第三章-格林函数法名师优质课获奖市赛课一等奖课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本幻灯片资料仅供参考，不能作为科学依据，如有不当之处，请参考专业资料。,第1页,若已知点电荷,(点源),产生场,(边界无限远,无初始条件）,任意带电体,(任意源),产生场,(边界无限远，无初始条件）,积分得到,若能求出某一点源在,给定初始和边界条件,下产生场,任意源在,相同初始和边界条件,下产生场,格林函数，又称为点源影响函数，是数学物理方程中一个主要概念，也是求解各类定解问题另一个惯用方法。,积分得到,：代表一个点源在一定边界条件和初始条件下所产生场,格林函数,第2页,5.1 泊松方程格林函数法,边值问题提法,第一边值问题（狄里希利问题）,求一函数，使之在区域内满足泊松方程或拉普拉斯方程，且在边界上取已知值。,第二边值问题（诺伊曼问题）,求一函数，使之在区域内满足泊松方程或拉普拉斯方程，在边界上对外法线方向导数取已知值。,第3页,第三边值问题（洛平问题）,求一函数，使之在区域内满足泊松方程或拉普拉斯方程，在边界上其本身和对边界外法向导数线性组合取已知值。,第4页,2.格林公式,上述定解问题，都是要求在区域内部求解，故又称为内问题；若在区域外部求解，则称为外问题。,在闭域 上有连续一阶偏导数，在 内有连续二阶偏导数，则有（为外法线方向）,上式称为,第一格林公式,上式称为,第二格林公式，简称格林公式,第5页,3.泊松方程基本积分公式,经典泊松方程(三维稳定分布）边值问题,为了求解上面定解问题，我们必须定义一个与此定解问题对应,格林函数,它满足以下定解问题，边值条件能够是第一、二、三类条件：,格林函数引入,第6页,代表三维空间变量,函数,，在直角坐标系中其形式为,格林函数含有十分,明确物理意义：,位于 处且电量为,点电荷在接地导体壳,内 处所产生电势。由此能够深入了解通常人们为何称格林函数为点源函数,第7页,格林函数对称性,处点源在点 处产生场,函数性质,处点源在点 处产生场,场相同,格林函数含有对称性,对称性在电学上意义：,处单位点电荷在 处产生电势等于 处单位点电荷在,处产生电势,第8页,依据格林公式，,令,得到,即为,依据,函数性质有,：,可得以下,泊松方程基本积分公式,第9页,即,由格林函数对称性可得,解基本思想,：,经过上面解形式，我们轻易观察出引用格林函数目标：主要就是为了使一个非齐次方程与任意边值问题所组成定解问题转化为求解,一个特定边值问题,，普通后者解轻易求得，再利用泊松方程基本积分公式可求得定解问题解,第10页,分析：,只须消掉公式中 项即可得到结果。,3.第一边值问题格林函数,对应格林函数,是以下问题解,：,第11页,二维时,二维时,由格林函数对称性可得,上式为第一边值问题解积分表示式,第12页,5.2 用电像法求格林函数法,无界空间格林函数 基本解,求出对应格林函数,为求解泊松方程,利用解积分表示式,必须解一个特殊泊松方程边值问题,为求格林函数,对普通形状区域，要处理这个特殊泊松方程边值问题也十分困难，但因为满足边值问题含有同一性，难度相对原问题也有一定程度降低，尤其是对泊松方程狄利克雷问题其格林函数又有,十分明确物理图像,，所以该做法仍含有主要而主动意义。不但如此，对若干特殊形状区域，还可用初等方法求出，从而能够处理该区域上全部泊松方程狄利克雷问题。,第13页,对狄利克雷问题格林函数应满足：,令,代入上述定解问题有,再令,（在区域内）,显然没有考虑边界影响（或者说对应着无界空间）,第14页,注意,表示点 处源对点 处直接影响，表示点 处源对点 处（经过边界）间接影响。,若认为 、是由点电荷 、产生电势,，则由它们满足方程可知：是所研究区域内 处点电荷 在所研究区域内 处产生、且不计任何边界或初始条件电势；则应为点电荷 在边界上产生感应电荷等效点电荷,（电量未知，位置 应在所研究区域之外）在所研究区域内 处产生并满足一定边界条件电势。,称为对应方程,基本解,（即无界空间格林函数）,第15页,二维空间：,三维空间：,第16页,2.电像法求特殊区域格林函数,依据格林函数物理意义，利用电磁学中关于计算点电荷电势知识，针对特殊区域详细形式，再结合几何、数学相关内容，就可求得对应格林函数，从而处理该区域上泊松方程边值问题。这即是所谓电像法。,思绪：,例1 试求球内泊松方程狄利克雷问题格林函数。,解,：,该定解问题为三维，其基本解为,则满足,第17页,O,设产生 等效点电荷电量 、位置 （在 延长线上且在球形区域以外，这么方程自然满足）,所以：,则,第18页,O,选取 使得,球形区域格林函数表示式；区域形状不一样其格林函数也会有所不一样,第19页,第20页,第21页,O,例2 试求解球内泊松方程狄利克雷问题,解,：,、在球坐标系中单位矢量分别为,设 球坐标为,第22页,球拉普拉斯方程狄利克雷问题格林函数由例1得：,第23页,第24页,最终得,第25页,第26页,例3 试求圆泊松方程狄利克雷问题格林函数。,解：,圆泊松方程狄利克雷问题基本解,应满足：,设产生 等效点电荷电量 、位置 （在 延长线上且在圆形区域以外，这么方程自然满足）,O,第27页,O,则：,仍选取 使得,第28页,可得：,最终得：,注意：这只是二维空间中,圆形区域,格林函数表示式,第29页,例4 求解圆内拉普拉斯方程狄利克雷问题,解：由例3，圆内泊松方程狄利克雷问题格林函数为：,第30页,第31页,第32页,例5 在半平面内求解边值问题,解：,在 处放置一点电荷,其在 处产生电势（基本解）为,O,第33页,在 处放置一点电荷,其在 处产生电势为,在边界 ：,O,第34页,即,注：这是二维空间中区域为上半平面格林函数表示式，它与圆形区域格林函数不一样。,第35页,因为,第36页,所以,返回,同理,第37页,