概率论与数理统计4-1矩阵的特征值与特征向量课件.ppt

Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second Level,Third Level,Fourth Level,Fifth Level,*,*,第1节 矩阵的特征值与特征向量,第4章 矩阵的特征值,一、特征值与特征向量的概念,二、特征值和特征向量的性质,1,说明,一、特征值与特征向量的概念,2,说明,3,4,5,6,4.特征向量的求法：,为方阵,A,的一个特征值，,则由,可求得非零解,的基础解系，,的特征向量,A,的对应于特征值,的全部特征向量是,7,注意,特征方程,有相同的,特征根；,A,的对应于特征值,的特征向量是,的非零解，,的非零解.,也是方程组,8,1.矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的,注意,2.一个特征值具有的特征向量,不唯一；,9,解,例1,10,是矩阵,A,对应于,的全部特征向量.,11,例1,是矩阵,A,对应于,的全部特征向量.,12,例2,设,求,A,的特征值与特征向量,解,13,14,得基础解系为：,15,求矩阵特征值与特征向量的步骤：,16,性质1,n,阶矩阵,A,与它的转置矩阵,A,T,有相同的特征值.,二、特征值和特征向量的性质,证明,17,性质2,设,是,n,阶矩阵，则,其中,是,A,的全体,k,阶主子式的和.,是,A,的,n,个特征值，则,A,的迹，tr(,A,),18,性质3:,n,阶矩阵,A,是奇异矩阵的充分必要条件是,A,有一个特征值为零.,证 必要性 若,A,是奇异矩阵，则,即0是,A,的一个特征值.,充分性 设,A,有一个特征值为0，,对应的特征向量为,p,由特征值的定义，有,所以齐次线性方程组,Ax,=0有非零解,p,由此可知|,A,|=0,即,A,为奇异矩阵.,19,性质3:,n,阶矩阵,A,是奇异矩阵的充分必要条件是,A,有一个特征值为零.,推论,n,阶矩阵,A,可逆，当且仅当它的任一特征值,不为零.,20,例3 设,是方阵,A,的特征值,证明,(1),是,的特征值;,(2)当,A,可逆时,的特征值.,推广,21,例3 设,是方阵,A,的特征值,证明,(1),是,的特征值;,(2)当,A,可逆时,的特征值.,22,例3 设,是方阵,A,的特征值,证明,(1),m,l,（2）,是,kA,的特征值,（3）,是,kA,2,的特征值,（4）,是,kA,m,的特征值,23,例3 设,是方阵,A,的特征值,证明,(1),m,l,（2）,是,kA,m,的特征值,（3）,是,A,A,2,的特征值,结论,的特征值是,若,是方阵,A,的特征值,则,24,的特征值是,若,是方阵,A,的特征值,则,结论,若,是方阵,A,的特征值,则,25,例4 设3阶矩阵,A,的特征值为1,-1,2,求,解 因,A,的特征值全不为0，知,A,可逆，故,故,的特征值为,26,定理1,n,阶矩阵,A,的互不相等的特征值,对应的特征向量,线性无关.,27,性质：一个特征向量不能属于不同的特征值,28,是矩阵,A,的两个不同的特征值,对应的特征向量依次为,A,的特征向量.,例5,不是,证明 用反证法，设,是,A,的特征向量，,按题设，有,则应存在数,使,29,是矩阵,A,的两个不同的特征值,对应的特征向量依次为,A,的特征向量.,例5,不是,由定理1知,线性无关，故由上式得,即,与题设矛盾.,A,的特征向量.,不是,1,2,p,p,+,所以,30,