当入射角α(0∘<α<80∘)增加10∘时，折射角β增加x∘，则(    )
A. x<10B. x=10C. 10<x<13.3D. x>13.3
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知a>b>0，则下列不等式成立的是(    )
A. a2>b2B. c2a>c2bC. a−1a>b−1bD. ba<b+1a+1
10.已知函数f(x)=sin2x+cos2x，则下列结论正确的是(    )
A. f(x)的值域为[− 2, 2]B. 函数|f(x)|的最小正周期为πC. f(x)在[π4,3π4]上单调递减D. f(x)的图象关于(−π8,0)对称
11.已知f(x)，g(x)都是定义在R上的函数，且f(g(x))=x，则下列结论正确的是(    )
A. 若g(1)=2，则f(2)=1B. 若g(x)=x+1，则f(x)=x−1C. 存在f(x)，使得g(x)=2x+xD. 若g(x)是增函数，则f(x)是增函数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数f(x)=logax+2(a>0且a≠1)的图象过定点_________．
13.已知sinx+π3=13，则sin2π3−x=_________．
14.某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P(单位：mg/L)与时间t(单位：ℎ)间的关系为P=P0e−kt，其中P0，k是正常数．污染物的初始含量为          mg/L；如果在前5 ℎ消除了10%的污染物，那么污染物减少70%需要花费          小时(精确到1 ℎ).(参考数据：lg 3≈0.477)
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
求值：
(1)4912+(278)23−2−2+3(π−2)3;
(2) 1+2sin20∘sin70∘sin70∘+ 1−cos2160∘．
16.(本小题12分)
已知集合A={x|x2−(2+a)x+2a<0}，B={x|y= −x2−2x+3}.
(1)若a=0时，求(∁RA)∩B;
(2)若A∪B=A，求实数a的取值范围．
17.(本小题12分)
已知函数f(x)=2x+12x+1+a是奇函数．
(1)求a的值，判断函数f(x)的单调性并请说明理由;
(2)对任意x∈R，不等式f(k⋅2x)+f(3⋅2x−4x−1)≤0恒成立，求实数k的取值范围．
18.(本小题12分)
已知O(0,0)，A(cosα,sinα)，B(cosβ,sinβ)，α≠β+2kπ，k∈Z.
(1)请写出以x轴的非负半轴为始边，射线OA为终边的角的集合;
(2)作点A关于直线OB的对称点C(cosγ,sinγ).
 ①当α=π4，β=π3时，求点C坐标;
 ②若B( 216, 156)，cosαcosγ=14，求cos(α−γ).
19.(本小题12分)
给定函数f(x)，若对任意一个三角形，只要它的三边长a，b，c都在f(x)的定义域内，就有f(a)，f(b)，f(c)也是某个三角形的三边长，则称f(x)为“保三角形函数”．
(1)判断函数g(x)=3x是否为“保三角形函数”，并说明理由;
(2)若ℎ(x)=ln(x+m)是“保三角形函数”，求m的最小值;
(3)若函数p(x)同时满足以下条件：
 ①p(0)=0;
 ②p(x)在区间(0,+∞)上单调递增;
 ③对任意x1，x2∈[0,+∞)，λ∈[0,1]都有p(λx1+(1−λ)x2)≥λp(x1)+(1−λ)p(x2).证明：函数p(x)是“保三角形函数”．
参考答案
1.C 
2.B 
3.A 
4.B 
5.D 
6.B 
7.C 
8.A 
9.ACD 
10.AD 
11.ABD 
12.(1,2) 
13.13 
14.P0；57 
15.解：(1)原式=7+94−14+π−2=7+π；(2)原式= 1+2sin 20°cos 20∘sin 70∘+ 1−cos2 160∘==sin20∘+cos20∘sin70∘+sin160∘=sin20∘+cos20∘sin70∘+sin20∘=sin20∘+cos20∘cos20∘+sin20∘=1． 
16.解：(1)A={x|0<x<2}，∁ RA={x|x≤0或x≥2}，B={x|−3≤x≤1}．(∁ RA)∩B={x|−3≤x≤0}．(2)由A∪B=A知B⊆A，A={x|(x−2)(x−a)<0}， ①当a<2时，A={x|a<x<2}，a<−3; ②当a>2时，A={x|2<x<a}，a∈⌀; ③当a=2时，A=⌀，不满足题意．所以a的取值范围为{a|a<−3}． 
17.解：(1)因为函数f(x)=2x+12x+1+a是奇函数，所以有f(0)=220+1+a=0，得a=−1．经检验，a=−1成立．则f(x)=2x+12x+1−1=2x−12x+1， ∀x1，x2∈R，且x1<x2，则f(x1)−f(x2)=2x1−12x1+1−2x2−12x2+1=(2x1−1)(2x2+1)−(2x2−1)(2x1+1)(2x1+1)(2x2+1)=22x1−2x22x1+12x2+1 因为x1<x2，所以2x1−2x2<0.又因为(2x1+1)(2x2+1)>0，所以f(x1)−f(x2)<0，即f(x1)<f(x2).所以函数f(x)在R上单调递增．(2)由条件知f(k⋅2x)≤f(−3⋅2x+4x+1)对任意x∈R恒成立，因为f(x)在R单调递增，所以有k⋅2x≤−3⋅2x+4x+1，即k≤−3⋅2x+4x+12x=−3+2x+12x，设g(x)=−3+2x+12x⩾−3+2 2x·12x=−1，当x=0时，取等号，所以k的取值范围为{k|k≤−1}． 
18.解：(1){θ|θ=2kπ+α,k∈Z}(2) ①由题知，γ=2β−α+2kπ(k∈Z)，cosγ=cos(2π3−π4+2kπ)=cos(π4+π6)= 22⋅ 32− 22⋅12= 6− 24，(k∈Z)，sinγ=sin(2π3−π4+2kπ)=sin(π4+π6)= 22⋅ 32+ 22⋅12= 6+ 24(k∈Z)．所以，C( 6− 24, 6+ 24). ②由题知，γ=2β−α+2kπ，则β=α+γ2+kπ(k∈Z)．由B( 216, 156)，知cosβ= 216，故cosα+γ2=± 216，所以cos(α+γ)=2cos2α+γ2−1=2⋅2136−1=16．即cosαcosγ−sinαsinγ=16．又因为cosαcosγ=14，所以sinαsinγ=112，所以cos(α−γ)=cosαcosγ+sinαsinγ=13． 
19.解：(1)不妨假设0<a≤b≤c，有a+b>c．此时g(a)=3a>0，g(b)=3b>0，g(c)=3c>0，且有g(a)+g(b)=3a+3b=3(a+b)>3c=g(c)，所以g(a)，g(b)，g(c)可以构成某三角形的三边．所以g(x)=3x是“保三角形函数”．(2)因为ℎ(x)=ln(x+m)是“保三角形函数”，所以a>0，b>0，c>0且ℎ(a)>0，ℎ(b)>0，ℎ(c)>0，必有ln(x+m)>0对∀x>0恒成立，所以lnm≥0，解得m≥1.下证：当m≥1时，ℎ(x)=ln(x+m)是“保三角形函数”．不妨设0<a≤b≤c，有a+b>c．此时ℎ(a)=ln(a+m)>0，ℎ(b)=ln(b+m)>0，ℎ(c)=ln(c+m)>0，ℎ(a)+ℎ(b)=ln(a+m)+ln(b+m)=ln[(a+m)(b+m)]=ln[ab+(a+b)m+m2]≥ln(ab+a+b+m)>ln(c+m)=ℎ(c)，所以若ℎ(x)=ln(x+m)是“保三角形函数”，m的最小值为1．(3)不妨设0<a≤b≤c，且a+b>c．p(a)>0，p(b)>0，p(c)>0．由p(λx1+(1−λ)x2)≥λp(x1)+(1−λ)p(x2)，λ∈[0,1]，知当x2=0时，p(λx1)≥λp(x1).所以p(a)=p(aa+b(a+b))≥aa+bp(a+b)，p(b)=p(ba+b(a+b))≥ba+bp(a+b)．所以p(a)+p(b)≥aa+bp(a+b)+ba+bp(a+b)=p(a+b)．而a+b>c，p(x)在区间(0,+∞)上单调递增，所以p(a+b)>p(c)．所以p(a)+p(b)>p(c)，即函数p(x)是“保三角形函数”． 
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